2024版高考数学一轮总复习练案22第四章三角函数解三角形第一讲任意角和蝗制及任意角的三角函数

练案[22] 第四章三角函数、解三角形第一讲任意角和弧度制及任意角的三角函数
A组基础巩固
一、单选题
1．给出下列四个命题：
①－3π
4
是第二象限角；②
4π
3
是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是
第一象限角．
其中正确命题的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
[解析]①中－3π
4
是第三象限角，故①错．②中
4π
3
＝π＋
π
3
，从而
4π
3
是第三象限
角，②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而－400°是第四象限角，③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而－315°是第一象限角，④正确．
2．(2022·吉林长春模拟预测)2022年北京冬奥会开幕式倒计时环节把二十四节气与古诗词、古谚语融为一体，巧妙地呼应了今年是第二十四届冬奥会，更是把中国传统文化和现代美学完美地结合起来，彰显了中华五千年的文化自信．地球绕太阳的轨道称为黄道，而二十四节气正是按照太阳在黄道上的位置来划分的，当太阳垂直照射赤道时定为“黄经零度”，即春分点，从这里出发，每前进15度就为一个节气，从春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏等等．待运行一周后就又回到春分点，此为一心归年，共360度，因此分为24个节气，则今年高考前一天芒种为黄经( B )
A．60度B．75度
C．270度D．285度
[解析]春分往下依次顺延，清明、谷雨、立夏、小满、芒种，所以芒种为黄经15×5＝75度．故选B.
3．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( B )
A．第一象限B．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] 由题意知tan α<0，cos α<0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
4．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( B ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形
D ．不能确定
[解析] ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·t an C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.
5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( B ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0
D ．tan αsin α<0
[解析] α是第三象限角，sin α<0，cos α<0，tan α>0，可得A 、C 、D 成立，故选B.
6．(2022·辽宁大连二十四中高一期中)已知边长为63的等边△ABC 的外接圆圆心为
O ，则∠AOC 所对的劣弧长为( D )
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
[解析] 因为边长为63的等边△ABC 的外接圆圆心为O ，则O 为等边△ABC 的中心，故∠AOC ＝2π3，且OA ＝OC ＝633
＝6，故∠AOC 所对的劣弧长为6×2π
3＝4π，故选D.
7．(2022·衡水模拟)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π
3弧长到达点Q ，
则点Q 的坐标为( A )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32 B ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫－32，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2
，－32
D ．⎝
⎛⎭
⎪⎫－
32，12 [解析] 点P 运动的弧长所对圆心角的弧度数为2π
3，由三角函数定义可知Q 点的坐标
(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝3
2
.
8．(2022·深圳模拟)已知角α的始边为x 轴正半轴，终边过点P (－8m ，－6sin
30°)，且cos α＝－4
5
，则实数m 的值为( A )
A.12 B ．－12
C ．±12
D ．±
32
[解析] 角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，即P (－8m ，－3)．又cos α＝－
4
5<0，∴角α的终边在第三象限，则m >0.∵|OP |＝64m 2
＋9，∴cos α＝－8m
64m 2
＋9
＝－4
5，解得m ＝1
2
(负值舍去)．
二、多选题
9．下列各式中结果为正值的是( ACD ) A ．sin 1 125° B ．tan 3712π·sin 37
12π
C.sin 5
tan 5
D ．sin|－1|
[解析] 确定一个角的某一三角函数值的符号关键要看角在哪个象限，确定一个式子的符号，则需观察构成该式的结构特点及每部分的符号．
对于A ，因为 1 125°＝1 080°＋45°，所以 1 125°是第一象限角，所以sin 1 125°>0；
对于B ，因为3712π＝2π＋1312π，则37
12π是第三象限角，
所以tan 3712π>0，sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 37
12π<0；
对于C ，因为5弧度的角在第四象限， 所以sin 5<0，tan 5<0，故
sin 5
tan 5
>0； 对于D ，因为π4<1<π
2
，所以sin|－1|>0.
10．(2023·吉林长春普通高中模拟改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线x ＋y ＝0上，则角α的取值集合是( AD )
A.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π－π4，或α＝2k π＋3π
4，k ∈Z B.⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫α＝2k π＋3π
4，k ∈Z
C.⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭⎬
⎫α＝k π＋π
4，k ∈Z
D.⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭
⎬
⎫α＝k π－π
4，k ∈Z
[解析] 因为直线x ＋y ＝0的倾斜角是3π
4
，所以终边落在直线x ＋y ＝0上的角的取值
集合为⎩⎪⎨⎪⎧
α⎪
⎪⎪ α＝2k π－
π4或α＝2k π＋
⎭⎬⎫3π4，k ∈Z 或⎩⎨⎧
α⎪⎪⎪⎭
⎬⎫α＝k π－π
4，k ∈Z .
故选A 、D.
11.(2023·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( ABD )
A ．经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π
3＋3
B ．经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π
12
C ．经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π
3
D ．经过5π
9
s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇
[解析] 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为
π
3＋3，故A 正确；
经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π
12，故B
正确；
经过
π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6
×12
＝5π
12
，故C 不正确； 设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π
9(s)，
故D 正确．
三、填空题
12．－2 020°角是第_二__象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是_140°__，最大负角是_－220°__.
[解析] 因为－2 020°＝－6×360°＋140°，所以－2 020°角的终边与140°角的终边相同．所以－2 020°角是第二象限角，与－2 020°角终边相同的最小正角是140°.又140°－360°＝－220°，故与－2 020°终边相同的最大负角是－220°.
13．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于 π
3 .
[解析] 设扇形半径为r ，弧长为l ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
l r ＝π
6，12lr ＝π
3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
l ＝π3，
r ＝2.
14．(2022·江苏宿迁高一期中)月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是△ABC 的外接圆和以AB 为直径的圆的一部分，若∠ACB ＝2π3
，南北距离AB 的长大约60 3 m ，则该月牙泉的面积约为_2_028__m 2
(精确到整数位)(参考数据：π≈3.14，3≈1.73)
[解析] 设△ABC 的外接圆的半径为r ，则2r ＝
AB
sin
2π3＝60332
＝120，得r ＝60， 因为月牙内弧所对的圆心角为2π－2×2π3＝2π
3，
所以内弧的弧长l ＝60×2π
3＝40π，
所以弓形ABC 的面积为
S 1＝12×40π×60－12×60×60×sin
2π
3
＝1 200π－9003， 以AB 为直径的半圆的面积为12
π×(303)2
＝1 350π，所以该月牙泉的面积为
1 350π－(1 200π－9003)＝150π＋9003≈
2 028.
15．函数y ＝2sin x －1的定义域为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) . [解析] ∵2sin x －1≥0， ∴sin x ≥1
2
.
由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分)．
∴x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z )． B 组能力提升
1．(多选题)下列结论中正确的是( BCD )
A ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4
5
B ．若α是第一象限角，则
α
2
为第一或第三象限角
C ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
D ．若0<α<π
2
，则sin α<tan α
[解析] 当k ＝－1时，P (－3，－4)，则sin α＝－4
5，故A 错误；
∵2k π<α<2k π＋π
2
，k ∈Z ，
∴k π<α2<k π＋π
4
，k ∈Z ，
∴α
2
为第一或第三象限角，故B 正确； |α|＝l r ＝6－42
＝1，故C 正确；
∵0<α<π2，∴sin α<tan α⇔sin α<sin αcos α⇔cos α<1，故D 正确．
2
．
设
集
合
M ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ＝k
2·180°＋45°，k ∈Z
，N ＝
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ＝k
4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( B )
A ．M ＝N
B ．M ⊆N
C ．N ⊆M
D ．M ∩N ＝∅
[解析] 由于M 中，x ＝k
2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是
奇数；而N 中，x ＝k
4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此
必有M ⊆N .
3．(多选题)(2023·唐山模拟)函数f (x )＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x
|tan x |
的值可能为
( BC )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
[解析] 由sin x ≠0，cos x ≠0，知x 终边不在坐标轴上，若x 为第一象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x cos x ＋tan x tan x
＝3. 若x 为第二象限角，f (x )＝sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tan x
－tan x ＝－1. 若x 为第三象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x －cos x ＋tan x
tan x ＝－1.
若x 为第四象限角，f (x )＝sin x －sin x ＋cos x cos x ＋tan x
－tan x
＝－1.
故选B 、C.
4．(2023·江西吉安期末)达·芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑数百年让无数观赏者入迷．某爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角A ，B 处作圆弧所在圆的切线，两条切线交于点C ，测得AB ＝12.6 cm ，∠ACB ＝2π
3
，则《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为(单位：cm)( C )
A ．12.6
B ．4π
C ．4.2π
D ．4.3π
[解析] 本题考查弧长公式．∵画中女子的嘴唇可近似看作一个圆弧，设圆心为O ，
依题意，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，O ，A ，C ，B 四点共圆．∵∠ACB ＝
2π3，∴∠AOB ＝π
3
.∵OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形，∴OA ＝AB ＝12.6 cm ，∴《蒙娜丽莎》中女子嘴唇的长度约为OA ×π
3
＝4.2π(cm)．故选C.
5．(2023·兰州模拟)已知1|sin α|＝－1
sin α，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫35，m ，且OM ＝1(O 为坐标原点)，求m 及sin α的值． [解析] (1)由1|sin α|＝－1
sin α，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．
(2)因为OM ＝1，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫352＋m 2
＝1，
解得m ＝±4
5
.
又α为第四象限角，故m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m OM ＝－4
5.。