推荐-高中数学人教A版选修2-3课件1习题课1 两个计数原理的综合应用

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变式训练3 如图所示的几何体是由一个三棱锥P-ABC与三棱
分析：注意考虑不相邻区域颜色是否相同.
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解：分两大类. 第一大类,6,5,1,2四部分栽种4种不同颜色的花,共分两步. 第1步,在6,5,1,2四部分栽种不同颜色的花,共有4×3×2×1=24种 不同栽法; 第2步,栽种3,4部分,又有两类.第1类,3与6栽种的颜色相同,4与2 栽种的颜色相同,有1种栽法;第2类,3与5栽种的颜色相同,4与2或6 栽种的颜色相同,有2种栽法,共有1+2=3种栽法. 由分步乘法计数原理,第一大类共有24×3=72种不同的栽种方法.
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(2)因为满足要求的四位数能被5整除,所以个位上的数字只能是 0或5.
第1类,当个位上的数字为0时,依次取千位、百位、十位上的数 字,分别有5种选择、4种选择、3种选择,所以有5×4×3=60个满足 要求的四位数;
第2类,当个位数字为5时,依次取千位、百位、十位上的数字,分 别有4种选择、4种选择、3种选择,所以有4×4×3=48个满足要求 的四位数.
根据分类加法计数原理,能被5整除的四位数共有60+48=108(个).
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第二大类,在6,5,1,2四部分中,2与5栽种的颜色相同,可分三步. 第1步,栽种6,5,1部分,可从4种颜色的花中选3种进行栽种,有 4×3×2=24种栽法; 第2步,栽种第2部分,与5相同,有1种栽法; 第3步,栽种3,4部分,又有两类.第1类,3与6相同,4栽种剩余的第4 种颜色的花,有1种栽法;第2类,3栽种剩余第4种颜色的花,4与6栽种 相同颜色的花,有1种栽法,共有2种栽法. 由分步乘法计数原理得第二大类共有24×1×2=48种不同的栽种 方法.故共有72+48=120种不同的栽种方法.
第2步,明确区别,把不符合的情况找出来; 第3步,得出结论.
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【例2】 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社
会实践,其中甲工厂必须有班级去,每班去哪个工厂可自由选择,则
不同的分配方案有( )
A.16种
B.18种 C.37种 D.48种
分析：解决此类问题可以用直接法先分类再分步,也可用排除法.
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元素重复的计数问题
典例已知集合A={a1,a2,a3,a4},集合B={b1,b2},其中 aibj(i=1,2,3,4,j=1,2)均为实数.
(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射? (2)能构成多少个以集合A为定义域,以集合B为值域的不同函数. 【审题策略】(1)由映射的定义可知,集合A中的每一个元素总对 应着B中唯一的元素;(2)依题意,集合B中的每一个元素在集合A中 要有对应元素,因此只要从问题(1)的映射数中减去A中四个元素对 应B中一个元素的情况即可得到(2)的解.
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(方法二 以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5;分成以下 10类.
第1类,空盒子标号为(1,2),选法有3×2×1=6(种); 第2类,空盒子标号为(1,3),选法有3×2×1=6(种); 第3类,空盒子标号为(1,4),选法有3×2×1=6(种). 分类还有以下几种情况:(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5);共 10类,每一类都有6种方法. 根据分类加法计数原理得,共有方法数6+6+…+6=60(种).
的方法种数是( )
A.8 B.15 C.16 D.30
解析：第1类,从会第1种方法的3人中选1人,有3种不同的选法;第
2类,从会第2种方法的5人中选1人,有5种不同的选法,共有5+3=8种
不同的选法.
答案：A
做一做3 用数字2,3组成四位数,且数字2,3都至少出现一次,这
样的四位数共有
个.(用数字作答)
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变式训练2 3个不同的小球放入5个不同的盒子,每个盒子至多 放一个小球,共有多少种不同的方法?
探究一两个计数原理在排数中的应用 【例1】 导学号78430005从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字 组成一个四位数,问: (1)能组成多少个四位数? (2)能被5整除的四位数有多少个? 分析：(1)要完成的一件事是组成四位数,所以首位数字不能是 0;(2)要使所组成的四位数能被5整除,则末位数字必须是0和5中的 一个.
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用两个计数原理解决计数问题时,最重要的是在开始计算之前要
进行仔细分析——需要分类还是需要分步.
分类要做到“不重不漏”.分类后再分别对每一类进行计数,最后
用分类加法计数原理求和,得到总数.
分步要做到“步骤完整”——完成了所有步骤,恰好完成任务,当
然步与步之间要相互独立.分步后再计算每一步的方法数,最后根
据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
做一做1 某小组有8名男生,6名女生,从中任选男生、女生各一
名去参加座谈会,则不同的选法有( )
A.48种
B.24种 C.14种 D.12种
解析：从8名男生中任意挑选一名参加座谈会,有8种不同的选法;
解：(方法一 以小球为研究对象)分三步来完成. 第1步,放第一个小球有5种选择; 第2步,放第二个小球有4种选择; 第3步,放第三个小球有3种选择. 根据分步乘法计数原理得,共有方法数5×4×3=60(种).
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解析：(方法一 直接法) 以甲工厂分配班级情况进行分类,共分为三类. 第1类,三个班级都去甲工厂,此时分配方案只有1种; 第2类,有两个班级去甲工厂,剩下的班级去另外三个工厂,其分配 方案有3×3=9(种); 第3类,有一个班级去甲工厂,另外两个班级去其他三个工厂,其分 配方案有3×3×3=27(种). 综上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(种). (方法二 间接法) 先计算3个班自由选择去哪个工厂的总数,再扣除甲工厂无人去 的情况,即有4×4×4-3×3×3=37种不同的分配方案. 答案：C
解析：可用排除法,这个四位数每一位上的数只能是2或3,则这
样的四位数共有24个.而题目要求数字2,3都至少出现一次,所以全
是2或全是3的四位数不满足,即满足要求的四位数有24-2=14(个).
答案：14
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柱ABC-A1B1C1组合而成的,现用3种不同颜色对这个几何体的表面
染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方
案共有
种.
解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面, 由分步乘法计数原理,共有3×2×1×2=12种不同的涂法.
答案：12
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变式训练1 用0,1,…,9这十个数字,可以组成多少个:
(1)三位数?
(2)无重复数字的三位数?
(3)小于500的无重复数字的三位数?
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解：(1)第1步,千位上的数不能取0,只能取1,2,3,4,5,有5种选择; 第2步,由于千位取了一个数,还剩下5个数供百位取,所以有5种选 择; 第3步,由于千位、百位分别取了一个数,还剩下4个数供十位取, 所以有4种选择; 第4步,由于千位、百位、十位分别取了一个数,还剩下3个数供 个位取,所以有3种选择. 根据分步乘法计数原理,组成的四位数共有5×5×4×3=300(个).
(2)在(1)的映射中,a1,a2,a3,a4均对应同一个元素b1或b2的情形构 不成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数,这样的映射有2个.
所以构成以集合A为定义域,以集合B为值域的函数有162=14(个).
【答题模版】
(1)第1步,先确定符合哪一个计数原理; 第2步,分析题意,确定乘式得结论. (2)第1步, 分析题意要求找出与(1)的联系;
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探究三涂色问题 【例3】 导学号78430006某城市在中心广场建造一个花圃,花圃 分为6个部分(如图),现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且 相邻部分不能栽种同样颜色的花,求共有多少种不同的栽种方法.
(3)百位上的数字只有4种选择,十位上的数字有9种选择,个位上
的数字有8种选择.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数共有
4×9×8=288(个).
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探究二抽取(分配)问题
习题课——两个计数原理的综合应用
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学习目标
思维脉络
1.进一步掌握和理解分类 加法计数原理和分步乘法
计数原理. 2.能应用两个计数原理解 决实际问题.
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பைடு நூலகம்
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从6名女生中任意挑选一名参加座谈会,有6种不同的选法.由分步
乘法计数原理知,不同选法共有8×6=48(种).
答案：A
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做一做2 一项工作可以用两种方法完成,有3人会用第1种方法
完成,有5人会用第2种方法完成,从中选出1人来完成这项工作,不同
解：(1)由于0不可以在最高位,所以百位上的数字有9种选择,十
位上的数字和个位上的数字各有10种选择.由分步乘法计数原理
知,适合题意的三位数共有9×10×10=900(个).
(2)由于数字不能重复,可知百位上的数字有9种选择,十位上的数
字也有9种选择,但个位上的数字仅有8种选择.由分步乘法计数原
理可知适合题意的三位数共有9×9×8=648(个).
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【规范展示】(1)因为集合A中的每个元素ai(i=1,2,3,4)与集合B 中元素的对应方法都有2种,由分步乘法计数原理,得构成A→B的映
射有2×2×2×2=24=16(个).