一元微积分A：函数极限与连续复习提纲

第一章 函数、极限与连续
一．函数的基本概念与简单性质
1. 知道函数的定义，会求函数的定义域（或定义区间），根据定义域、对应法则判断两个函数是否相同
2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性和周期性，知道这些性质的几何意义 注意 下列函数在),(∞+-∞上有界，
1sin ≤x ，1cos ≤x ，2arctan π<
x ，2112≤+x
x 下列函数为奇函数 )11(11ln <<-+-=x x
x y ；11+-=x x a a y ，)()1ln(2+∞<<-∞++=x x x y 3. 知道函数与其反函数的定义域、值域、图形之间的对应关系，会求函数的反函数
4. 熟记基本初等函数的图形，并由此说明定义域、值域，以及函数的特性
知道初等函数的定义
5. 重视分段函数
二．数列极限
1. 了解数列极限a x n n =∞
→lim 的含义，即当∞→n 时，a x n → 2. 知道01lim =∞→n n ，)0(01lim >=∞→k n
k n ，)1(0lim <=∞→q q n n ， 会利用上述结论求下列极限 43754623lim 22=+++-∞→n n n n n ，07
5462lim 2=+++-∞→n n n n ， ∞=++-∞→75623lim 2n n n n 13232lim -=+-∞→n n n n n ，13434lim =+-∞→n
n n
n n
3. 了解数列极限的性质
三．函数极限
1. 了解函数极限的含义，知道
a x f x x =→)(lim 0⇔a x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 0
0 a x f x =∞→)(lim ⇔a x f x f x x ==+∞
→-∞→)(lim )(lim 2. 会利用左、右极限求分段函数在分界点处的极限
3. 知道下列结论
1lim 0-=-→x x x ，1lim 0=+→x x x x x
x 0lim →⇒不存在
2arctan lim π-=-∞→x x ,2arctan lim π=+∞→x x x x arctan lim ∞
→⇒不存在 4. 了解函数极限的性质
四．极限运算法则
1. 会利用极限的运算法则计算极限，注意○1法则适用于任意有限次四则运算，○
2参加四则运算的极限必须都存在，○
3分母极限不为零 2. 熟练运用下列结论
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++--∞→n
m n m n m b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当,,,0,,lim 00110110
（这一结论同样适用于数列极限） 3. 会利用因式分解，分式有理化约去趋于零的公因子，将00型的极限转化为非0
0型的极限计算，例如
n x x x x x n n x n x =++++=----→→)1(lim 11lim 211
1 （n 为正整数），
1112lim 11lim
00=-++=--+→→x
x x x x x x 五．极限存在准则 两个重要极限
1. 了解夹逼准则和单调有界准则
2. 熟练运用两个重要极限及其相关结论计算极限
（1）1sin lim 0=→x x x 或 11sin lim =∞→x
x x ， 1tan lim 0=→x x x ，21cos 1lim 2
0=-→x x x ，1arcsin lim 0=→x x x ，1arctan lim 0=→x x x （2）e x
x x =+∞→)11(lim 或 e x x x =+→10)1(lim 1)1ln(lim 0=+→x
x x ，11lim 0=-→x e x x ，a x a x x ln 1lim 0=-→
六．无穷小与无穷大
1. 知道无穷小的定义，常数零为无穷小，非零常数不是无穷小
2. 知道两个无穷小的和、差、积也是无穷小
两个无穷小的商是未定式，无限个无穷小的和未必是无穷小
3. 无穷小与有界函数的乘积也是无穷小，知道下列结论
,01sin lim ,0sin lim 0==→∞→x x x x x x 0)!cos(lim ,0arctan lim ==∞→∞→n
n x x n x 4. 知道高阶无穷小、低阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小的定义，会利用上述定义判断两个无穷小的关系
5. 熟记下列等价无穷小
当0→x 时，x x x x x x x x x x ~arctan ,~arcsin ,2
~cos 1,~tan ,~sin 2
- x x a x a x e x x x x αα~1)1(,ln ~1,~1,~)1ln(-+--+
6. 在极限计算中，对因式作等价无穷小代换
注意：不能对函数加减、复合函数直接作等价无穷小代换 例如 0lim sin tan lim 3030=-=-→→x
x x x x x x x 是错误的 正确方法是212lim )cos 1(tan lim sin tan lim 3
2
03030=⋅=-=-→→→x x x x x x x x x x x x 7. 知道无穷大的定义
8. 知道无穷小（不为零）的倒数是无穷大，无穷大的倒数是无穷小
9. 知道∞±∞，
∞
∞都是未定式，无穷小与无穷大的乘积也是未定式 10. 典型例题 ()
x x x x -+++∞→1lim 2，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-→x x x 1113lim 31，[]x x x x ln )2ln(lim --+∞→
七．函数连续性的概念
1. 知道函数连续的定义及其几何意义
[]0)()(lim lim 0000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x 或 )()(lim 00
x f x f x x =→ 2. 会判断分段函数的分界点处的连续性
3. 知道函数间断点分类的定义，会判断间断点的类型
第一类间断点：)(lim ,)(lim 0
0x f x f x x x x +-→→都存在 可去间断点 )(lim )(lim 0
0x f x f x x x x +-→→=（)(0x f ≠） 跳跃间断点 )(lim )(lim 0
0x f x f x x x x +-→→≠ 第二类间断点：)(lim ,)(lim 0
0x f x f x x x x +-→→至少有一个不存在 了解无穷间断点、震荡间断点
八．连续函数的运算
1. 了解连续函数的和、差、积、商的连续性
2.了解反函数与复合函数的连续性
3.知道基本初等函数在其定义域内都是连续的
4.知道一切初等函数在其定义区间内都是连续的
5.会求函数的连续区间
九．闭区间上连续函数的性质
1．了解闭区间上连续函数的有界性和最大值（最小值）定理2．了解闭区间上连续函数的零点定理和介值定理
3．会运用零点定理证明方程根的存在性。