河北省秦皇岛市昌黎汇文二中2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含答案

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数学
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．在等比数列}{n a 中，已知676=⋅a a ，5103=+a a ,则
21
28
a a 等于（ ） A ．3
2 B ．2
3 C ．3
2或2
3 D ．
2
3 2．已知a ，b ，c ,d ∈R ，下列说法正确的是（ ） A ．若a b >,c d >，则ac bd > B ．若a b >，则22ac bc > C ．若0a b <<，则11a
b
<
D ．若a b >，则a c b c ->-
3．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3a =，3b =π
3
A =
，则B =( ）
A ．π5π66或
B ．π
6
C ．5π6
D ．2π3
4．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升,中三节容几何?( ） A ．二升
B ．三升
C ．四升
D ．五升
5．已知ABC △的三个内角A ，B ,C 所对的边分别为a ，b ,c ,2cos a b C =，且
sin sin sin b a A C
c a B
-+=-，则这个三角形的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形
6．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）
A ．4y x x =+
B ．222
y x =+ C ．4x x
y e e -=+ D ．4
sin (0π)sin y x x x
=+
<<
7．在正方体1111ABCD A BC D -中，直线1BC 与直线11AC 所成角是（ ）
A. 45︒
B. 60︒
C 。

90︒
D 。

120︒
8．在ABC △中，60A ∠=︒,1b =,3ABC S =△
，则2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++( )
A ．
239
B ．
263
C ．
83
D ．23
9．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ,P 分别为其所在棱的中点,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A. ①③ B 。

②③ C. ①④ D 。

②④
10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P ､Q ､R 分别是AB ､AD ､B 1C 1的中点，那么正方体的过P ､Q ､R 的截面图形是（ ）
A. 三角形
B 。

四边形
C 。

五边形 D. 六边形
11．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a 、3a 、13a 成等比数列，若11a =，n S 为
数列{}n a 的前n 项和，则26
3
n n S a ++的最小值为（ )
A ．4
B ．3
C ．232
D ．2
12．在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是（ ）
A ．点H 是△A 1BD 的垂心
B ．AH ⊥平面CB 1D 1
C ．AH 的延长线经过点C 1
D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
13．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为60︒和30︒，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC 为______米．
14．设x ∈R 且0,x n +≠∈N ,则231n x x x x ++++
=______．
15．设平面α∥平面β，A ，C ∈α，B ,D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α，β之间，AS ＝8,BS ＝6，CS ＝12,则DS ＝________。

16．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,且该棱锥的高为 4，底面边长为22__________．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
17．（10分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．
（1）求角C ； （2)若7c =33
ABC S =
△，求ABC △的周长．
18．（12分)设数列{}n a 满足：11a =，且112n n n a a a +-=+(2n ≥)，3412a a +=．
（1)求{}n a 的通项公式：
（2）求数列21n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和．
19．（12分）已如函数()2
11f x x a x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝
⎭．
（1）若不等式()0f x <解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
时，求实数a 的值； （2）当0a >时，解关于x 的不等式()0f x ≥．
20．（12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点,BE ⊥平面ABCD ， (Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ； (Ⅱ)若
,AE ⊥EC 三棱锥E ﹣ACD 的体积为，求BE 的长．
21．(12分)如图，在四棱锥P 。

ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,DC ⊥AC 。

（1)求证：DC ⊥平面PAC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；
(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ， 使得PA ∥平面CEF ?并说明理由．
22．（12分）已知数列{}n a 中,11a =,13
n
n n a a a +=+． （1）求2a ，3a ；
(2）求证：112n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
是等比数列,并求{}n a 的通项公式；
（3)数列{}n b 满足()
312n
n n n
n
b a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T
答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】由已知及等比数列性质知⎩⎨⎧=⋅=⋅=+6576103103a a a a a a ,解得⎩⎨⎧==32
103a a 或⎩⎨⎧==2310
3a a ，
所以7
10323a q a =
=或23，所以7282123a q a ==或2
3
,故选C ． 2．【答案】D
【解析】因为21>,12->-，2(1)1(2)⨯-=⨯-，所以A 错； 因为21>，222010⨯=⨯，所以B 错； 因为21-<-，1
12
->-，所以C 错；
由不等式性质得若a b >，则a c b c ->-,所以D 对． 3．【答案】B
【解析】由正弦定理得
sin sin a b
A B
=
，∴sin 12sin 32
b A B a ===, 又b a <，∴B 为锐角，∴π
6
B =． 4．【答案】B
【解析】由题意,上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，
则中三节容量为42
32
+=，故选B ． 5．【答案】A
【解析】由正弦定理化简()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-,得
()()()a c a c a b b -+=-，
整理得222a c ab b -=-,即222a c b ab -+=，
由余弦定理得2221cos 2π
23
a b c C C ab +-=
=⇒=， 再由2cos a b C =，可得a b =,结合60C =︒，故三角形的形状为等边三角形，故选A ．
6．【答案】C
【解析】选项A 错误，∵x 可能为负数,没有最小值；
选项B
错误，化简可得2y ⎫=，
由基本不等式可得取等号的条件为=
，即21x =-，
显然没有实数满足21x =-；
选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =，但由三角函数的值域可知sin 1x ≤；
选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =，即ln 2x =时，4x x y e e -=+取最小值4,故选C ． 7．【答案】B
【解析】直线1BC 与直线11AC 所成角为1B CA ∠，1AB C ∆为等边三角形，得到答案.
【详解】如图所示：连接1,AC AB
易知：直线1BC 与直线11AC 所成角为1B CA ∠ 1AB C ∆为等边三角形，夹角为60︒
故答案选B 8．【答案】A
【解析】13sin 324
ABC S bc A c ===△，4c ∴=，
利用余弦定理得到2222cos 116413a b c bc A =+-=+-=，13a ∴= 正弦定理sin sin sin a b c A B C
==, 故
213239
sin 2sin sin sin 33
a b c a A B C A ++===
++． 9．【答案】C 【解析】
用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性。

【详解】对于①,连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP 。

对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点,所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交。

对于③,连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交。

对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .
综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选:C
10．【答案】D
【解析】 【分析】
由已知的
三点P 、Q 、R ，确定截面的一条边PQ ，然后找出截面与正方体右侧面的交线，延长PQ 交BC 于一点，连接该点与点R 即可得到与棱1BB 的交点，利用公理3确定交线,RM PM ,同样的方法找出其它交线，即可得到截面.
【详解】由已知的三点P 、Q 、R ，确定截面的一条边PQ ，延长PQ 交BC 于一点，连接该点与点R 即可得到与棱1BB 的交点M ,利用公理3确定交线
,RM PM ，同样的方法找出其它交线,即可得到截面如图所示：
故选：D
11．【答案】D
【解析】11a =，1a 、3a 、13a 成等比数列，
∴2(12)112d d +=+，得2d =或0d =（舍去），∴21n a n =-, ∴2(121)
2
n n n S n +-=
=，
∴()()2
22114
2626332211
2n n n n S n n a n n n ++++++-===++++，
令1t n =+，则
2644
22223n n S t t a t t
+=+-≥⋅=+，
当且仅当2t =，即1n =时，∴26
3
n n S a ++的最小值为2．
12．【答案】D
[因为AH ⊥平面A 1BD ,
BD ⊂平面A 1BD ，
所以BD ⊥AH 。

又BD ⊥AA 1，且AH ∩AA 1＝A 。

所以BD ⊥平面AA 1H .又A 1H ⊂平面AA 1H 。

所以A 1H ⊥BD ， 同理可证BH ⊥A 1D ，
所以点H 是△A 1BD 的垂心，A 正确；
因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，所以AH ⊥平面CB 1D 1,B 正确；易证AC 1⊥平面A 1BD 。

因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC 1和AH 重合．故C 正确;因为AA 1∥BB 1，所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角．因为∠AA 1H ≠45°，所以∠A 1AH ≠45°，故D 错误．］
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】203【解析】由题意可知30C ∠=︒,30BAC ∠=︒，30DAB ∠=︒，30m AD =，
30
203cos30BC AB ∴==
=︒
14．【答案】1
1,
11,11n n x x x x
++=⎧⎪
⎨-≠⎪
-⎩ 【解析】当1x =时,2311n x x x x n ++++=+；
当1x ≠时，数列{}n
x
是首项为1，公比为x 的等比数列,
则由等比数列的求和公式可得1
2
3
111n n
x x x x x x
+-++++
=-，
故答案为11,
11,11n n x x x x ++=⎧⎪
⎨-≠⎪-⎩
．
15．【答案】9
［因为直线AB 与CD 交于点S ，所以A ，B ,C ，D 四点共面．又平面α∥平面β，所以BD ∥AC ，△ACS 与△BDS 相似，所以错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以DS ＝9。

]
16．【答案】25π
【解析】正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高PE 上,求出球的半径,求出球的表面积．
【详解】如图，正四棱锥P ABCD -中，PE 为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O 必在正四棱锥的高线PE 所在的直线上，延长PE 交球面于一点F ，连接AE ，AF ，
由球的性质可知PAF ∆为直角三角形且AE PF ⊥，根据平面几何中的射影定理可得2PA PF PE =•，
因为2AE =，所以侧棱长224225PA =+=2PF R =， 所以2024R =⨯,所以52
R =
， 所以2425S R ππ== 故答案为25π．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
17．【答案】(1）π
3
C =
；（2）57 【解析】（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=,
12cos sin()sin cos π
23
C A B C C C ∴+=⇒=
⇒=． （2）1313
sin 36222ABC S ab C ab ab =⇒=⇒=△，
又2222cos a b ab C c +-=,2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=，
ABC ∴△
的周长为5
18．【答案】（1）21n a n =-(*n ∈N ）;（2）11
3(21)(23)
n n n +-++．
【解析】(1）由112n n n a a a +-=+（2n ≥)可知数列{}n a 是等差数列， 设公差为d ，
因为11a =，所以34112312a a a d a d +=+++=，解得2d =， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-(*n ∈N )．
（2）由（1）知211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以数列21n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和
1111111
114537592123n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11111114321233(21)(23)
n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪
++++⎝⎭． 19．【答案】（1）2a =或1
2
;（2）见解析． 【解析】(1）
()()10f x x a x a ⎛
⎫=--< ⎪⎝⎭的解集为122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
,
2112a a =⎧⎪
∴⎨=⎪⎩或1
212a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩
，2a ∴=或12．
(2）当1a a =
，即1a =时，()()2
10f x x =-≥恒成立,x ∴∈R ； 当1a a >，即1a >时，x a ≥或1x a ≤；
当1a a <，即01a <<时，1
x a
≥或x a ≤，
综上：1a =时，不等式()0f x ≥的解集为R ；
1a >时,不等式()0f x ≥的解集为{x x a ≥或1x a ⎫
≤⎬⎭；
01a <<时，不等式()0f x ≥的解集为{x x a ≤或1x a ⎫
≥⎬⎭
．
20.【答案】
解：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD 为菱形，
∴AC ⊥BD ，
又BE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴BE ⊥AC ，
由BD ∩BE ＝B ,BD ，BE 都在平面BDE 内， ∴AC ⊥平面BDE ， 又AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；
（Ⅱ）不妨设菱形的边长为x ，AC 与BD 的交点为O ，则
，
∵AE ⊥EC ， ∴
,
∴,
∴,解得x ＝2，
∴
．
21．【答案】 （1）因为PC ⊥平面ABCD ,
所以PC ⊥DC 。

又因为DC ⊥AC ，且PC ∩AC ＝C ， 所以DC ⊥平面PAC 。

(2)因为AB ∥DC ，DC ⊥AC ， 所以AB ⊥AC 。

因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC ⊥AB 。

又因为PC ∩AC ＝C ，所以AB ⊥平面PAC 。

又AB ⊂平面PAB ,所以平面PAB ⊥平面PAC 。

（3）棱PB 上存在点F ，使得PA ∥平面CEF 。

理由如下：取PB 的中点F ,连接EF ,CE ，CF 。

又因为E 为AB 的中点，所以EF ∥PA . 又因为PA ⊄平面CEF ，且EF ⊂平面CEF ， 所以PA ∥平面CEF 。

22．【答案】(1)21
4
a =，3113a =
；（2）证明见解析，231
n n a =-；(3)23λ-<<． 【解析】（1）由11a =，得1121
34
a a a =+=，2231313a a a ==+．
（2）由13n n n a a a ++=
，得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭
， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
是以3
2是为首项，3为公比的等比数列, 所以111333222
n n n a -+=⨯=，即2
31n n a =-．
(3）()
1
2231n
n n n n b a n n --⋅==, 0122
1111
11
123(1)222
22
n n n T n n --=⨯
+⨯+⨯++-⨯
+⨯
， 2111111
12(1)222
22n n n
T n n -=⨯+⨯++-⨯
+⨯． 两式相减得
1210111
112
22222
222n n n n
T n n -+=++++
-⨯=-， 1
2
42
n n n T -+=-。