2025届呼和浩特市第一中学高三数学第一学期期末监测试题含解析

2025届呼和浩特市第一中学高三数学第一学期期末监测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭
为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2
x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,
3π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
A ．6.25%
B ．7.5%
C ．10.25%
D ．31.25%
3．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11
a b a b
β+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3 B ．4
C ．5
D ．6
4．已知全集，
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．3
5
(1)(2)x y --的展开式中，满足2m n +=的m n
x y 的系数之和为（ ）
A ．640
B ．416
C ．406
D ．236-
6．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的
距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-
B ．3
C ．
33
2
- D ．
32
7．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )
A ．7
B ．15
C ．31
D ．63
8．已知复数z 5
34i
=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．
45
B ．45-
C ．45
i
D ．4
5
-
i 9．已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足
21
32m a b a b
+=++时，则74a b +的最小值为（ ） A ．
94
B ．5
C 522
+ D ．9
10．若i 为虚数单位，则复数112i
z i
+=+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（ ） A ．
45 B ．45
-
C ．
35
D ．
35
12．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（ ） A ．15︒
B ．30︒
C ．45︒
D ．60︒
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()3
14sin 3
f x x x =+
在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则n 为________. 14．设a R ∈，若函数,x
y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则实数a 的取值范围是_____ 15．已知数列{}n a 的前n 项和n n S a 1
4
λ=-
+且114a =，设x x f x e e 2()1-=-+，则
f a f a f a 721222(lo
g )(log )(log )+++的值等于_______________ .
16．已知函数()231,02ln 6,0
a
x x f x x
x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图：
（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由； （2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表： 满意 不满意 总计 网络看病 实地看病 总计
并根据列联表判断能否有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？
（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.
附2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
18．（12分）已知函数f(x ）=xlnx ，g(x)=
23
2
x ax -
+-, （1）求f(x)的最小值；
（2）对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥都有恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x
x e ex
>
-成立． 19．（12分）在极坐标系中，已知曲线C 的方程为r ρ
=（0r >），直线l 的方程为cos 4πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.设直线l 与
曲线C 相交于A ，B 两点，且AB =r 的值. 20．（12分）已知数列{}n a 满足()12
122
n n n a a a +⋅⋅⋅⋅=（*n N ∈），数列{}n b 的前n 项和()
12
n n n b b S +=
，（*n N ∈），且1
1b =，22b =．
（1）求数列
{}n a 的通项公式： （2）求数列{}n b 的通项公式． （3）设1
11n n n n c a b b +=
-⋅，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，求正整数m ，使得对于任意的*n N ∈均有m n T T ≥． 21．（12分）椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的右焦点)
F
，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过点()2,0且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点.O 为坐标原点，A 为椭圆C 的右顶点，求四边形
OMAN 面积的最大值.
22．（10分）已知函数()1
ln f x a x x
=+
.
（1）讨论()f x 的零点个数；
（2）证明：当02e a <≤时，()12
x
e f x ->
. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
结合已知可知，1
12T =可求T ，进而可求ω，代入()f x ，结合1()03
f =，可求ϕ，即可判断．
【详解】
图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足12||1x x -=，
∴1
12
T =即2T =，
ωπ∴=，()sin()f x x πϕ=+，且11()sin()03
3
f πϕ=+=，
∴13
k πϕπ+=，k Z ∈，
1||2ϕπ<，13ϕπ∴=-，1
()sin()3
f x x ππ=-，
当16
x =-
时，1()16f -=-为函数的一个极小值点，而1(,0)66π
-∈-．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦函数的图象及性质的简单应用，解题的关键是性质的灵活应用． 2、A 【解析】
由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比. 【详解】
水费开支占总开支的百分比为250
20% 6.25%250450100
⨯=++.
故选：A 【点睛】
本题考查折线图与柱形图，属于基础题. 3、C 【解析】
根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】
∵a >0，b >0，a +b =1，
∴
211111152a b a b
ab a b αβ+=+++=+
≥+=+⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当且仅当1
2
a b ==时取“＝”号． 答案：C 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 4、C 【解析】
先求出集合U ，再根据补集的定义求出结果即可． 【详解】 由题意得，
∵，
∴．
故选C ． 【点睛】
本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合和熟悉补集的定义，属于简单题． 5、B 【解析】
2m n +=，
有02m n =⎧⎨=⎩，11m n =⎧⎨=⎩，20
m n =⎧⎨=⎩三种情形，用33(1)(1)x x -=-+中m x 的系数乘以55(2)(2)y y -=-+中n y 的系数，然后相加可得． 【详解】
当2m n +=时，3
5
(1)(2)x y --的展开式中m n x y 的系数为
358()55353535(1)(2)(1)22m m m n n n n n m n n m n n m n m n C x C y C C x y C C x y ---+---⋅-=⋅⋅-⋅=⋅⋅．当0m =，2n =时，系数为
3211080⨯⨯=；当1m =，1n =时，系数为4235240⨯⨯=；当2m =，0n =时，系数为523196⨯⨯=；故满足
2m n +=的m n x y 的系数之和为8024096416++=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键． 6、D 【解析】
建立平面直角坐标系，将问题转化为点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值，利用P 到x 轴的距离等于P 到点A 的距离得到P 点轨迹方程，得到()2
6399y x =-+≥，进而得到所求最小值. 【详解】
如图，原题等价于在直角坐标系xOy 中，点()3,3A ，P 是第一象限内的动点，满足P 到x 轴的距离等于点P 到点A 的距离，求点P 的轨迹上的点到x 轴的距离的最小值． 设(),P x y ，则()
()2
2
33y x y =
-+-()2
3690x y --+=，
则()2
6399y x =-+≥，解得：3
2
y ≥
， 即点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是32
. 故选：D . 【点睛】
本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值. 7、B 【解析】
试题分析：由程序框图可知：①，
；②
，；③
，
；④
，
；
⑤
，
. 第⑤步后输出，此时，则
的最大值为15，故选B.
考点：程序框图. 8、B 【解析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】
()()()53453434343455
i z i i i i -=
==-++-， 则复数z 的虚部为45
-. 故选：B . 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 9、A 【解析】 利用()2
2log 217y x
x =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.
【详解】
解：∵()
()2
2
22log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦
的值域为[
),m +∞, ∴4m =, ∴
41
4622a b a b
+=++,
∴()()14
1746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=
++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭
()()4216219
554426244
a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当
()4262262a b a b a b a b
++=
++时取等号,
∴74a b +的最小值为94
. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题. 10、D 【解析】
根据复数的运算，化简得到31
55
z i =-，再结合复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，根据复数的运算，可得()()()()1121331121212555
i i i i z i i i i +-+-=
===-++-， 所对应的点为31,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
位于第四象限.
故选D . 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 11、C 【解析】
利用诱导公式以及二倍角公式，将3sin 22πθ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
化简为关于tan θ的形式，结合终边所在的直线可知tan θ的值，从而可求3sin 22πθ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值. 【详解】
因为22222
22
23sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭
，且tan 2θ=， 所以3413
sin 22415πθ-⎛⎫+==
⎪+⎝⎭
. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解
22sin cos m n θθ+值的两种方法：
（1）分别求解出sin ,cos θθ的值，再求出结果；（2）将22sin cos m n θθ+变形为222222sin cos tan sin cos tan 1
m n m n
θθθθθθ++=
++，利用tan θ的值求出结果. 12、D 【解析】
设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得2l R =即可得圆锥轴截面底角的大小. 【详解】
设圆锥的母线长为l ,底面半径为R ,则有2222R Rl R R ππππ+=+,解得2l R =,所以圆锥轴截面底角的余弦值是
1
2
R l =,底角大小为60︒. 故选：D 【点睛】
本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、4 【解析】
根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值. 【详解】
()31
4sin 3
f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ，
由于函数()3
14sin 3
f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，
则()04n f '==. 故答案为：4. 【点睛】
本题考查利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 14、1a <- 【解析】
先求导数，求解导数为零的根，结合根的分布求解.
【详解】
因为e x y ax =+，所以e x
y a '=+，令0y '=得e x a =-， 因为函数e x y ax =+有大于0的极值点，所以e 1x >，即e 1x a =-<-.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值点问题，极值点为导数的变号零点，侧重考查转化化归思想.
15、7
【解析】
根据题意，当1n =时，11S a =，可得2λ=，进而得数列{}n a 为等比数列，再计算可得()()22f x f x +-=，进而可得结论.
【详解】
由题意，当1n =时，11114S a a λ==-
+，又114a =，解得2λ=， 当2n ≥时，由11124
n n S a --=-+， 所以，1122n n n n n a S S a a --=-=-，即12n n a a -=，
故数列{}n a 是以14
为首项，2为公比的等比数列，故131224n n n a --=⋅=， 又()()()22222112x x x x f x f x e e e e ----+-=-++-+=，()111f e e =-+=，
所以，()()()212227log log log f a f a f a +++
()()()()()()()2101234f f f f f f f =-+-+++++22217=+++=.
故答案为：7.
【点睛】
本题考查了数列递推关系、函数求值，考查了推理能力与计算能力，计算得()()22f x f x +-=是解决本题的关键，属于中档题.
16、()2,0-
【解析】
设()()()g x f x f x =+-，判断()g x 为偶函数，考虑x >0时，()g x 的解析式和零点个数, 利用导数分析函数的单调性,作函数大致图象，即可得到a 的范围.
【详解】
设()()()g x f x f x =+-，
则()g x 在()(),00,-∞⋃+∞是偶函数，
当0x >时，()22ln 631a g x x x x x
=-+-+， 由()0g x =得232ln 63a x x x x x =-++，
记()23
2ln 63h x x x x x x =-++， ()22ln 1293h x x x x '=-++，()218120h x x x
''=+-≥， 故函数()h x '在()0,∞+增，而()10h '=，
所以()h x 在()0,1减，在()1,+∞增，()12h =-，
当x →+∞时，()h x →+∞，当0x +→时，()0h x -
→， 因此()g x 的图象为
因此实数a 的取值范围是()2,0-.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点的个数问题，涉及构造函数，函数的奇偶性，利用导数研究函数单调性，考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，属于难题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）实地看病的满意度更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有；（3）
35
. 【解析】
（1）对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；（2）先完成列联表，再由独立性检验得有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；（3）利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.
【详解】
（1）对实地看病满意度更高，理由如下：
（i ）由茎叶图可知：在网络看病中，有66.7%的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有66.7%的患者评分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.
（ii ）由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73分，实地看病评分的中位数为87分，因此患者对实地看病满意度更高.
（iii ）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80分；实地看病的满意度的评分平均分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.
（iV ）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评分分布在茎8，上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的满意度更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一一种或其他合理理由均可得分.
（2）参加网络看病满意度调查的15名患者中共有5名对网络看病满意，10名对网络看病不满意；参加实地看病满意度调查的15名患者中共有10名对实地看病满意，5名对实地看病不满意.
故完成列联表如下：
于是2
2
30(101055) 3.33 2.7061515K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯15⨯15， 所以有90%的把握认为患者看病满意度与看病方式有关.
（3）网络看病的评价的分数依次为82，85，85，88，92，由小到大分别记为,,,,a b c d X ，
从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，所有可能情况有：()()()(),,,,,,,a b a c a d a X ；()()(),,,,,b c b d b X ；()(),,,c d c X ；(),d X 共10种，
其中，这2人评分都低于90分的情况有：
()()()82,85,82,85,82,88；()()85,85,85,88；()85,88共6种，
故由古典概型公式得这2人评分都低于90分的概率63105
P =
=. 【点睛】
本题主要考查茎叶图的应用和独立性检验，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、 (1)1e
-
(2)（,4]-∞ (3)见证明 【解析】 （1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定函数单调性，最后根据函数单调性确定最小值取法；（2）先分离不等式，转化为对应函数最值问题，利用导数求对应函数最值即得结果；（3）构造两个函数，再利用两函数最值关系进行证明.
【详解】
（1）1()=ln 10f x x x e
+=∴=' 当1
(0,)x e
∈时，()0,()f x f x '<单调递减，当1
(,)x e ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增，所以函数f(x ）的最小值为f(1e ）=1e
-； （2）因为0x >，所以问题等价于22ln 332ln x x x a x x x x
++≤=++在()0,x ∈+∞上恒成立， 记()32ln ,t x x x x =++
则()min a t x ⎡⎤≤⎣⎦， 因为()()()2231231x x t x x x x
+='-=+-， 令()013t x x x =='=-得或舍，
()()0,10,x t x ∈'<时函数f(x ）在（0,1）上单调递减;
()()1,0,x t x ∈+∞'>时函数f(x ）在（1，+∞）上单调递增；
()()min 1 4.t x t ⎡⎤∴==⎣⎦即4a ≤，
即实数a 的取值范围为（,4]-∞.
（3）问题等价于证明()2ln ,0,.x x x x x e e
>-∈+∞ 由（1）知道()11ln ,f x x x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
的最小值 ()()()21,0,x x x x x x x e e e
设则φφ-=-∈+='∞，令()01x x 得，φ'== ()()0,10,x x φ∈'>时函数()x φ在（0,1）上单调递增；
()()1,0,x x φ+∞'∈<时函数()x φ在（1，+∞）上单调递减；
所以{()()max 1]1x e
φφ==-，
因此12ln x x x x e e e ≥-
≥-，因为两个等号不能同时取得，所以2ln ,x x x x e e
>- 即对一切()0,x ∈+∞，都有12ln x x e ex >-成立. 【点睛】
对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 19、3r =
【解析】
先将曲线C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.
【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy ，
可得曲线C ：r ρ=（0r >）的直角坐标方程为222x y r +=，表示以原点为圆心，半径为r 的圆.
由直线l
的方程cos 4πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
，化简得cos cos sin sin 44ππ
ρθρθ-= 则直线l 的直角坐标方程方程为20x y --=.
记圆心到直线l 的距离为d
，则d =
= 又222
2AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即2279r =+=，所以3r =. 【点睛】
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
20、（1）2n n a =（n *∈N ）．（2）n b n =，n *∈N ．（3）4m =
【解析】
（1）依题意先求出12a =,然后根据 121121
n n n n a a a a a a a a --⋅⋅⋅=⋅⋅⋅,求出{}n a 的通项公式为2n n a =,再检验1n =的情况即可; （2）由递推公式()12
n n n b b S +=
,得()12n n S n b b =+, 结合数列性质1n n n a S S -=-可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;
（3）通过（1）、（2）可得()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦,所以10c =,20c >,30c >,40c >,50c <．记()()12n n n f n +=,利用函数单调性可求()f n 的范围,从而列不等式可解.
【详解】
解：（1）因为数列{}n a 满足()12122n n n
a a a +⋅⋅⋅⋅=（*n N ∈） ①122122a ⨯==；
②当2n ≥时,()
()1212111212
222n n n n n n n n n a a a a a a a a +---⋅⋅⋅===⋅⋅⋅． 检验当1n =时, 1
122a ==成立.
所以,数列{}n a 的通项公式为2n n a =（n *∈N ）． （2）由()12
n n n b b S +=,得()12n n S n b b =+, ① 所以()()11121n n S n b b --=-+,2n ≥． ②
由①-②,得()1121n n n b b nb n b -=+--,2n ≥,
即()()11210n n b n b n b -+---=,2n ≥, ③
所以,()()112320n n b n b n b --+---=,3n ≥． ④
由③-④,得()()()1222220n n n n b n b n b -----+-=,3n ≥,
因为3n ≥,所以20n ->,上式同除以()2n -,得
1220n n n b b b ---+=,3n ≥,
即11211n n n n b b b b b b +--=-=⋅⋅⋅=-=,
所以,数列{}n b 时首项为1,公差为1的等差数列,
故n b n =,n *∈N ．
（3）因为()()()111111112112n n n n n n n n c a b b n n n n ++⎡⎤=-=-=-⎢⎥⋅++⎣⎦
． 所以10c =,20c >,30c >,40c >,50c <．
记()()12
n n n f n +=, 当5n ≥时,()()()()()()()11
1211022221n n n n n n n n n f n f n ++++++-+-=-=<． 所以,当5n ≥时,数列()f n 为单调递减,当5n ≥时,()()556512f n f ⨯≤=
<． 从而,当5n ≥时,()()111012n n n n c n n +⎡⎤=-<⎢⎥+⎣⎦
． 因此1234T T T T <<<,456T T T >>>
． 所以,对任意的n *∈N ,4n T T ≥．
综上,4m =．
【点睛】
本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.
21、（1）22
186x y +（2
）最大值【解析】
（1
）根据通径2
2b a
=
c = （2）设直线MN 方程为2x my =+，联立椭圆，利用OAM OAN OMAN S S S =+四边形，用含m 的式子表示出OAM OAN OMAN S S S =+四边形
，用t =换元，
可得OMAN S t t
==+四边形，最后用均值不等式求解.
【详解】
解：（1
）依题意有c =
a =
b =，所以椭圆的方程为22
186x y +.
（2）设直线MN 的方程为2x my =+，联立22
1862x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()223412120m y my ++-=. 所以1221234m y y m -+=+，1221234
y y m -=+.
所以12121122
OAM OAN OMAN S S S
y y y =+=⨯+⨯=
-四边形
===
.
令
t =，则t ≥
所以22
2OMAN S t t t
==++四边形
，因t ≥
2t t +≥
OMAN S ≤四边形t =，即0m =时取得等号，
即四边形OMAN 面积的最大值【点睛】
考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法，是难题.
22、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）求出()2
1'ax f x x -=，分别以当0a <，0a =，0a >时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令()ln 1h x ax x =+，结合导数求出()11()12a h x h e e ≥=-+≥；同理可求出()112x g x xe -=满足()()112
g x g ≤=，从而可得11ln 12x ax x xe -+>，进而证明()12
x
e f x ->. 【详解】
解析：（1）()21'ax f x x
-=，()0,x ∈+∞， 当0a <时，()'0f x <，()f x 单调递减，10f a e e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭
，1110a a f e e ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，此时()f x 有1个零点；
当0a =时，()f x 无零点；
当0a >时，由()'0f x <得1(0,)x a ∈，由()'0f x >得1(,)x a ∈+∞，∴()f x 在1(0,)a 单调递减，在1(,)a
+∞单调递增，∴()f x 在1x a =处取得最小值1()ln f a a a a
=-+， 若ln 0a a a -+>，则a e <，此时()f x 没有零点；
若ln 0a a a -+=，则a e =，此时()f x 有1个零点；
若ln 0a a a -+<，则a e >，()10f >，求导易得21()0f a >，此时()f x 在211(,)a a ，1(,1)a 上各有1个零点. 综上可得0a e ≤<时，()f x 没有零点，0a <或a e =时，()f x 有1个零点，a e >时，()f x 有2个零点. （2）令()ln 1h x ax x =+，则()()'1ln h x a x =+，当1x e >
时，()'0h x >；当10x e <<时，()'0h x <，∴()1
1()12
a h x h e e ≥=-+≥. 令()112x g x xe -=，则()()11'12
x g x e x -=-， 当01x <<时，()'0g x >，当1x >时，()'0g x <，∴()()112g x g ≤=
， ∴()()h x g x >，11ln 12x ax x xe -+>，∴11ln 2x e a x x -+>，即()12
x
e f x ->. 【点睛】
本题考查了导数判断函数零点问题，考查了运用导数证明不等式问题，考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中，合理设出函数，通过比较最值证明.。