2021年湖南省长沙市长郡教育集团初中课程中心中考数学一模试题

2021年湖南省长沙市长郡教育集团初中课程中心中考数学一
模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题
1）
A．4B．﹣4C．±4D
2．函数y=
1
23
x-
中，自变量x的取值范围为（）
A．x＞3
2
B．x≠
3
2
C．x≠
3
2
且x≠0D．x＜
3
2
3．下列图形中，是轴对称图形的是（）．
A．B．C．D．
4．下列各运算中，计算正确的是（）
A．2a•3a＝6a B．（3a2）3＝27a6
C．a4÷a2＝2a D．（a+b）2＝a2+ab+b2
5．若一组数据3，x，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（）
A．3B．4C．5D．6
6．若y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是下列的（）
A．﹣4 B．0 C．1 D．3
7．已知等腰△ABC的两条边的长度是一元二次方程x2-6x+8=0的两根，则△ABC的周长是（）
A．10 B．8 C．6 D．8或10
8．不等式组
215
840
x
x
-≤
⎧
⎨
-<
⎩
的解集在数轴上表示为（）
A．B．C．
D．
9．如图是由三个相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（）
A．B．C．D．
10．下列说法正确的是（）．
A．同位角相等B．三点可以确定一个圆
C．等腰三角形两底角相等D．对角线相等且垂直的四边形是正方形11．如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（）
A．64°B．58°C．72°D．55°
12．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P 以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止，设P、Q同时出发t秒时，∆BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）所示，
则下列结论：①BE=BC；②当t=6秒时，∆ABE ≅∆PQB；③点P运动了18秒；④当t=27 2
秒时，∆ABE∽∆QBP．其中正确的是（）．
A．①②B．①③④C．③④D．①②④
二、填空题
13．时光飞逝，小学、中学的学习时光已过去，九年的在校时间大约有16200小时，请将数16200用科学记数法表示为________．
14．因式分解：m2n﹣6mn+9n=__．
15．任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是__事件．
16．已知一个圆锥的母线长为10cm ，将侧面展开后所得扇形的圆心角是144°，则这个圆锥的底面圆的半径是__cm ．
17．如图，△ABC 与△A 1B 1C 1为位似图形，点O 是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC 的面积为3，那么△A 1B 1C 1的面积是_______．
18．某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失20%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高__________%．
19．计算：)1
0121sin 302π-⎛⎫--︒+ ⎪⎝⎭
三、解答题
20．先化简，再求值：22x 2x 131x 1x 1-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭，其中x 2=． 21．“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子”的习俗，我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽（咸）、豆沙馅粽（甜）、红枣馅粽（甜）、蛋黄馅粽（咸）（以下分别用A 、B 、C 、D 表示）这四种不同口味粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．
请根据以上信息回答：
（1）本次参加抽样调查的市民有多少人？
（2）将两幅不完整的图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A 、B 、C 、D 粽各一个，煮熟后，小王吃了两个，用列表或画树状图的方法，求他吃到的两个粽子都是甜味的概率．
22．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角
为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆
除．≈1.414≈1.732）
23．如图， ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD，交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B 作BF⊥CD于点F．
（1）求证：PD//AB；
（2）求证：DE=BF；
（3）若AC=6，tan∠CAB=4
3
，求线段PC的长．
24．为了缓解市区日益拥堵的交通状况，长沙市地铁建设工程指挥部对长沙地铁4号线茶子山站工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的指标书，从指标书中得知：甲工程队单独完成这项工程所需的时间是乙队单独完成这项工程所需的时间的3倍，若由甲队先做2个月，剩下的工程由甲、乙两队合作4个月可以完成．
（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？
（2）已知甲队每月的施工费用是76万元，乙队每月的施工费用是164万元，工程预算的施工费用为1000万元，为缩短工期以减少队交通的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出拟的判断并说明理由．
25．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．
（1）已知抛物线a ：221y x x =-+，判断下列抛物线b ：222y x x -=+，c ：243y x x =-+-与已知抛物线a 是否为交融抛物线？并说明理由；
（2）在直线y =2上有一动点P （t ，2），将抛物线a ：221y x x =-+绕点P （t ，2）旋转180︒得到抛物线l ，若抛物线a 与l 为交融抛物线，求抛物线l 的解析式；
（3）M 为抛物线a ：221y x x =-+的顶点，Q 为抛物线a 的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ 为斜边的等腰直角三角形MQS ，使直角顶点S 在y 轴上？若存在，求出点S 的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线22(0)y ax bx a =++≠与y 轴交于点B ，
与x 轴交于点A ，C （点A 在点C 的左侧），A （-1，0），C （4，0），连接AB ，BC ，点10,2⎛
⎫- ⎪⎝⎭
G 为y 轴负半轴上的一点，连接AG 并延长交抛物线于点E ，点D 为线段AE 上的一个动点，过点D 作y 轴的平行线交抛物线于点F ，与线段BC 交于点N ．
（1）求抛物线的表达式及直线BC 的表达式；
（2）在点D 运动的过程中，当FN 的值最大时，在线段BC 上是否存在一点H ，使得∆FNH 与∆ABC 相似，如果存在，求出此时H 点的坐标；
（3）当DF =4时，连接DC ，四边形ABCD 先向上平移一定单位长度后，使点D 落在x 轴上，然后沿x 轴向左平移n （1<n <4）个单位长度，用含n 的表达式表示平移后的四边形与原四边形重叠部分的面积S （直接写出结果）．
参考答案
1．A
【详解】
a =4=，因此可求结果为4．
故选A ．
【点睛】
本题考查二次根式化简．
2．B
【详解】
解：根据题意得：2x ﹣3≠0，
解得：x ≠32
． 故选B ．
【点睛】
本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
3．B
【分析】
根据轴对称图形的概念即可逐一判断．
【详解】
解：A 、不是轴对称图形，不符合题意，故A 错误；
B 、是轴对称图形，符合题意，故B 正确；
C 、不是轴对称图形，不符合题意，故C 错误；
D 、不是轴对称图形，不符合题意，故D 错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的概念．
4．B
【分析】
分别利用积的乘法运算法则以及同底数幂的除法运算法则、完全平方公式、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案即可.
【详解】
解：A、2a•3a＝6a2，不符合题意；
B、（3a2）3＝27a6，符合题意；
C、a4÷a2＝a2，不符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2；不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是整式的乘法，掌握整式乘法中的多个运算法则是解题的关键.
5．B
【分析】
众数是指在一组数据中出现次数最多的数字；将一组数据按照从小到大的顺序排列起来，处于中间的数就叫中位数．根据定义先找出x的值，再找中位数.
【详解】
本题根据众数为3，则可得：x=3，则这组数据的排序为：3,3,4,5,6，则中位数为4．
【点睛】
本题考查众数、中位数的判定，根据众数的概念判断x的值是关键.
6．A
【详解】
解：∵y=kx﹣4的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
而四个选项中，只有A符合题意，
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
7．A
【详解】
解：x2﹣6x+8=0，
∴（x﹣2）（x﹣4）=0，
∴x1=2，x2=4．
由三角形的三边关系可得：（两边之和大于第三边），
∴腰长是4，底边是2，
所以周长是：4+4+2=10．
故选A．
【点睛】
本题考查解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
8．B
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【详解】
解：
215
840
x
x
-≤
⎧
⎨
-<
⎩
①
②
，
解不等式2x−1≤5，得：x≤3，
解不等式8−4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．
9．C
【解析】
分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．详解：从左边看竖直叠放2个正方形．
故选：C．
点睛：此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
10．C
【分析】
利用平行线的性质、确定圆的条件、等腰三角形的性质及正方形的判定分别判断后即可确定正确的选项；
【详解】
A.两直线平行，同位角相等，故错误；
B.不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
C.等腰三角形两底角相等，正确；
D.对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故错误；
故选：C.
【点睛】
本题主要考查同位角，等腰三角形的性质，正方形的判定，确定圆的条件，熟练掌握相关性质定理是求解本题的关键.
11．B
【解析】
先根据圆周角定理求出∠B及∠BAC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠OAB的度数，进而可得出结论．
解：∵BC是直径，∠D=32°，
∴∠B=∠D=32°，∠BAC=90°．
∵OA=OB，
∴∠BAO=∠B=32°，
∴∠OAC=∠BAC﹣∠BAO=90°﹣32°=58°．
故选B．
12．A
【分析】
选项①正确．根据图中的信息，求出BE、AD的值即可判断；
选项②正确．根据SAS即可判断；
选项③错误．求出BE+DE+CD 的值，可知点P 运动了22秒；
选项④错误．当t=
272
秒时，点P 在线段DE 上，点Q 与点C 重合，此时∠PQB≠90°，由此即可判断．
【详解】
解：由图像可知，AD=BC=5×
2=10，BE=1×10=10，ED=4×1=4，AE=10-4=6， ∴BE=BC ，故①正确，
如下图所示，当t=6秒时，点P 在BE 上，点Q 静止于点C 处，
在△ABE 与△PQB 中，
12=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
AE PB BE BC
∴△ABE ≌△PQB （SAS ），故②正确，
在Rt △ABE
中，8===AB
∴BE+DE+DC=10+4+8=22，
∴点P 运动了22秒，故③错误，
当t=272
秒时，点P 在线段DE 上，点Q 与点C 重合，此时∠PQB≠90°， ∴△ABE 与△QBP 不相似，故④错误．
∴①②正确.
故选：A ．
【点睛】
本题考查二次函数综合题、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂图中信息，利用信息解决问题，属于中考压轴题． 13．1.62×104
【详解】
解：将16200用科学记数法表示为：1.62×104．
故答案为：1.62×104
14．n（m﹣3）2
【解析】
【详解】
m2n﹣6mn+9n
=n（m2﹣6m+9）
=n（m﹣3）2．
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
15．随机
【详解】
解：抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．
故答案为：随机．
16．4．
【分析】
由圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即可求解．
【详解】
解：设圆锥底面半径为rcm，则圆锥底面圆周长为2πrcm，即侧面展开图的弧长为2πrcm，
∴
14410
S=2r=
180
π
π
⋅⋅
圆锥底面周长
，解得：r＝4．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查圆锥的计算．
17．12．
【详解】
解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，∴△ABC∽△A1B1C1．
∵位似比是1：2，∴相似比是1：2．∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4．
∵△ABC 的面积为3，
∴△A 1B 1C 1的面积是：3×4=12．
故答案为：12．
18．50
【分析】
设购进这种水果a 千克，进价为y 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x ，则售价为(1)x y +元/千克，根据题意列不等式求解即可．
【详解】
解：设购进这种水果a 千克，进价为y 元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x ，则售价为(1)x y +元/千克，根据题意可得：
(120%)(1)100%20%a x y ay ay
-⨯+-⨯≥ 解得：150%2
x ≥
= 经检验：12x ≥是原不等式的解 ∴超市要想至少获得20%的利润，则这种水果的售价在进价的基础上应至少提高50%． 故答案为：50．
【点睛】
本题考查的知识点是一元一次不等式的应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键，要抓住题目中的关键字，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”等． 19．2
【详解】
解：原式=112122--+=11222
-⨯+=2．故答案为2．
20．x 1x 2-- 【分析】
括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的除法运算，再将x 的值代入化简后的式子进行计算即可．
【详解】
22x 2x 131x 1x 1-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭
， ()()2(x 1)x 13x 1x 1x 1
-+-=÷+-+， ()()2(x 1)x 1x 1x 1x 2
-+=⋅+--， x 1x 2
-=-，
当x 2=时，原式2
2===． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（1）600人；（2）补图见解析；（3）
16
【分析】
（1）根据条形统计图中的数据求出调查的居民人数即可；
（2）利用总人数减去其他类型的人数即可求得C 类型的人数，然后根据百分比的意义求解； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出吃到的两个粽子都是甜味的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】
解：（1）根据题意得：6010%600÷=（人）
（2）C 类的人数是：60018060240120---=（人）， C 类所占的百分比是：120100%20%600
⨯=， A 类所占的百分比是：
180100%30%600⨯=．
（3）如图，
得到所有等可能的情况有12种，吃到的两个粽子都是甜味的有2种，P（两个粽子都是甜
味）
21 126 ==．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．需要拆除．
【分析】
由题意得到△ABC为等腰直角三角形，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新坡面的坡度求出∠BDC=30°，得到DC的长，再利用勾股定理求出DB的长，由DB﹣AB求出AD的长，再比较AD+3与10的大小即可．
【详解】
解：需要拆除，理由为：
∵CB⊥AB，∠CAB=45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=10米，
在Rt△BCD中，新坡面DC的坡度为3，即∠CDB=30°，
∴DC=2BC=20米，=
∴AD=BD﹣AB=（10）米≈7.32米，
∵3+7.32=10.32＞10，
∴需要拆除．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题；属于应用题．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）
49
4
= PC
【分析】
（1）连结OD ，由AB 为⊙O 的直径，根据圆周角定理得AB 为⊙O 的直径得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，则∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB 为等腰直角三角形，所以DO ⊥AB ，根据切线的性质得OD ⊥PD ，于是可得到DP ∥AB ；
（2）利用角的关系得出∠FBD=∠EDA ，进而得出△FBD ≌△EDA ，即可得出DE=BF ；
（3）在Rt △ACB 中，利用AC=6，tan ∠CAB=43
，可得BC=8，再利用勾股定理得出AB=10，
由△DAB 为等腰直角三角形，可得由AE ⊥CD ，得出△ACE 为等腰直角三角形，
得出，在Rt △AED 中，可得，得出，由角的关系得出△PDA ∽△PCD ，利用比例式可得出PA=
57PD ，PC=75PD ，由PC=PA+AC ，可求得PD=354
，即可得出PC 的值．
【详解】
证明：（1）连结OD ，如图，
∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=︒，
∵ACB ∠的平分线交O 于点D ， ∴45ACD BCD ∠=∠=︒，
∴45DAB ABD ∠=∠=︒，
∴DAB 为等腰直角三角形，
∴⊥DO AB ，
∵PD 为O 的切线，∴OD PD ⊥，∴DP AB ．
（2）∵AE CD ⊥于点E ，BF CD ⊥于点F ，
∴AE BF ，∴FBO EAO ∠=∠，
∴DAB 为等腰直角三角形，∴90FBD EAD ∠+∠=︒，
∵90EDA EAD ，∴FBD EDA ∠=∠，
在FBD 和EDA 中，BFD DEA FBD EDA BD DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()FBD EDA AAS △≌△，
∴DE BF =．
（3）在Rt ACB ，∵6AC =，4tan 3CAB ∠=
， ∴4683BC =⨯=，∴22226810AB AC BC
，
∵DAB
为等腰直角三角形，∴AD =
= ∵AE CD ⊥，
∴ACE △
为等腰直角三角形，∴AE CE ====
在Rt AED △
中，DE
==
∴CD CE DE =+==，
∵AB PD ∥，∴45PDA DAB ∠=∠=︒，∴PDA PCD ∠=∠，
又∵DPA CPD ∠=∠， ∴PDA PCD △∽
△，
∴PD PA AD PC PD CD ===， ∴57PA PD =
，75PC PD =， 又∵PC PA AC =+，
∴57675PD PD +=，解得354
PD =， ∴5535254966677444PC PD =+=⨯+=+=． 【点睛】
本题主要考查了圆的综合题，切线的性质，三角形全等及相似的知识，解题的关键是利用相似三角形得出边的关系，再列出算式求解．
24．（1）乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月；（2）工程预
算的施工费用1000万元不够用，需追加预算80万元，理由见解析
【分析】
（1）设乙队单独完成这项工程需x 个月，甲队单独完成这项工程需3x 个月，由题意可得等
量关系：甲的工作效率×
2+（甲的工作效率+乙的工作效率）×4=1，根据等量关系可得方程：23x +(113x x
+)⨯4=1.解方程可得答案； （2）设甲乙两个工程队合作需要a 个月完成任务，由题意可得等量关系：（甲的工作效率+乙的工作效率）×工作时间=总工作量1，根据等量关系列方程，算出两队合干需要的时间，再根据时间计算出费用即可看出1000万元是否够用．
【详解】
解：（1）设乙队单独完成这项工程需x 个月，甲队单独完成这项工程需3x 月，由题意得： 2114133x x x ⎛⎫++⨯= ⎪⎝⎭
，解得6x =， 经检验：6x =是原方程的解，
则甲队单独完成这项工程需要1863=⨯个月，
答：乙队单独完成这项工程需6个月，甲队单独完成这项工程需18个月．
（2）设甲、乙两个工程队合作需要a 个月完成任务，由题意得：111186a ⎛⎫+⨯= ⎪⎝
⎭， 解得： 4.5a =，施工费用为：4.5(76164)1080⨯+=（万元），
∵10001080<，∴不够用，
需追加：1080100080-=（万元），
答：工程预算的施工费用1000万元不够用，需追加预算80万元．
【点睛】
此题主要考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意解题的完整性，此题用到的公式是：工作总量=工作效率×工作时间．
25．（1）抛物线a 与抛物线b 不是交融抛物线，抛物线a 与抛物线c 是交融抛物线，理由见解析；（2）所求抛物线l 的解析式为223y x x =--+或2
65y x x =-+-；（3）存在符合条件的等腰直角三角形，点S 的坐标为（0,0）或（0,3）．
【分析】
（1）求出抛物线a 的顶点坐标，分别代入抛物线b 与抛物线c ，判断即可；
（2）先确定抛物线a 的顶点M 的坐标，作点M 关于点P 的对称点N ，分别过点M 、N 作
直线y=2的垂线，垂足为E 、F ，可求出N 的纵坐标，代入求出N 的横坐标，分类讨论即可；
（3）设点S （0，c ），则点Q 的坐标分两类：①M ，Q ，S 逆时针分布时；②M ，Q ，S 顺时针分布时，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线22
:21(1)a y x x x =-+=-的顶点坐标为(1,0)M ，
当1x =时，22212210y x x =-+=-+=≠，
∴点M 不在抛物线b 上，
∴抛物线a 与抛物线b 不是交融抛物线；
∵当1x =时，2431430y x x =-+-=-+-=，
∴点M 在抛物线c 上，
∵抛物线22:43(2)1c y x x x =-+-=--+的顶点(2,1)N ，
当2x =时，2214411y x x =-+=-+=，
∴点N 在抛物线a 上，
∴抛物线a 与抛物线c 是交融抛物线．
（2）抛物线22:21(1)a y x x x =-+=-的顶点坐标为(1,0)M ． ∵将抛物线a ：221y x x =-+绕点P （t ，2）旋转180︒得到抛物线l ，抛物线a 与l 为交融抛物线，作顶点M 关于点P 的对称点N ，则点N 为抛物线l 的顶点，
分别过点M 、N 作直线2y =的垂线，垂足为E 、F ，则2ME NF ==，
∴点N 的纵坐标为4，
当4y =时，2214x x -+=，解得11x =-，23x =，
∴(1,4)N -或(3,4)N ，
当(1,4)N -时，设抛物线l 的解析式为2(1)4y a x =++，
∵点(1,0)M 在抛物线l 上，
∴20(11)4a =++，∴1a =-，
∴抛物线l 的解析式为22(1)423y x x x =-++=--+；
当(3,4)N 时，设抛物线l 的解析式为2(3)4y a x =-+，
∵点(1,0)M 在抛物线l 上，
∴20(13)4a =-+，∴1a =-，
∴抛物线l 的解析式为22(3)465y x x x =--+=-+-，
∴所求抛物线l 的解析式为223y x x =--+或2
65y x x =-+-．
（3）设点(0,)S c ，则分以下两种情况：
①当M ，Q ，S 逆时针分布时（如图中Q ），
过点Q 作QD y ⊥轴于D ，则∠QDS=∠SOM=90°，SM=SQ ，∠MSQ=90°， ∴∠OSM+∠DSQ=∠DQS+∠DSQ=90°，∠OSM=∠DQS ，
∴QDS SOM △≌△（AAS ），
∴QD OS c ==，OM=DS ，
∴1OD DS OS c =+=+，∴点(,1)Q c c +，
∵点Q 在抛物线221y x x =
-+上，∴2121c c c +=-+， 解得0c 或3c =，
∴(0,0)S 或(0,3)S ；
②当M ，Q ，S 顺时针分布时（如图中Q '），
同理可得(,1)Q c c -'-，
∵点Q '在抛物线221y x x =-+上，
∴2121c c c -=++，即220c c ++=，
∵∆<0，∴此方程无解，
综上所述，存在符合条件的等腰直角三角形MQS ，此时点S 的坐标为（0,0）或（0,3）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合以及新定义问题，涉及了全等三角形的判定与性质，抛物线的顶点坐标及一元二次方程的解，难度较大，关键是理解新定义以及运用数形结合的思想． 26．（1）直线BC 的解析式为122
y x =-+，抛物线的解析式为213222y x x =-++；（2）存在，点H 的坐标为67,55⎛⎫
⎪⎝⎭
；（3）S =2268555-++n n ． 【分析】 （1）将点A （-1，0），C （4，0）代入22y ax bx =++得出方程组，再解方程组求出a ，b
即可；根据B 、C 两点坐标利用待定系数法求出直线BC 的解析式即可；
（2）如图2中，设213,222F m m m ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，构建二次函数求出FN 最大时，点F 的坐标，证明ABC 是直角三角形，观察图象可知，只有
90FHN ABC ∠=∠=︒时，FHN CBA ，求出直线FH 的解析式，利用方程组即可求
出点H 的坐标； （3）根据4DF =，列出方程，求出m 的值，分两种情形分别求解即可．
【详解】
解：（1）把(1,0)A -，(4,0)C 代入22y ax bx =++
得到2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩
， 解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴抛物线的解析式为213222y x x =-
++， ∵(0,2)B ，(4,0)C ，
设直线BC 的解析式为y kx b =+，
则有240
b k b =⎧⎨+=⎩， 解得122
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为122
y x =-+． （2）如图1中，设213,22
2F m m m ⎛
⎫-++ ⎪⎝⎭，则1,22N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，
∴213122222FN m m m ⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭
21(2)22m =--+， ∵102
-<， ∴2m =时，FN 的值最大，此时(2,3)F ，
∵(1,0)A -，(0,2)B ，(4,0)C ，
∴1OA =，2OB =，4OC =， ∴OA OB OB OC
=， ∵AOB BOC ∠=∠，
∴AOB BOC ，
∴ABO BCO ∠=∠，
∵90BCO OBC ∠+∠=︒，
∴90ABO OBC ∠+∠=︒，
∵HNF MNC ∠=∠，90MNC ACB ∠+∠=︒，90BAC BCA ∠+∠=︒，
∴HNF BAC ∠=∠，
∵FNH △与ABC 相似，
观察图象可知，只有90FHN ABC ∠=∠=︒时， FHN CBA ，
设直线FH 的解析式为2y x b '=+，
把(2,3)F 代入得1b '=-，
∴直线FH 的解析式为21y x =-， 由21122y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得6575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴点H 的坐标为67,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
． （3）∵(1,0)A -，10,2⎛
⎫-
⎪⎝⎭G ，
∴直线AG 的解析式为1122y x =-
-，11,22D m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∵4DF =， ∴2131124222
2m m m ⎛⎫-++---= ⎪⎝⎭， 解得1m =或3．
①当1m =时，如图2中，12n <≤时，重叠部分是四边形D QBH '，
22(2)1331335(3)52510510ABC AQD D HC n n S S S S n n n ''-+=--=--⋅+⋅=-++△△△； 如图3中，24n <<时，重叠部分是QHC '△，
2
2211218812255510S HQ n n ⎛⎫-=⋅=⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
． ②当3m =时，如图4中，14n <<时，重叠部分是矩形QBHD '．
1))S D H D Q n n ''=⋅=
+⋅-2268555n n =-++． 【点睛】 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．。