部编版2020学年高二数学上学期期中试题 理 新人教目标版

2019学年度高二上学期数学期中考试试题（理科）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求
1、命题“2
,220x R x x ∀∈-+≤”的否定为（ ）
A.2,220x R x x ∃∈-+>
B. 2
,220x R x x ∀∈-+≥ C.2,220x R x x ∀∉-+≤ D.
2,220x R x x ∃∉-+> 2、若98与63的最大公约数为，二进制数化为十进制数为，则
A. 53
B. 54
C. 58
D. 60
3、某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18，抽到的40人中，编号落在区间[]1200，的人做试卷A ，编号落在[]
201560，的人做试卷B ，其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为 （ ） A. 10 B. 12 C. 18 D. 28
4、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据
收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程6.5468.0ˆ+=x y
零件数x 个
10
20
30 40 50 加工时间y （min ） 62
75
81
89
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ） A ．68 B ．68.2 C ．69 D ．75
5、已知数据12,,,n x x x L 的平均数5x =，方差24S =，则数据
1237,37,,37n x x x +++L 的平均数和方差分别为（ ）
A. 15，36
B. 22，6
C. 15，6
D. 22，36 6、在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上随机地取一个数x ，则事件“13sin 22x ≤≤”发生的概率（ ） A.
12 B. 13 C. 14 D. 1
6
7．“57m <<”是“方程
22
175
x y m m +=--表示椭圆”的 A ． 充分必要条件 B ． 充分不必要条件 C ． 必要不充分条件 D ． 既不充分也不必要条件 8、下列程序框图中，输出的A 的值是（ ）
A ．
120 B ．118 C ．121 D ．119
9．若椭圆
22
1369
x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为（ ） A ． 2 B ． -2 C ．
13 D ． 12
- 10、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，已知,M N 分别是BD 和AD 的中点，则1B M 与1D N 所成角的余弦值为（ ）
A.
30 B. 30 C. 30 D. 15
11、已知双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>与抛物线2
8y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线
的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A. 5
B. 3
C.
23
3
D. 2 12、已知双曲线的右顶点到其一条渐近线的距离等于，抛物线
的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上的动点到直线
和
距离之和的最小值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡相应位置） 13、由命题“存在x ∈R ，使x 2
+2x+m ≤0”是假命题，则实数m 的取值范围为 ． 14、已知向量，
，且
与
互相垂直，则的值是_______．
15、如图，在平行六面体1111ABCD ABC D -中，AC 与BD 的交点为点M .设11C D a =u u u u r r
，11C B b =u u u u r r ，1C C c =u u u u r r
，用a r ，b r ，c r 表示向量1MB u u u u r ，则1MB u u u u r ＝___________
16．已知抛物线
，过的焦点的直线与交于，两点。

弦
长为，则线段
的中垂
线与轴交点的横坐标为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（10分）、给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；q ：关于x 的方程
20x x a -+=有实数根．如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．
18(12分)、某校冬令营有三名男同学A,B,C 和三名女同学X,Y,Z ， （1）从6人中抽取2人参加知识竞赛，求抽取的2人都是男生的概率；
（2）若从这3名男生和3名女生中各任选一名，求这2人中包含A 且不包含X 的概率.
19(12分)、某学校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)60,50，[)70,60，[)80,70，[)90,80，[]100,90．
（1）求图中a 的值
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数()x 与数学成绩相应分数段的人数()y 之比如下表所示，求数学成绩在[)90,100的人数． 分数段
[)60,50 [)70,60 [)80,70 [)90,80
x ：y
1：1
2：1
3：4
4：5
20(12分)、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为1
2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2AM MB =u u u u v u u u v
，求直线l 的方程．
21(12分)、在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝2，BC ＝4，E 是PD 的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值；
（3）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．
22(12分)、在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设是轨迹上任意一点，的垂直平分线与轴相交于点，求点横坐标的取值范围．
期中考试数学答案
选择题答案
1—5ACBAD 6—10BCDDC 11--12DB 填空题13、【答案】（1，+∞）
14、【答案】15、【答案】1122
a b c -+-r r r
16 .
17、【答案】()1,0,44⎛⎫-∞⋃
⎪⎝⎭
试题解析：由题意可知，命题p 为真0a ⇔=或210{
0440
a a a a >⇔≤<∆=-<，
命题q 为真211404
a a ⇔∆=-≥⇔≤
， 故{ { p p q q p q ∨⇔∧真为真，
假为假，
或04,{ { 1,4a p q a ≤<⇔>假真或0,4{ 14a a a <≥≤或，
，即0a <或1
44
a <<. 18【答案】（Ⅰ）15（Ⅱ）2
9
P =. 试题解析：
（Ⅰ）由题意知，从6人中任选两人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A X A Y A Z B C B X B Y B Z C X C Y C Z {}{}{},,,,,X Y X Z Y Z ，共15个.
所选两个人都是男的事件所包含的基本事件有：{}{}{},,,,,A B A C B C ,共3个， 则所求事件的概率为：31
155
P =
=. （Ⅱ）从这3名男生和3名女生各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,A X A Y A Z B X B Y B Z C X C Y C Z ，共9个，
包含A 但不包括X 的事件所包含的基本事件有：{}{},,,A Y A Z ，共2个，
18、【答案】解：(1)10(0.040.030.02)1a a ⨯++++=，0.005a = (2)50-60段语文成绩的人数为：100.005100%1005⨯⨯⨯=人 60-70段语文成绩的人数为：100.04100%10040⨯⨯⨯=人 70-80段语文成绩的人数为：人30100%10003.010=⨯⨯⨯ 80-90段语文成绩的人数为：100.02100%10020⨯⨯⨯=人 90-100段语文成绩的人数为：100.005100%1005⨯⨯⨯=人
555654075308520955
73100
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=
(3)依题意：
50-60段数学成绩的人数=50-60段语文成绩的人数为=5人 60-70段数学成绩的的人数为= 50-60段语文成绩的人数的一半=
人20402
1
=⨯ 70-80段数学成绩的的人数为=
人403034
=⨯ 80-90段数学成绩的的人数为= 人25204
5
=⨯
90-100段数学成绩的的人数为=人102540205100=----
20、【答案】（1）22
143
x y +=；（2）220x y +=﹣或220x y +=﹣ 试题解析：（1）设椭圆方程为()222210,0x y a b a b +=>>，因为1
1,2c c a ==
，所以
2,a b ==，所求椭圆方程为22
143
x y +=.
（2）由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y=kx+1，则由2
2
1
{ 143y kx x y =++=得22
34880k x kx ++=（）﹣，且0V ＞．
设()()1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =u u u u v u u u v 得122x x =﹣，
又122122834{ 834k x x k x x k +=-
+=-+，所以22
2
2
2
834{ 8234k
x k x k -=-+-=-+消去2x 得222
843434k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得214k =
，1k =±，所以直线l 的方程为1
12
y x =±+，即220x y +=﹣或220x y +=﹣.
21【答案】（1）证明见解析；（2）
23；（3）2
3
． （1）证明：0AD CD ⋅=u u u r u u u r r ，0CD AP ⋅=u u u r u u u r r
∴CD ⊥AD ，CD ⊥AP ．
又∵AP ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD ．又∵CD ？平面PDC ，∴平面PDC ⊥平面PAD ．
（2）设平面AEC 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则令z ＝1，则y ＝－，x ＝1，
平面AEC 的一个法向量为n ＝（1，－，1）,又平面ACD 的法向量为AP u u u r
＝（0，0，2）， ∴cos 〈n ，AP u u u r
〉＝
＝，∴锐二面角EACD 的余弦值是．
（3）设直线CD 与平面AEC 所成的角为θ，平面AEC 的一个法向量为n ＝（1，－，1）且CD
uuu r
＝（－2，0，0），
∴sin θ＝＝
2
3
，即直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值为． 考点：1、面面垂直；2、二面角；3、线面角．
22、【答案】(Ⅰ)（）；(Ⅱ).
试题解析： （Ⅰ）设
（
），
由题意得
，
整理得，
∴动点的轨迹方程为（）（Ⅱ）设，，
依题意得，即，两边平方整理得．
又点在椭圆上，
∴（），即，且，∴，
∴，
又，
∴．
即点横坐标的取值范围为．。