上海澧溪中学八年级数学上册第五单元《分式》测试(答案解析)

一、选择题
1．下列命题中，属于真命题的是（ ） A ．如果0ab =，那么0a = B ．
253x
x x
-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余 D ．不是对顶角的两个角不相等
2．若关于x 的方程1
21
m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >-
B ．1m ≠
C ．1m
D ．1m >-且1m ≠
3．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（ ）
A ．
6000600052x x
-= B ．60006000
52x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．60006000
52x x
-=+ 4．PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ）
A ．50.2510-⨯
B ．60.2510-⨯
C ．72.510-⨯
D ．62.510-⨯
5．2020年新冠肺炎疫情影响全球，某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．则甲、乙两厂房每天各生产的口罩箱数为（ ） A ．1200，600
B ．600，1200
C ．1600，800
D ．800，1600
6．如图，若x 为正整数，则表示321132
7121
(1)(1)543x x x x x x x x x
--++--÷++++的值的点落在（ ）．
A ．段①
B ．段②
C ．段③
D ．段④
7．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4
102
x -
=+的根为2；③方程11
224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x
+=+-是分式方程．其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．下列各式中，正确的是（ ）
A ．22a a b b =
B ．
11a a
b b +=+ C ．22
33a b a ab b
= D ．
232
131
a a
b b ++=-- 9．小红用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完）已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小红和小丽买到相同数量的笔记本．设硬面笔记本每本售价为x 元，根据题意可列出的方程为（ ）
A ．
1524x x 3=+ B ．1524x x 3=- C ．1524x 3x =+ D ．1524x 3x
=- 10．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余
垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：
厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=
100%⨯生活垃圾总量
(生活垃圾总量=厨余垃
圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（ ）
A ．6608400
14710
x x ⨯=
B ．6608400
147660840010
x x
⨯=
++
C ．6608400
1414
7
660840010
x x
⨯=⨯++ D ．784006601014660
8400
x x
++⨯=
11．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）
A ．102x x x -<<
B ．012x x x -<<
C ．021x x x -<<
D ．120x x x -<<
12．化简214a 2a 4
---的结果为（ ） A ．
1a 2+ B ．a 2+
C ．
1a 2
- D ．a 2-
二、填空题
13．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校，已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的
1
2
，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校结果甲同学比乙同学早到2分钟，若甲同学到达学校时，乙同学离学校还有m 米，则m =________．
14．已知关于x 的分式方程239
133
x mx x x ---=--无解，则m 的值为______． 15．若分式方程
13322a x x x
--=--有增根，则a 的值是________． 16．某校要建立两个计算机教室，为此要购买相同数量的A 型计算机和B 型计算机．已知一台A 型计算机的售价比一台B 型计算机的售价便宜400元，如果购买A 型计算机需要224 000元，购买B 型计算机需要240 000元．求一台A 型计算机和一台B 型计算机的售价分别是多少元． 设一台B 型计算机的售价是x 元，依题意列方程为__．
17．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙少做8个，甲做160个所用的时间比乙做160个所用的时间多1小时，设甲每小时做x 个零件，列方程为________． 18．某公司生产了A 型、B 型两种计算机，它们的台数相同，但总价值和单价不同．已知
A 型计算机总价值为102万元；
B 型计算机总价值为81.6万元，且单价比A 型机便宜了
2400元．问A 型、B 型两种计算机的单价各是多少万元．若设A 型计算机的单价是x 万
元，请你根据题意列出方程________． 19．计算：
2
62393
x x x x -÷=+--______． 20．计算：22a 1a 1
a 2a a
--÷
+=____． 三、解答题
21．先化简，再求值：213
(1)211
x x x x x +--÷-+-，其中4x =-．
22．（1）解方程．
22510111
x x x -+=+--． （2）先化简分式（2241
442
a a a a --
-+-）÷212a a a +-，然后在0，1，2中选一个你认为合适的a 值，代入求值．
23．在今年新冠肺炎防疫工作中，学校购买了A 、B 两种不同型号的口罩，已知A 型口罩的单价比B 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同．
（1）求A 、B 两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元，求增加购买A 型口罩的数量最多是多少个？ 24．计算．
（1）因式分解：2
43x y xy y ++．
（2）解方程：
2231
2442x x x x
-=--+-． 25．“圣诞节”前期，某水果店用1000元购进一批苹果进行销售，由于销售良好，该店又以2500元购进同一种苹果，第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍．求该水果店第一次购进苹果的单价．
26．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．
（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？
（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．
（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可． 【详解】
解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意； B.
()2
555==333x x x x x x x ---，故253x x x
-不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；
C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．
2．D
解析：D 【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，表示出解，由解为正数确定出m 的范围即可． 【详解】
去分母得：m-1=2x-2，
解得：x=
1
2
+m ， 由方程的解为正数，得到
12+m ＞0，且
1
2
+m ≠1， 解得：1m >-且1m ≠， 故答案为：1m >-且1m ≠ 【点睛】
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．A
解析：A 【分析】
设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天列分式方程． 【详解】
设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩， 根据题意得：6000600052x x
-=， 故选：A ． 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系从而列出方程是解题的关键．
4．D
解析：D 【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】
0.0000025=62.510-⨯，
故选：D ． 【点睛】
此题考查了科学记数法，注意n 的值的确定方法：当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
5．A
解析：A 【分析】
先设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率且两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，可得出关于x 的分式方程，解方程即可得出结论． 【详解】
解：设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，
依题意得：
60006000
52x x
-=， 解得：x =600，
经检验，x =600是原分式方程的解，且符合题意， ∴2x =1200． 故答案选：A ． 【点睛】
该题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．B
解析：B 【分析】
将原式分子分母因式分解，再利用分式的混合运算法则化简，最后根据题意求出化简后分式的取值范围，即可选择． 【详解】
原式2
2
1(1)
7121
1543(1)
x x x x x x x
-++=-++++ 1(3)(4)11(1)(4)3x
x x x x
x x x x
-++=-++++ 1111x x x
-=
-++ 1
x x =
+ 又因为x 为正整数，
所以
1121x x ≤<+， 故选B ． 【点睛】
本题考查分式的化简及分式的混合运算，最后求出化简后的分式的取值范围是解答本题关键．
7．B
解析：B 【分析】
根据分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义解答． 【详解】
解：分式方程不一定会产生增根，故①错误；
方程4
102
x -=+的根为x=2，故②正确； 方程
11224
=-x x 的最简公分母为2x(x-2)，故③错误； 11
11x x x +
=+-是分式方程，故④正确； 故选：B ． 【点睛】 此题考查分式方程的定义、解分式方程、增根的概念及最简公分母的定义，熟记各定义及正确解方程是解题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
利用分式的基本性质变形化简得出答案． 【详解】
A ．2
2a a b b
=，从左边到右边是分子和分母同时平方，不一定相等，故错误；
B ．
11a a
b b
+=+，从左边到右边分子和分母同时减1，不一定相等，故错误； C ．22
33a b a ab b
=，从左边到右边分子和分母同时除以ab ，分式的值不变，故正确； D ．
232
131a a b b ++=--，从左边到右边分子和分母的部分同时乘以3，不一定相等，故错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查分式的性质．熟记分式的性质是解题关键，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
9．D
解析：D 【分析】
由设硬面笔记本每本售价为x 元，可得软面笔记本每本售价为()x 3-元，根据小红和小丽买到相同数量的笔记本列得方程． 【详解】
解：设硬面笔记本每本售价为x 元，则软面笔记本每本售价为()x 3-元， 根据题意可列出的方程为：1524
x 3x
=-． 故选：D ． 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意找到题中的等量关系，由此列得方程是解题的关键．
10．B
解析：B 【分析】
根据公式列出12月与5月厨余垃圾分出率，根据12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍列方程即可． 【详解】
5月份厨余垃圾分出率=660
660x
+，12月份厨余垃圾分出率=8400
7840010
x + ，
∴由题意得6608400
147660840010
x x
⨯=
++，
故选：B ． 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
11．D
解析：D 【分析】
根据负整数指数幂的运算法则可得1
1
0x
x
-=
<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果． 【详解】
解：∵1x 0-<<， ∴20x 1<<，0x 1=，1
1
x 0x
-=
<， ∴120x x x -<<． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解．
12．A
解析：A 【分析】
根据分式的减法可以解答本题． 【详解】 解：
()()214a 241a 2a 4a 2a 2a 2
+--==--+-+，
故选：A ． 【点睛】
本题考查异分母分式的减法运算，解答本题的关键是明确公分母．
二、填空题
13．600【分析】设乙骑自行车的速度为x 米/分钟则甲步行速度是x 米/分钟公交车的速度是2x 米/分钟根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟列方程即可得到乙的速度甲同学到达学校时乙
解析：600 【分析】
设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是
1
2
x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟，根据题意找到等量关系：甲步行的时间+甲公车时间=乙的时间-2分钟，列方程即可得到乙的速度，甲同学到达学校时，乙同学离学校还有2x 米,即可得到结论； 【详解】
解：设乙骑自行车的速度为x 米/分钟，则甲步行速度是1
2
x 米/分钟，公交车的速度是2x 米/分钟， 根据题意得
60030006003000
2
122
x x x
-+=- ， 解得：x=300米/分钟， 经检验x=300是方程的根，
则乙骑自行车的速度为300米/分钟．
那么甲同学到达学校时，乙同学离学校还=2×300=600米． 故答案为：600． 【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
14．1或4【分析】先去分母将原方程化为整式方程根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可【详解】解：去分母得：2x-3-mx+9=x-3整理得：（m-1）x=9∴当m
解析：1或4 【分析】
先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件得出一个m 值，再根据分式方程无解的条件得出一个m 值即可． 【详解】
解：去分母得：2x-3- mx+9 =x-3， 整理得：（m-1）x=9，
∴当m-1=0，即m=1时，方程无解；
当m-1≠0时，由分式方程无解，可得x-3=0，即x=3，
把x=3代入（m-1）x=9，
解得：m=4，
综上，m的值为1或4．
故答案为：1或4．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键．15．【分析】分式方程去分母转化为整式方程由分式方程有增根求出x的值代入整式方程计算即可求出a的值【详解】去分母得：1-3x+6＝-3a+x由分式方程有增根得到x−2＝0即x＝2把x＝2代入得：1-6+6
解析：1 3
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．
【详解】
去分母得：1-3x+6＝-3a+x，
由分式方程有增根，得到x−2＝0，即x＝2，
把x＝2代入得：1-6+6＝-3a+2，
解得：a＝1
3
，
故答案为：1
3
．
【点睛】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；
②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16．【分析】本题的等量关系是：224000元购买A型计算机的数量=240000元购买B型计算机数量依此列出方程即可【详解】解：设B型计算机每台需x元则A型计算机每台需（x-400）元依题意有故填【点睛】
解析：240000224000
400 x x
=
-
【分析】
本题的等量关系是：224 000元购买A型计算机的数量=240 000元购买B型计算机数量，依此列出方程即可．
【详解】
解：设B型计算机每台需x元，则A型计算机每台需（x-400）元，依题意有
240000224000400
x x =- 故填，
240000224000400
x x =-． 【点睛】 考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系，本题重点是熟悉单价，总价，数量之间的关系．
17．【分析】设甲每小时做x 个零件根据甲做160个所用的时间比乙做160个所用的时间多1小时得出方程解答即可【详解】解：设甲每小时做个零件则乙每小时做个零件依题意得：即故答案为：【点睛】本题考查了由实际问 解析：
16016018
x x -=+ 【分析】 设甲每小时做x 个零件，根据甲做160个所用的时间比乙做160个所用的时间多1小时得出方程解答即可．
【详解】
解：设甲每小时做x 个零件，则乙每小时做(8)x +个零件， 依题意，得：
16016018x x -=+， 即16016018
x x -=+． 故答案为：16016018
x x -=+． 【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．【分析】设A 型计算机的单价是x 万元/台则B 型计算机的单价是（x-024）万元/台根据单价=总价÷数量即可得出关于x 的分式方程此题得解【详解】解：设型计算机的单价是万元/台则型计算机的单价是万元/台根 解析：10281.6x x 0.24
=- 【分析】
设A 型计算机的单价是x 万元/台，则B 型计算机的单价是（x-0.24）万元/台，根据单价=总价÷数量即可得出关于x 的分式方程，此题得解．
【详解】
解：设A 型计算机的单价是x 万元/台，则B 型计算机的单价是()x 0.24-万元/台， 根据题意得：10281.6x x 0.24
=-．
故答案为：
10281.6x x 0.24
=-． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据数量关系单价=总价÷数量列出关于x 的分式方程是解题的关键．
19．1【分析】先将分母因式分解再将除法转化为乘法再根据法则计算即可【详解】故答案为：1【点睛】本题主要考查了分式的混合运算解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则
解析：1
【分析】
先将分母因式分解，再将除法转化为乘法，再根据法则计算即可．
【详解】
262393
x x x x -÷+-- 633(3)(3)2
x x x x x -=+⋅++- 333
x x x =+++ 33
x x +=
+ 1=． 故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20．【分析】根据分式除法法则先将除法转化为乘法再运用分式的乘法法则进行计算即可得出结果【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查了分式的除法运算掌握分式的乘除法的关系及运算法则是解题的关键 解析：12
a a ++ 【分析】
根据分式除法法则先将除法转化为乘法，再运用分式的乘法法则进行计算，即可得出结果．
【详解】 解：22a 1a 1a 2a a
--÷+ ()()()a 1a 1a a a 2a 1
+-=⋅+-
12
a a +=+ 故答案为：
12
a a ++ 【点睛】 本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘、除法的关系及运算法则是解题的关键．
三、解答题
21．
1x x -；45
【分析】 分式的混合运算，注意先算乘除，然后算加减，有小括号先算小括号里的，然后代入求值即可．
【详解】 解：213(1)211
x x x x x +--÷-+- =2221(1)1(1)3
x x x x x x -+-+-⨯-- =222111(1)3
x x x x x x -+---⨯-- 2231(1)3
x x x x x --=⨯-- 2(3)1(1)3x x x x x --=
⨯-- 1
x x =- 当4x =-时，原式441415
x x -=
==---． 【点睛】 本题考查分式的混合运算，分式的化简求值，掌握运算顺序和计算法则正确计算是解题关键．
22．（1）无解；（2）a ，1．
【分析】
（1）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；
（2）先根据分式的化简步骤将分式化为最简分式，再代入恰当的数值即可．
【详解】
解：（1）方程的两边都乘以（x +1）（x ﹣1）
得，2(1)5(1)10x x --+=-
∴2x-2-5x-5=-10
解得1x =
检验，当x ＝1时，（x +1）（x ﹣1）＝0
∴x ＝1是原方程的增根．
∴原分式方程无解．
（2）原式＝2(2)(2)1(2)(2)21a a a a a a a ⎡⎤-+--⋅⎢
⎥--+⎣⎦ =1(2)21
a a a a a +-⋅-+ ＝a ，
当a ＝0，2分式无意义，
故当a ＝1时，原式＝1．
【点睛】
本题主要考察了解分式方程及分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤及分式化简的一般步骤，注意分式有意义的条件．
23．（1）4元；2.5元 （2）800个
【分析】
（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为( 1.5)x 元，根据“用8000元购买A 型口罩的数量与用5000元购买B 型口罩的数量相同”列出方程并解答；
（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，根据“增加购买B 型口罩数量是A 型口罩数量的2倍，若总费用不超过7200元”列出不等式并解答即可．
【详解】
解：（1）设A 型口罩的单价为x 元，则B 型口罩的单价为()1.5x -元， 根据题意，得800050001.5
x x =-． 解方程，得：4x =．
经检验：4x =是原方程的根，且符合题意．
所以 1.5 2.5x -=．
答：A 型口罩的单价为4元，则B 型口罩的单价为2.5元．
（2）设增加购买A 型口罩的数量是m 个，
根据题意，得：2.5247200m m ⨯+≤．
解不等式，得：800m ≤．
答：增加购买A 型口罩的数量最多是800个．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
24．（1）(1)(3)y x x ++；（2）3x =
【分析】
（1）先提取公因式，再用十字相乘分解即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】
解：
（1）原式()243(1)(3)y x x y x x =++=++．
（2）22312442x x x x
-=--+- 方程两边同时乘()22x -得，2(2)3(2)x x --=--
去括号，2432x x --=-+
移项合并同类项，39x =
系数化为1，3x =，
检验：把3x =代入，(2)(2)0x x -+≠，
所以，3x =是原方程的解．
【点睛】
本题考查了因式分解和解分式方程，要注意：因式分解要彻底，分式方程要检验． 25．4元
【分析】
利用第二次进货价格比第一次每千克贵了1元，设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，第二次进货价格（x+1）元，利用等量关系：第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程．解之即可．
【详解】
解：设该水果店第一次购买苹果的单价为x 元，则
1000250021
x x ⨯=+， 解得：4x =，
经检验，4x =是分式方程的根，
答：该水果店第一次购买苹果的单价是4元．
【点睛】
本题考查可化为一元一次方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法和进价、花费钱数与水果数量之间关系，抓住第二次进货价格比第一次每千克贵了1元设未知数，抓住第二次所购进苹果的数量恰好是第一次购进苹果数量的2倍构造方程是解题关键．
26．（1）甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成；（2）
3185
a -
；（3）15天 【分析】 （1）根据“甲乙两工程队合干10天的工程量+乙工程队单独做的工作量=总工作量1”列方程求解即可；
（2）算出剩下的工作量除以甲乙的工作效率之和即可；
（3）根据关系式：甲需要的工作费+乙需要的工作费≤61.5列出不等式求解即可．
【详解】
（1）设甲工程队单独施工需
x 天完成，则乙工程队需(15)x +天完成，依题意得：10115
x x x +=+ 去分母得：221015015x x x x ++=+
∴30x =
经检验，30x =是原方程的解．
∴1545x +=
答：甲工程队单独施工需30天完成，乙工程队单独施工需45天完成．
（2）11(1)()303045a -
÷+ =3185
a - 故答案为：3185
a - （3）设甲工程队先单独施工
m 天，依题意得：32 3.51861.55m m ⎛
⎫+-≤ ⎪⎝⎭ 解不等式得：15m ≥
∴甲工程队至少要先单独施工15天．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的应用：工程问题，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意应用前面得到的结论求解．。