人教版高中数学选择性必修第二册第5章 一元函数的导数及其应用 质量评估(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册
第5章一元函数的导数及其应用质量评估(原卷版)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．曲线f (x )＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为()
A ．－9
B ．－3
C ．9
D ．15
2．下列结论正确的个数是(
)
①若f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12；②若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－2
27；③若f (x )＝2x ，则f ′(x )＝2x ln
2；④若f (x )＝log 2x ，则f ′(x )＝1
x ln 2.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．33．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是()A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)
D ．(2，＋∞)
4．函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处切线的斜率为()
A ．－14
B ．2
C ．4
D ．－
12
5．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a 的值为()
A ．1
B ．2
C ．－6
D ．－12
6．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于()
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
7．已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是()
A．f(sinA)>f(cosB)
B．f(sinA)<f(cosB)
C．f(sinA)>f(sinB)
D．f(cosA)<f(cosB)
8．若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f(x)具有T性质．下列函数具有T性质的是()
A．y＝sin x B．y＝ln x
C．y＝e x D．y＝x3
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a可取的范围有() A．(－∞，－3]
B．(－∞，－3)
C．[6，＋∞)
D．(6，＋∞)
10．如图是函数y＝f(x)导函数y＝f′(x)的图象，下列选项中正确的是()
A．在x2处导函数y＝f′(x)有极大值
B．在x1，x4处导函数y＝f′(x)有极小值
C．在x3处函数y＝f(x)有极大值
D．在x5处函数y＝f(x)有极小值
11．对于函数f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x，下列正确的是()
A．x＝3是函数f(x)的一个极值点
B．f(x)的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)
C．f(x)在区间(1,2)上单调递减
D．直线y＝16ln3－16与函数y＝f(x)的图象有3个交点
12．已知函数f(x)＝x2－3x＋m－2ln x，()
A．m＝3时，f(x)有两个零点
B ．m ＝3时，f (x )的极小值点为2
C ．m ＝3时，f (x )≥0恒成立
D ．若f (x )只有一个零点，则m ＝2＋2ln 2
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1和x ＝－1处均有极值，且f (－1)＝－1，则
a ＋
b ＋
c ＝________.
14.已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－bx ，其中a ，b 为实数．若f (x )在区间[－1,2]上为减
函数，且b ＝9a ，则a 的取值范围是________．
15.已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x ，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为4，则a ＝
________；若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
16.已知矩形的两个顶点A ，D 位于x 轴上，另两个顶点B ，C 位于抛物线y ＝4
－x 2在x 轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．
18.(12分)设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导函数f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于
直线x ＝－1
2对称，且f ′(1)＝0.
(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极值．
19.(12分)已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．
20.(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－2
3
与x ＝1处都取得极值．
(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；
(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．
21.(12分)有A ，B 两家化工厂，相距48km ，现在要在两家化工厂连线上一点M
处建造居民小区，考虑点M 处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k 1，k 2(k 1，k 2>0)．若将A ，B 两家化工厂作为污染源，且已知A ，B 两厂的污染强度分别是8p 和p .连
线上任意一点处的污染指数y等于A，B两家化工厂污染指数的和，若设M A＝x km.
(1)试将y表示为x的函数；
(2)求当M点处的污染指数y取得最小值时x的值．
x2.
22.(12分)已知函数f(x)＝f′(1)e x－1－f(0)x＋1
2
(1)求f(x)的解析式及单调区间；
x2＋ax＋b，求(a＋1)b的最大值．
(2)若f(x)≥1
2
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第5章一元函数的导数及其应用质量评估(解析版)
(时间：120分钟，分值：150分)
一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．曲线f (x )＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标为()
A ．－9
B ．－3
C ．9
D ．15
C
解析：由已知得切线的斜率k ＝f ′(1)＝3，所以切线方程为y －12＝3(x －1)，即3x －y ＋
9＝0.
令x ＝0，得y ＝9，所以切线与y 轴交点的纵坐标为9.2．下列结论正确的个数是(
)
①若f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12；②若f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－2
27；③若f (x )＝2x ，则f ′(x )＝2x ln
2；④若f (x )＝log 2x ，则f ′(x )＝1
x ln 2.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
D
解析：①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0，①错；②③④均正确，直接利用求导公式即可
验证．
3．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是()A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)
D
解析：f ′(x )＝(x －2)e x .由f ′(x )>0得x >2.所以函数f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)．
4．函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处切线的斜率为()
A ．－14
B ．2
C ．4
D ．－
12
C
解析：∵y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝2x ＋1.∴g ′(1)＝k ＝2，
又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处切线的斜率为4.
5．如果函数f (x )＝2x 3＋ax 2＋1(a 为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间
(0,2)上单调递减，则a 的值为()
A ．1
B ．2
C ．－6
D ．－12
C
解析：令f ′(x )＝6x 2＋2ax ＝0，得x ＝0或x ＝－a
3
，由题意，知f ′(x )＝0的两根为0,2，
所以2＝－a
3
，所以a ＝－6.
6．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于()
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
D
解析：∵f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，∴f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6.又a >0，b >0，
∴a ＋b ≥2ab ，∴2ab ≤6，∴ab ≤9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．
7．已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是(
)
A ．f (sinA)>f (cosB)
B ．f (sinA)<f (cosB)
C ．f (sinA)>f (sinB)
D ．f (cosA)<f (cosB)A
解析：由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．
又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B>π2，即π2>A>π
2－B>0，故，即sinA>cosB>0.
故f (sinA)>f (cosB)．
8．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数具有T 性质的是()
A ．y ＝sin x
B ．y ＝ln x
C ．y ＝e x
D ．y ＝x 3
A
解析：∵(ln x )′＝1
x
>0，(e x )′＝e x >0，(x 3)′＝3x 2≥0.
∴选项B ，C ，D 中的曲线不存在两点，其切线的斜率之积为－1，只有A 项符合．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 可取的范围有()
A ．(－∞，－3]
B ．(－∞，－3)
C ．[6，＋∞)
D ．(6，＋∞)BD
解析：依题意f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，对应的判别式Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＝4a 2
－12a －72>0，即a 2－3a －18>0，即(a －6)(a ＋3)>0，解得a <－3或a >6.故选BD ．10．如图是函数y ＝f (x )导函数y ＝f ′(x )的图象，下列选项中正确的是(
)
A ．在x 2处导函数y ＝f ′(x )有极大值
B ．在x 1，x 4处导函数y ＝f ′(x )有极小值
C ．在x 3处函数y ＝f (x )有极大值
D ．在x 5处函数y ＝f (x )有极小值ABCD
解析：根据导函数f ′(x )的图象可知：x 1，x 4的两侧f ′(x )左减右增，所以在x 1，x 4
处导函数y ＝f ′(x )有极小值；x 2的两侧f ′(x )左增右减，所以在x 2处导函数y ＝f ′(x )有极大值．
根据导函数f ′(x )的图象可知：x 3的左侧导数大于零，右侧导数小于零，所以在x 3处函数y ＝f (x )有极大值.x 5的左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以在x 5处函数y ＝f (x )有极小值．故选ABCD ．
11．对于函数f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，下列正确的是()
A ．x ＝3是函数f (x )的一个极值点
B ．f (x )的单调递增区间是(－1,1)，(2，＋∞)
C ．f (x )在区间(1,2)上单调递减
D ．直线y ＝16ln 3－16与函数y ＝f (x )的图象有3个交点ACD
解析：由题得f ′(x )＝16
1＋x ＋2x －10＝2x 2－8x ＋61＋x
，x >－1.令2x 2－8x ＋6＝0，可得x
＝1或3，则f (x )在(－1,1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，所以x ＝3是函数f (x )的一个极值点，故AC 正确，B 错误．
因为f (1)＝16ln(1＋1)＋12－10＝16ln 2－9，f (3)＝16ln(1＋3)＋32－10×3＝16ln 4－21，又y ＝16ln 3－16＝f (2)，根据f (x )在(1,3)上单调递减得f (1)>f (2)>f (3)，得16ln 3－16<16ln 2－9，16ln 3－16>16ln 4－21，
所以直线y ＝16ln 3－16与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，故D 正确．故选ACD ．12．已知函数f (x )＝x 2－3x ＋m －2ln x ，(
)
A．m＝3时，f(x)有两个零点
B．m＝3时，f(x)的极小值点为2
C．m＝3时，f(x)≥0恒成立
D．若f(x)只有一个零点，则m＝2＋2ln2
ABD解析：对于选项A，当m＝3时，f(x)＝x2－3x＋3－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，f′(x)
＝2x－3－2
x＝
2x2－3x－2
x＝
(2x＋1)(x－2)
x
.
令f′(x)＝0，得x＝2，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝1－2ln2＝1－ln4<0，且f(1)＝1>0，f(3)＝3－2ln3>0，∴f(x)在定义域内有两个零点，故选项A正确．对于选项B，由上面的推导过程可知，当m＝3时，f(x)的极小值点为2，故选项B正确．对于选项C，由上面的推导过程可知，f(2)<0，故选项C错误．对于选项D，若f(x)只有一个零点，则方程x2－3x＋m－2ln x＝0只有一个根，即方程－m＝x2－3x－2ln x只有一个根．令g(x)＝x2－3x－2ln x，x>0，则函数g(x)的图象与直线y＝－m只
有一个交点．g′(x)＝(2x＋1)(x－2)
x，
令g′(x)＝0,∴x＝2，当0<x<2时，g′(x)<0；当x>2时，g′(x)>0，
∴g(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(2)＝－2－2ln2，且当x→0时，
g(x)→＋∞；当x→＋∞时，g(x)→＋∞.
∴函数g(x)的图象与直线y＝－m只有一个交点时，－m＝－2－2ln2，∴m＝2＋2ln2，故选项D正确．故选ABD．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝1和x＝－1处均有极值，且f(－1)＝－1，则a＋b＋c＝________.
1解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知f′(1)＝3a＋2b＋c＝0，f′(－1)＝3a－2b＋c＝0，
又f(－1)＝－a＋b－c＝－1，可解得a＝－1
2，b＝0，c＝
3
2，所以a＋b＋c＝1.
14.已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，则a的取值范围是________．
[1，＋∞)解析：由题意知f′(x)＝3x2－6ax－b≤0对x∈[－1，2]恒成立，b＝9a，所以f′(x)
＝3x2－6ax－9a≤0，即x2－2ax－3a≤0对x∈[－1,2]恒成立．因为2x＋3>0，所以a≥x2
2x＋3对x∈[－1,2]恒成立，容易求得a≥1.
15.已知曲线f (x )＝ax 3＋ln x ，若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为4，则a ＝
________；若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．1
(－∞，0)
解析：f ′(x )＝3ax 2＋1
x
.
令f ′(1)＝3a ＋1＝4，得a ＝1.∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )＝0有解，即3ax 2＋1
x ＝0有解，
∴3a ＝－1
x 3，而x >0，
∴a ∈(－∞，0).
16.已知矩形的两个顶点A ，D 位于x 轴上，另两个顶点B ，C 位于抛物线y ＝4
－x 2在x 轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为________．433，8
3
解析：由题意，设矩形边长AD ＝2x ，则AB ＝4－x 2，
∴矩形面积为S ＝2x (4－x 2)＝8x －2x 3(0<x <2)．∴S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，解得x 1＝
233，x 2＝－23
3
(舍去)．当0<x <23
3时，S ′>0；
当233<x <2时，S ′<0.
∴当x ＝
233时，S 取得最大值为323
9
.即矩形的边长分别是433，8
3时，矩形的面积最大．
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17.(10分)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．
(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．解：(1)由函数f (x )的图象过原点，得b ＝0.又f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，f (x )在原点处的切线斜率是－3，∴－a (a ＋2)＝－3，解得a ＝－3或a ＝1.
(2)由f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝－a＋2
3
.又f(x)在(－1,1)上不单调，
1<a<1，
≠－a＋2
3
1<－
a＋2
3
<1，
≠－a＋2
3
，
1<a<1，
≠－1
2
5<a<1，
≠－1
2
.
所以a
5
－
1
2
，
18.(12分)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导函数f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－
1
2对称，且f′(1)＝0.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解：(1)因为f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝6x2＋2ax＋b，
从而f′(
x)＝
＋b－
a2
6，即y＝f′(x)的图象关于直线x＝－
a
6对称，
从而由题设条件知－
a
6＝－
1
2，解得a＝3.
又因为f′(1)＝0，所以6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.
所以实数a，b的值分别为3，－12.
(2)由(1)知，f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，
f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)．
令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1，
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在区间(－∞，－2)内为增函数；
当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，
故f(x)在区间(－2,1)内为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
故f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数；
从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21
，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.
19.(12分)已知函数f(x)＝x2＋x sin x＋cos x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(a，f(a))处与直线y＝b相切，求a与b的值；
(2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．解：由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．
(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )．解得a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：
x (－∞，0)
0(0，＋∞)
f ′(x )－0＋f (x )
单调递减
1
单调递增
所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f (0)＝1是f (x )的最小值．
因此b 的取值范围是(1，＋∞).
20.(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－2
3
与x ＝1处都取得极值．
(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；
(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)对f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 求导，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .
由f ＝43－43a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝－1
2
，b ＝－2.
∴f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝－2
3或x ＝1.
当x 变化时，f ′(x )的变化情况如下表：
(2)f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]．当x ＝－23时，＝22
27＋c 为极大值，而f (2)＝2＋c ，
则f (2)＝2＋c 为最大值．
要使f (x )<c 2(x ∈[－1,2])恒成立，只需c 2>f (2)＝2＋c ，解得c <－1或c >2.∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
21.(12分)有A ，B 两家化工厂，相距48km ，现在要在两家化工厂连线上一点M
处建造居民小区，考虑点M 处的污染指数，据环保部门测定，连线上任意一点处的污染指数与污染源的强度成正比，与到污染源的距离的平方成反比，比例系数分别为k 1，k 2(k 1，k 2>0)．若将A ，B 两家化工厂作为污染源，且已知A ，B 两厂的污染强度分别是8p 和p .连线上任意一点处的污染指数y 等于A ，B 两家化工厂污染指数的和，若设M A ＝x km .(1)试将y 表示为x 的函数；
(2)求当M 点处的污染指数y 取得最小值时x 的值．
解：(1)点M 处受A 工厂的污染指数为8pk 1·k 2
x 2，受B 工厂的污染指数为pk 1·k 2(48－x )2，
从而点M 处的污染指数
y ＝8pk 1·k
2x 2＋pk 1·
k 2(48－x )2，其中0<x <48.(2)由(1)知y ＝8pk 1·k
2x 2＋pk 1·
k 2(48－x )2＝pk 1k 28
x 2＋
1(48－x )2，
所以y ′＝pk 1k 2－16x 3＋
2
(48－x )3，令y ′＝0，
即pk 1k 2－16x 3
＋
2
(48－x )3＝0，得x ＝32，且当0<x <32时y ′<0；当32<x <48时y ′>0，因此y 在x ＝32处取得极小值，即最小值．
故当点M 处的污染指数y 取得最小值时x 的值等于32.
22.(12分)已知函数f (x )＝f ′(1)e x －
1－f (0)x ＋12
x 2.
(1)求f (x )的解析式及单调区间；
(2)若f (x )≥1
2x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值．
解：(1)f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋1
2x 2，
则f ′(x )＝f ′(1)e x －
1－f (0)＋x .
令x ＝1，得f (0)＝1.∴f (x )＝f ′(1)e x －
1－x ＋12x 2.
令x ＝0得f (0)＝f ′(1)e －1＝1，∴f ′(1)＝e.∴f (x )＝e x －x ＋1
2
x 2.
设g(x)＝f′(x)，
则g(x)＝f′(x)＝e x－1＋x.
∵g′(x)＝e x＋1>0，∴f′(x)＝g(x)在x∈R上单调递增．∴f′(x)>0＝f′(0)⇒x>0；f′(x)<0＝f′(0)⇒x<0.
综上可知，f(x)的解析式为f(x)＝e x－x＋1
2
x2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为
(－∞，0)．
(2)f(x)≥1
2
x2＋ax＋b⇔h(x)＝e x－(a＋1)x－b≥0.
易得h′(x)＝e x－(a＋1)．
①当a＋1≤0时，h′(x)>0，
∴y＝h(x)在x∈R上单调递增，
此时当x→－∞时，h(x)→－∞与h(x)≥0矛盾；
②当a＋1>0时，h′(x)>0⇔x>ln(a＋1)，h′(x)<0⇔x<ln(a＋1)，∴当x＝ln(a＋1)时，h(x)min＝(a＋1)－(a＋1)ln(a＋1)－b≥0，(a＋1)b≤(a＋1)2－(a＋1)2ln(a＋1)(a＋1>0)．
令F(x)＝x2－x2ln x(x>0)，
则F′(x)＝x(1－2ln x)．
F′(x)>0⇔0<x<e；F′(x)<0⇔x>e.
∴当x＝e时，F(x)max＝e 2 .
∴当a＝e－1，b＝
e
2时，(a＋1)b的最大值为
e
2
.。