2018版高中数学第1讲坐标系二极坐标系练习新人教A版选修4_4

二 极坐标系
一、基础达标
1.点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，74π，则点P 的直角坐标为( ) A.(2，2) B.(2，－2) C.(2，2)
D.(－2，2)
解析 x ＝ρcos θ＝2，y ＝ρsin θ＝－ 2. 答案 B
2.点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标可以为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0
B.⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π2 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，－π2
解析 ∵ρ＝x 2
＋y 2
＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π2.
答案 C
3.下列各点与⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3表示极坐标系中同一点的是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3
B.(2，π)
C.⎝
⎛⎭⎪⎫2，7π3 D.(2，2π)
解析 与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3相同的点可以表示为
⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3＋2k π(k ∈Z )，只有⎝
⎛⎭⎪⎫2，7π3适合.
答案 C
4.在极坐标系中，已知点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π4、P 2⎝
⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( )
A.9
B.10
C.14
D.2
解析 ∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π
2，∴△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得|P 1P 2|＝10.
答案 B
5.在极坐标系中，已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34π，B ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4，则A 、B 两点间的距离为________.
解析 由公式|AB |＝ρ21＋ρ2
2－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）， 得|AB |＝1＋4－2×1×2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫3π4－π4＝1＋4－0＝ 5.
答案
5
6.平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于________.
解析 ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标为Q 的点到极轴所在直线的距离等于6⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin 7π6＝3.
答案 3
7.在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标.
解 设M (r ，0)，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4，∴（42）2＋r 2
－82r cos π4
＝5，
即r 2
－8r ＋7＝0，解得r ＝1或r ＝7. ∴点M 的坐标为(1，0)或(7，0). 二、能力提升
8.下列的点在极轴上方的是( ) A.(3，0)
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6
C.⎝
⎛⎭⎪⎫4，7π4
D.⎝
⎛⎭⎪⎫4，17π4
解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π4在
极轴下方，点⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，
17π4在极轴上方，故选D.
答案 D
9.点M ⎝
⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在直线的距离为________.
解析 依题意，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，5π6到极轴所在的直线的距离为d ＝6×sin 5π6＝3.
答案 3
10.已知极坐标系中，极点为O ，0≤θ<2π，M ⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，在直线OM 上与点M 的距离为4的
点的极坐标为________.
解析 如图，|OM |＝3，∠xOM ＝π
3，在直线OM 上取点P ，Q ，使|OP |＝7，
|OQ |＝1，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.
点P ，Q 都满足条件，且∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π
3
.
答案 ⎝
⎛⎭⎪⎫7，π3或⎝
⎛⎭
⎪⎫1，4π3
11.(1)已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－3π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，
11π6，求它们
的直角坐标.
(2)已知点的直角坐标分别为A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
0，－53，C (－1，－3)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).
解 (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，532，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1
2，32，C (－2，－2)，
D (23，－2).
(2)根据ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x 得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3π2，C ⎝
⎛⎭⎪⎫2，4π3.
12.在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝
⎛⎭⎪⎫2，5π3.
(1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积.
解 (1)如图所示，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝
⎛⎭⎪⎫2，5π3得|OA |＝
|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π
3.
∴△AOB ≌△BOC ≌△AOC ，∴AB ＝BC ＝CA ， 故△ABC 为等边三角形. (2)由上述可知，
AC ＝2OA sin π3＝2×2×
3
2
＝2 3. ∴S △ABC ＝
34
×(23)2
＝33(面积单位). 三、探究与创新
13.某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB |＝
|BC |，|OC |＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B 外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).
解 以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系. 由|OC |＝600 m ，∠AOC ＝π6，∠OAC ＝π
2，得|AC |＝300 m ，|OA |＝300 3 m ，又|AB |＝|BC |，
所以|AB |＝150 m.
同理，得|OE |＝2|OG |＝3002m ，所以各点的极坐标分别为O (0，0)，A (3003，0)，
C ⎝ ⎛⎭⎪⎫600，π6，
D ⎝ ⎛⎭⎪⎫300，π2，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3002，3π4，
F (300，π)，
G ⎝
⎛⎭⎪⎫1502，34π.。