小题押题14解直角三角形-备战2021年中考数学临考题号押题(解析版)【浙江专版】

备战2021年中考数学临考题号押题（浙江专版）
小题押题14解直角三角形
〖真题回顾〗
1．（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）
A．c＝b sin B B．b＝c sin B C．a＝b tan B D．b＝c tan B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．
【解析】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sin B=b
c，即b＝c sin B，故A选项不成立，B选项成立；
tan B=b
a，即b＝a tan B，故C选项不成立，D选项不成立．
故选：B．
2．（2020•温州）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）
A．（1.5+150tanα）米B．（1.5+150
tanα）米
C．（1.5+150sinα）米D．（1.5+150
sinα）米
【分析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，再由锐角三角函数的定义求出BE的长，由BC＝CE+BE即可得出结论．
【解析】过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：
则四边形ADCE为矩形，AE＝150米，
∴CE＝AD＝1.5米，
在△ABE中，∵tanα=BE
AE
=BE
150，
∴BE＝150tanα，
∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（米），
故选：A．
3．（2019•温州）某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（）
A．9
5sinα米B．
9
5cosα
米C．
5
9sinα
米D．
5
9cosα
米
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长．【解析】作AD⊥BC于点D，
则BD=3
2
+0.3=95，
∵cosα=BD AB，
∴cosα=
9
5 AB，
解得，AB=
9
5cosα米，
故选：B．
4．（2019•杭州）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）
A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos x
C．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点A到OC的距离，本题得以解决．
【解析】作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，
∴∠EAB＝x，
∴∠FBA＝x，
∵AB＝a，AD＝b，
∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，
故选：D．
5．（2018•金华）如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AB与AD 的长度之比为（）
A ．
tanαtanβ
B ．
sinβsinα
C ．
sinαsinβ
D ．
cosβcosα
【分析】在两个直角三角形中，分别求出AB 、AD 即可解决问题． 【解析】在Rt △ABC 中，AB =AC
sinα
， 在Rt △ACD 中，AD =AC
sinβ， ∴AB ：AD =AC
sinα：AC sinβ=sinβsinα
， 故选：B ．
6．（2020•金华）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A ，B ，C 均为正六边形的顶点，AB 与地面BC 所成的锐角为β．则tan β的值是
19√315
．
【分析】如图，作AT ∥BC ，过点B 作BH ⊥AT 于H ，设正六边形的边长为a ，则正六边形的半径为a ，边心距=√3
2a ．求出BH ，AH 即可解决问题．
【解析】如图，作AT ∥BC ，过点B 作BH ⊥AT 于H ，设正六边形的边长为a ，则正六边形的半径为a ，边心距=
√32
a ．
观察图象可知：BH =192a ，AH =5√3
2a ， ∵AT ∥BC ， ∴∠BAH ＝β，
∴tan β=BH AH =192a 532
a =19√3
15． 故答案为
19√315
．
7．（2019•舟山）如图，在△ABC 中，若∠A ＝45°，AC 2﹣BC 2=
√5
5
AB 2，则tan C ＝ √5 ．
【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，易证△ABD 是等腰直角三角形，那么AD ＝BD ．根据勾股定理得出AB 2＝AD 2+DB 2＝2BD 2，BC 2＝DC 2+BD 2，那么AC 2﹣BC 2＝（AD +DC ）2﹣（DC 2+BD 2）＝2BD •DC ，代入AC 2﹣BC 2=
√5
5
AB 2，得出DC =
√5
5
BD ，进而根据正切函数的定义即可求解．
【解析】如图，过B 作BD ⊥AC 于D ， ∵∠A ＝45°， ∴∠ABD ＝∠A ＝45°， ∴AD ＝BD ．
∵∠ADB ＝∠CDB ＝90°，
∴AB 2＝AD 2+DB 2＝2BD 2，BC 2＝DC 2+BD 2， ∴AC 2﹣BC 2＝（AD +DC ）2﹣（DC 2+BD 2） ＝AD 2+DC 2+2AD •DC ﹣DC 2﹣BD 2 ＝2AD •DC
＝2BD •DC ， ∵AC 2﹣BC 2=√5
5
AB 2，
∴2BD •DC =
√5
5
×2BD 2，
∴DC =√5
5BD ， ∴tan C =
BD DC =5
5
BD =√5． 故答案为√5．
8．（2019•衢州）如图，人字梯AB ，AC 的长都为2米，当α＝50°时，人字梯顶端离地面的高度AD 是 1.5 米（结果精确到0.1m ．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解析】∵sin α=AD
AC ，
∴AD ＝AC •sin α≈2×0.77＝1.5， 故答案为：1.5
9．（2019•杭州）在直角三角形ABC 中，若2AB ＝AC ，则cos C ＝
√32或2√5
5
． 【分析】讨论：若∠B ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，利用勾股定理计算出BC =√3x ，然后根据余弦的定义求cos C 的值；若∠A ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，利用勾股定理计算出BC =√5x ，然后根据余弦的定义求cos C 的值．
【解析】若∠B ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，所以BC =√(2x)2−x 2=√3x ，所以cos C =BC AC =√3x 2x =√3
2； 若∠A ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，所以BC =√(2x)2+x 2=√5x ，所以cos C =AC
BC =2x √5x
=2√5
5； 综上所述，cos C 的值为
√32或2√5
5
．
故答案为
√32或2√55
． 10．（2019•湖州）有一种落地晾衣架如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度．图2是支撑杆的平面示意图，AB 和CD 分别是两根不同长度的支撑杆，夹角∠BOD ＝α．若AO ＝85cm ，BO ＝DO ＝65cm ．问：当α＝74°时，较长支撑杆的端点A 离地面的高度h 约为 120 cm ．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【分析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ，利用等腰三角形的三线合一得到OE 为角平分线，进而求出同位角的度数，在直角三角形AFB 中，利用锐角三角函数定义求出h 即可． 【解析】过O 作OE ⊥BD ，过A 作AF ⊥BD ，可得OE ∥AF ， ∵BO ＝DO ， ∴OE 平分∠BOD ， ∴∠BOE =12
∠BOD =
1
2
×74°＝37°， ∴∠F AB ＝∠BOE ＝37°，
在Rt △ABF 中，AB ＝85+65＝150cm ， ∴h ＝AF ＝AB •cos ∠F AB ＝150×0.8＝120cm ， 故答案为：120
11．（2019•宁波）如图，某海防哨所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一艘船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距离OB约为566米．（精确到1米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
【分析】通过解直角△OAC求得OC的长度，然后通过解直角△OBC求得OB的长度即可．
【解析】如图，设线段AB交y轴于C，
在直角△OAC中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则AC＝OC．
∵OA＝400米，
∴OC＝OA•cos45°＝400×√2
2
=200√2（米）．
∵在直角△OBC中，∠COB＝60°，OC＝200√2米，
∴OB=
OC
cos60°
=200√2
1
2
=400√2≈566（米）
故答案是：566．
12．（2019•金华）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB 对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是40°．
【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．【解析】过A点作AC⊥OC于C，
∵∠AOC＝50°，
∴∠OAC＝40°．
故此时观察楼顶的仰角度数是40°．
故答案为：40°．
13．（2018•宁波）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为1200（√3−1）米（结果保留根号）．
【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB 的长．
【解析】由于CD∥HB，
∴∠CAH＝∠ACD＝45°，∠B＝∠BCD＝30°
在Rt△ACH中，∵∴∠CAH＝45°
∴AH＝CH＝1200米，
在Rt△HCB，∵tan∠B=CH HB
∴HB=
CH
tan∠B
=1200
tan30°
=1200
√3
3
=1200√3（米）．∴AB＝HB﹣HA
＝1200√3−1200
＝1200（√3−1）米
故答案为：1200（√3−1）
14．（2019•温州）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为（5+5√3）分米；当OB从水平状态旋转到OB'（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB'上的点E'处，则B'E'﹣BE为4分米．
【分析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【解析】如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP=1
2∠COD＝30°，
∴QM＝OP＝OC•cos30°＝5√3（分米），∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ=1
2OA＝5（分米），
∴AM＝AQ+MQ＝5+5√3．
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝2√3（分米），
在Rt△FKE中，EK=√EF2−FK2=2√6（分米）
∴BE＝10﹣2﹣2√6=（8﹣2√6）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝2√3（分米），
在Rt△FJE′中，E′J=√62−(2√3)2=2√6，
∴B′E′＝10﹣（2√6−2）＝12﹣2√6，
∴B′E′﹣BE＝4．
故答案为5+5√3，4．
15．（2019•金华）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．
（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝90﹣45√3cm．
（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为2256cm2．
【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；
（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．
【解析】∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．
∴EF＝50+40＝90cm
∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，
∴B、C两点的路程之比为5：4
（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE=√3
2AB＝25√3cm，
∴B运动的路程为（50﹣25√3）cm ∵B、C两点的路程之比为5：4
∴此时点C运动的路程为（50﹣25√3）×4
5
=（40﹣20√3）cm
∴BC＝（50﹣25√3）+（40﹣20√3）＝（90﹣45√3）cm
故答案为：90﹣45√3；
（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：
则此时AA'＝15cm
∴A'E＝15+25＝40cm
由勾股定理得：EB'＝30cm，
∴B运动的路程为50﹣30＝20cm ∴C运动的路程为16cm
∴C'F＝40﹣16＝24cm
由勾股定理得：D'F＝32cm，
∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积=1
2
×90×(40+32)−
1
2
×30×40−12×24×32＝2256cm2．
∴四边形ABCD的面积为2256cm2．故答案为：2256．
〖命题探究〗
中考考查重点：
一、特殊角的三角函数值；
二、解直角三角形的应用
〖解题秘籍〗
考向一：特殊角的三角函数值
考向二：解直角三角形的应用
〖押题冲关〗
1．（2020•下城区一模）在Rt △ABC 中，若∠ACB ＝90°，tan A =12，则sin B ＝（ ）
A ．12
B ．√32
C ．√55
D ．2√55
【分析】作出草图，根据∠A 的正切值设出两直角边分别为k ，2k ，然后利用勾股定理求出斜边，则∠B 的正弦值即可求出．
【解析】如图，∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A =12，
∴设AC ＝2k ，BC ＝k ，
则AB =√(2k)2+k 2=√5k ，
∴sin B =AC AB =5k =2√55． 故选：D ．
2．（2020•上城区二模）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ：AB ＝5：13，则下列等式正确的是（ ）
A ．tan A =125
B ．sin A =512
C ．cos A =1213
D ．tan A =513
【分析】根据勾股定理用x 表示出AC ，根据锐角三角函数的定义计算，判断即可．
【解析】设BC ＝5x ，则AB ＝13x ，
由勾股定理得，AC =√AB 2−BC 2=12x ，
则tan A =
BC AC =512，A 、D 错误； sin A =BC AB =513，B 错误；
cos A =AC AB =1213，C 正确； 故选：C ．
3．（2020•泰顺县二模）某屋顶示意图如图所示，现要在屋顶上开一个天窗，天窗AB 在水平位置，屋顶坡面长度PQ ＝QD ＝4.8米，则屋顶水平跨度PD 的长为（ ）米
A ．24
5cos α B ．48
5cos α C ．24
5sin α D ．48
5sin α
【分析】直接利用等腰三角形的性质得出PO ＝OD ，再利用锐角三角函数关系得出PO 的长求出答案．
【解析】由题意可得：AB ∥PD ，
则∠ABC ＝∠QPD ＝α，
可得QO ⊥PD ，
则PO ＝DO ，
cos α=PO PQ =PO
4.8，
故PO =245cos α，
则PD ＝2PO =
485cos α． 故选：B ．
4．（2020•瑞安市模拟）如图，一商场自动扶梯与地面所成的夹角为θ，测得自动扶梯的长1为13米，cos θ=1213，则该自动扶梯到达的高度h 是（ ）
A ．1米
B ．5米
C ．12米
D ．13米
【分析】直接利用锐角三角函数关系、勾股定理得出三角形的各边长进而得出答案．
【解析】∵cos θ=1213
， ∴设a ＝12x ，则l ＝13x ，
∵自动扶梯的长1为13米，
∴a ＝12米，
∴h =√132−122=5（米）．
故选：B ．
5．（2020•宁波模拟）小甬和小真两位同学来到体育馆前一个半圆形公益广告牌前，广告牌如图所示，两位同学认为如果要测得广告牌的半径，按以下方案获取数据后即可求得：他们先测得广告牌的影长为12米，然后小甬让小真站立，测得小真的影长为2.4米，已知小真同学身高为1.6米，那么广告牌的半径是（ ）
A ．6米
B ．12√1313米
C ．（9√13−27）米
D ．8√13−163米
【分析】如图，设圆心为O ，OB 是半径，点F 是光线DF 与半圆的切点，延长BO 交DF 于A ，过点B 作BE ⊥AB 交DF 的延长线于E ，设OF ＝OB ＝x 米．求出求出BE ＝EF ＝8，再利用相似三角形的性质即
可解决问题．
【解析】如图，设圆心为O ，OB 是半径，点F 是光线DF 与半圆的切点，延长BO 交DF 于A ，过点B 作BE ⊥AB 交DF 的延长线于E ，设OF ＝OB ＝x 米．
由题意CD ＝AB ＝12米，
∵BE AB =1.62.4，
∴BE ＝8米，
∵EF ，EB 都是切线，
∴EF ＝EB ＝8，
在Rt △ABE 中，AE =√AB 2+BE 2=√122+82=4√13，
∴∠OAF ＝∠EAB ，∠AFO ＝∠ABE ＝90°，
∴△AOF ∽△AEB ，
∴OF BE
=AF AB ， ∴x 8=
4√13−812， ∴x =8√13−163
， 故选：D ．
6．（2020•温州三模）如图所示，梯子斜靠在墙壁上，与地面的夹角为α，梯子长度AB ＝3，则梯子顶端距离地面的高度AC 可以表示为（ ）
A ．3sin α
B ．3cos α
C ．3sinα
D ．3cosα
【分析】利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，sinα=AC AB，
∴AC＝sinα•AB，
∵AB＝3，
∴AC＝3sinα．
故选：A．
7．（2020•平阳县二模）如图，一个小球沿倾斜角为α的斜坡向下滚动，经过5秒时，测得小球的平均速度
为0.5米/秒．已知cosα=4
5，则小球下降的高度是（）
A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【分析】如图，根据余弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可得出答案．【解析】∵经过5秒时，测得小球的平均速度为0.5米/秒．
∴AB＝5×0.5＝2.5米．
∵在Rt△ABC中，cos a＝cos B=BC AB，
∴BC
2.5=
4
5
，
解得，BC＝2，
由勾股定理得，AC=√AB2−BC2=√(5
2
)2−22=1.5（米）．
故选：B．
8．（2020•宁波模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD是AB上的中线，那么sin ∠ACD的值是（）
A ．45
B ．35
C ．34
D ．43 【分析】先由勾股定理求出AB ＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质得CD ＝AD ，则∠ACD ＝∠A ，然后由锐角三角函数定义求解即可．
【解析】∵∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，
∴AB =√82+62=10，
∵CD 是AB 上的中线，
∴CD =12
AB ＝AD ，
∴∠ACD ＝∠A ，
∴sin ∠ACD ＝sin ∠A =
BC AB =610=35， 故选：B ．
9．（2020•金华模拟）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sin ∠BAC 的值为（ ）
A ．97
B ．9√130130
C ．√33
D ．√3
【分析】过B 作BH ⊥AC 于H ，根据三角形的面积公式得到BH ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解析】过B 作BH ⊥AC 于H ，
∵S △ABC =12BC •AD =12AC •BH ，
∴BH =√2+3=9√13
13，
∴sin∠BAC=BH
AB
=
9√13
13
√1+3
=9√130
130，
故选：B．
10．（2020•鹿城区二模）如图，一个坡角为15°的看台横截面上看旗杆CD，在这横截面上进行测量得到以下数据：在点A和点B处测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，点A离地面高度为1米，且测得点A 到点B的距离为8√6米，则旗杆的高度为（）
A．25米B．24米C．23米D．26米
【分析】过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于点F，解直角三角形即可得到结论．
【解析】过A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于点F，
∵∠BAC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，∠ABC＝45°
∴∠ACB＝30°，
∵AB＝8√6，
∴AF＝BF=√2
2AB＝8√3，
∴AC ＝2AF ＝16√3，
∵∠AEC ＝90°，∠ACE ＝30°，
∴CE =√32AC ＝24，
∵DE ＝1，
∴CD ＝24+1＝25（米），
答：旗杆的高度为25米，
故选：A ．
11．（2020•宁波模拟）已知sin α=35（α为锐角），则tan α＝
34 ． 【分析】根据sin 2α+cos 2α＝1，tan α=
sinαcosα计算． 【解析】∵sin 2α+cos 2α＝1，
∴cos α=√1−sin 2α=45，
∴tan α=sinαcosα=3545=34， 故答案为：34． 12．（2020•杭州模拟）在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，D 为直线AB 上的一点，若AD ＝2，则tan ∠BDC 的值为 √32或√34
． 【分析】作CE ⊥AB 于点E ，根据∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，可得AB ＝8，∠B ＝60°，BE =12BC
＝2，CE ＝2√3，分两种情况画图：①如图1，点D 在AB 边上时，②如图2，点D 在BA 延长线上时，进而可求tan ∠BDC 的值．
【解析】作CE ⊥AB 于点E ，
∵∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝4，
∴AB ＝2BC ＝8，∠B ＝60°，
∴BE =12
BC ＝2，CE ＝2√3，
①如图1，点D 在AB 边上时，
∵AD ＝2，BE ＝2，AB ＝8，
∴DE ＝AB ﹣BE ﹣AD ＝4，
∴在Rt △DCE 中，
tan ∠BDC =CE DE =2√34=√32；
②如图2，点D 在BA 延长线上时，
DE ＝AE +AD ＝AB ﹣BE +AD ＝8﹣2+2＝8，
在Rt △DCE 中，
tan ∠BDC =CE DE =2√38=√34．
综上所述：tan ∠BDC 的值为
√32或√34． 故答案为：√32或√34． 13．（2020•余姚市模拟）如图，在市区A 道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h 为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l 为 19.2 米（结果精确到0.1m ，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出tan14°=ℎl ，进而得出答案．
【解析】由题意可得：tan14°=
ℎl =4.8l
≈0.25， 解得：l ＝19.2，
故答案为：19.2．
14．（2020•宁波模拟）国家提倡在新型冠状病毒防护期间人民尽量不外出，小聪积极执行．如图，他在A 处阳台看风景，发现对面建筑物顶端C 的仰角为30°他与对面建筑物的水平距离为50m ，他离水平地面的距离为9m ，则对面建筑物的高度为 （
50√33+9） m （保留根号）．
【分析】过A 作AE ⊥CD 于E ，由矩形的性质得到AB ＝DE ＝9，解直角三角形即可得到结论．
【解析】过A 作AE ⊥CD 于E ，
则AB ＝DE ＝9，
在Rt △ACE 中，∵∠CAE ＝30°，∠AEC ＝90°，AE ＝50，
∴CE ＝AE •tan30°＝50×√33=
50√33， ∴CD ＝CE +DE ＝（50√33+9）（m ），
答：对面建筑物的高度为（
50√33+9）m ， 故答案为：（50√33
+9）． 15．（2020•宁波模拟）某数学兴趣小组为测量河对岸树AB 的高，在河岸边选择一点C ．从C 处测得树梢A 的仰角为45°，沿BC 方向后退10米到点D ，再次测得树梢A 的仰角为30°，则树高为 13.7 米．（结果精确到0.1米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
【分析】根据题意可得，∠ABC ＝90°，CD ＝10，根据锐角三角函数即可求出AB 的长．
【解析】根据题意可知：
∠ABC ＝90°，CD ＝10，
在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，
∴AB ＝CB ，
在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，BD ＝CD +BC ＝10+AB ，
∴tan30°=AB BD ，
即√33=AB 10+AB ， 解得AB ≈13.7（米）．
答：树高约为13.7米．故答案为：13.7
16．（2020•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B=3
5，DE⊥AB，CD＝DE，AC＝12，则
BD＝10．
【分析】根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【解析】∵sin B=AC
AB
=35，∠ACB＝90°，AC＝12，
∴BC＝20，
∵CD＝DE，
∴DE＝BC﹣BD，∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵sin B=3 5，
∴DE
BD =
BC−BD
BD
=
16−BD
BD
=
3
5
，
∴BD＝10，
故答案为：10．
17．（2020•拱墅区模拟）如图，已知sin O=√3
3，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝2√3或3√2．
【分析】分别从若AP⊥ON与若P A⊥OA去分析求解，根据三角函数和勾股定理，即可求得答案．【解析】当AP⊥ON时，∠APO＝90°，
则sin O=√3
3
=AP
OA，OA＝6，
∴AP=√3
3OA＝2√3；
当P A⊥OA时，∠A＝90°，
则sin O=√3
3
=AP
OP，
设AP=√3x（x＞0），则OP＝3x，
由勾股定理得：（√3x）2+62＝（3x）2，
解得：x=√6，
∴AP=√3×√6=3√2；
综上所述，AP的长为2√3或3√2；
故答案为：2√3或3√2．
18．（2020•长兴县三模）如图，小丽的房间内有一张长200cm，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿EF与墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度（EC的长）至少为223cm．（精确到个位）（参考数据：sin46°≈0.72，cos46°≈0.69，tan46°≈1.04）
【分析】连接AF，过F作FO⊥AD于点O，在Rt△F AO中，利用正切函数的定义求出FO，则可求出答案．
【解析】如图，连接F A，过F作FO⊥AD于点O，
则FO＝ED，AO＝200﹣20＝180（cm），∠AFO＝136°﹣90°＝46°．
∵在Rt△F AO中，tan46°=AO FO，
∴FO=
AO
tan46°
=180
1.04
≈173（cm），
∴CE＝CD+DE＝50+173＝223（cm）．
故答案为：223．
19．（2020•余姚市模拟）在一次综合社会实践活动中，小东同学从A处出发，要到A地北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了4千米到达B处，再沿北偏东15°方向走，恰能到达目的地C，如图所示，则A、C两地相距 5.5千米．（结果精确到0.1千米，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732）
【分析】先求出∠BAC，再根据三角形的内角和定理求出∠C，然后解直角三角形即可得到结论．【解析】∵B在A的正东方，C在A地的北偏东60°方向，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵C在B地的北偏东15°方向，
∴∠ABC＝90°+15°＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣105°＝45°，
过B作BD⊥AC于D，
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝4km，
∴BD=1
2AB＝2km，AD＝2√3km，
在Rt△BCD中，∠C＝45°，
∴CD＝BD＝2km，
∴AC＝AD+CD＝（2+2√3）≈5.5km，答：A、C两地相距5.5千米，
故答案为：5.5．
20．（2020•拱墅区校级模拟）在△ABC中，已知b＝1，c＝2，AD是∠A的平分线，AD=2√3
3，则∠C＝90°．
【分析】如图作CE∥AB交AD的延长线于E．首先证明CA＝CE，求出AE，解直角三角形求出∠CAD，∠CDH即可解决问题．
【解析】如图作CE∥AB交AD的延长线于E．
∵EC∥AB，
∴∠E＝∠EAB，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠E，
∴AC＝CE＝1，
∴CE
AB =
ED
AD
=
1
2
，
∴DE=√3 3，
∴AE=√3，
∵CA＝CE，CH⊥AE，
∴AH＝HE=√3 2，
∴cos∠CAH=√3 2，
∴∠CAD＝30°，
∴CH=1
2，DH=
2√3
3
−√32=√36，
∴tan∠CDH=CH
DH
=√3，
∴∠CDH＝60°∴∠ACD＝90°．故答案为：90°．。