高中数学新教材《5.2.2 同角三角函数的基本关系》公开课优秀课件(好用)

，又因为
，
2.若
sin =
−3
4 − 2

, cos =
, ∈
,
+5
+5
2
tan
x
，求
答案：
m 3 4 2m
，即：


1
m5 m5
2
由 sin 2 x cos2 x 1
π
x

或8，又
,π
2
m8
2
sin x 0,cos x 0
cos
换成2 、3 、x 、2x 吗?

为什么平方关系中角可以换成其他的角，而
商数关系中不可以呢?
“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任
意”一个角（在使得函数有意义的前提下）关系式都
成立.
教师总结：平方关系：两弦（正弦与余弦）函数之间
的关系，商数关系：弦、切函数之间的关系.
说明：
5
12
，cos x
13
13
，则：
sin x
tan x
（舍），
，则：
，
m 0，
m0
5
12
，所以：
1.知识：平方关系，商数关系.
2.思想方法：分类30 cos2 30 1
sin 2 45 cos2 45 1
sin 2 60 cos2 60 1
sin 30
3

cos 30
3
sin 45
1
cos 45
sin 60
3
cos 60
.
探究一:同角三角函数的基本关系
还记得三角函数的定义吗?
设角 的终边与单位圆的交点为 P（x，y），则
2
sin

1.
是(sin )2
2.关系式的变形
(1) cos 2 1 sin 2
(2)sin 2 1 cos 2
(3)sin cos tan
sin
(4) cos
tan
2
(sin

)
的简写，注意与
的区别；
例题
1.已知点 P(m, 2),(m 0)
点.过P作x轴的垂线，交y轴于M，则三角形OMP是
直角三角形，且OP=1.
2
2
x

y
1，
由勾股定理得：
OM MP 1 ，因此，
2
2
即 sin 2 cos2 1
显然，当 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.
根据三角函数的定义，当 a k

2
(k Z) 时，有
人教A版2019高中数学新教材必修
第一册
5.2.2 同角三角函数的基本关系
计算下列式子
sin 2 30 cos2 30
sin 2 45 cos2 45
sin 2 60 cos2 60
sin 30

cos 30
sin 45

cos 45
sin 60

cos 60
观察计算的结果，你有什么发现吗?
m
cos
且
3
sin
，求
tan
和

为角
终边上一点，
答案：
设 OP r, x m, y 2
知r 3

m2 (3)2 3, m2 5
，即
2
2 5
sin , tan
3
5
所以
x m
cos


,则 r r
x m

，由已
r 3
m 0 m 5
sin
tan
cos
也就是说，同一个角 的正弦、余弦的平方和等于1，
商等于角 的正切.
探究二:平方关系与商数关系的变形.
若把关系式 sin 2 cos2 1 叫做平方关系，则可以把
角 换成2 、3 、x 、2x 吗?
若把关系式
sin
tan 叫做商数关系，则可以把角
tan
cos a
上述关系式对任意角是否都成立?
不是的，当 cos 0 时不成立.
总结
同角三角函数的基本关系：
(1)sin 2 cos2 1
sin

(2)
tan ( k , k Z )
cos
2
证明
如图，设点P（x，y）是角 的终边与单位圆的交
y
sin y，
cos x，tan
x
点P（x，y）的横坐标与纵坐标之间有什么关系?
x2 y 2 1
你能从角 的正弦、余弦的角度表述上式的关系吗?
sin 2 cos2 1
上述关系式对任意角是否都成立?
角 的正弦、余弦与正切之间满足什么关系呢?
sin a