河南省开封市尉氏县实验中学高三数学理模拟试卷含解析

河南省开封市尉氏县实验中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域
A、 B、C、 D、
参考答案：
C
略
2. 若展开式各项系数和为，则展开式中常数项是第（）项
（A）7 （B）6 （C）5 （D）2
参考答案：
A
3. 函数在区间上的大致图象为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
根据题意，分析函数的奇偶性可得函数f（x）为偶函数，据此可以排除A、D；又由x→0时，x sin x+lnx＜0，分析可得答案．
【详解】根据题意，f（x）＝x sin x+ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，
有f（﹣x）＝（﹣x）sin（﹣x）+ln|（﹣x）|＝x sin x+ln|x|＝f（x），即函数f（x）为偶函数，
在区间[﹣2π，0）∪（0，2π]上关于y轴对称，排除A、D；
又由x→0时，x sin x+lnx＜0，排除C；
故选：B．
【点睛】本题考查函数图象的判断，考查函数的奇偶性，此类题目一般用排除法分析．
4. 方程log2x+x=2的解所在的区间为（）
A．（0.5，1）B．（1，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.5）
参考答案：
B
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】判断f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f （1）?f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间内，即可得出答案．
【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．
∵f（1）
=0+1﹣2=﹣1＜0，
f（1.5）=log21.5﹣0.5=log21.5﹣log2＞0
∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间内
∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5）
故选：B．
5.
A、B、C、
D、
参考答案：
C
知识点：诱导公式
解析：
故答案为：C
6. 已知集合，则B中所含元素的个数为（）
（A）3 （B）6 (C) 8 （D）10
参考答案：
D
略
7. 方程的解的个数为（）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
参考答案：
B
8. 执行右面的程序框图，如果输入的n是5，则输出的p是（） A．2 B．3
C．5 D．8
参考答案：
C
略9. 函数的图象大致是（）
参考答案：
A
10. 若向量、满足，，
则向量与的夹角等于
A. B． C． D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 把函数f（x）=图象上各点向右平移?（?＞0）个单位，得到函数g（x）=sin2x的图象，则?
的最小值为
．
参考答案：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用三角函数的恒等变换及化简f（x）的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：把函数f（x）==sin2x+cos2x=sin（2x+）图象上各点
向右平移?（?＞0）个单位，得到函数g（x）=sin[2（x﹣?）+]=sin（2x﹣2?+）=sin2x的图象，
则?的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．12. 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，则m的取
值范围是
.
参考答案：
；
13. △ABC外接圆半径为，内角A ，B
，
C对应的边分别为a ，b ，c，若A=60°，b=2，则c 的值
为．
参考答案：
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．
【分析】由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2﹣2c﹣5=0，解方程即可得解．
【解答】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，
b=2，
∴由正弦定理可得：，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
14. 设是定义在R上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式
恒成立，则实数的取值范围是 .
参考答案：15. 一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果
是．
参考答案：
16. 正项数列{a n}满足,又是以为公比的等比数列,则使得不等式
成立的最小整数为__________.
参考答案：
6
依题意是首项为，公比为的等比数列，故，两边平方得，所以，两式相除得，故是以为首项，公比为的等比数列，故，所以.是以为首项，公比为的等比
数列，故，所以.所以
，由，，经检验可知，符合题意.即的最小值为.
17. P为双曲线右支上一点, F1, F2分别为双曲线的左、右焦点,且,直线PF2交y轴于点A,则的内切圆半径为__________.
参考答案：
2
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列，前n项和为，已知对任意整数k M，当整数都成立
（1）设的值；
（2）设的通项公式
参考答案：
解：（1）由题设知，当，
即，
从而
所以的值为8。

（2）由题设知，当
，
两式相减得
所以当成等差数列，且也成等差数列从而当时，（*）
且，
即成等差数列，
从而，
故由（*）式知
当时，设
当，从而由（*）式知
故
从而，于是
因此，对任意都成立，又由可知
，
解得
因此，数列为等差数列，由
所以数列的通项公式为
19. 已知函数.
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当时，记函数在区间的最大值为M.最小值为m，求的取值范围. 参考答案：
（1）当时，函数f(x)的增区间为，无单调减区间；当时，函数f(x)的增区间为，减区间为；（2）.
【分析】
（1）求出函数的定义域，.分和两种情况讨论，即求的单调区间；
（2）当时，由（1）可得函数在区间单调递减，在区间单调递增，则.比较和大小，分和两种情况讨论，构造函数，求
的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为.
.
当时，恒成立，函数的增区间为，无单调减区间；
当时，令可得；令可得，
函数的增区间为，减区间为.
综上，当时，函数的增区间为，无单调减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）当时，由（1）可得函数在区间单调递减，在区间单调递增.
，，.
由.
①当时，，有. 记，则，
函数在单调递减，，
即.
此时的取值范围为.
②当时，，有.
记，则，
函数在单调递增，，
即. 此时的取值范围为.
综上，的取值范围为.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题.
20. 设数列{a n}的前n项和为S n，且为等差数列，且. （1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设，求数列{c n}的前n项和T n.
参考答案：
解：（1）当时，，
当时，，
经验证当时，此时也成立，所以，
从而，
又因为为等差数列，所以公差，
故数列和通项公式分别为：.
（2）由（1）可知，
所以①
①得②
①-②得：
数列的前项和.
21. 已知函数f（x）=，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求a的范围．
参考答案：
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）当x＞0时，f'（x）=2（e x﹣x+a）从而f'（1）=0，解出即可，（2）由题意得到方程
组，求出a的表达式，设（x＞0），再通过求导求出函数h（x）的最小值，问题得以解决．
解答：解：（1）当x＞0时，
f（x）=2e x﹣（x﹣a）2+3，
f′（x）=2（e x﹣x+a），
∵y=f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，即2（e﹣1+a）=0
解得：a=1﹣e，经验证满足题意，
∴a=1﹣e．
（2）y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，
即存在y=2e x﹣（x﹣a）2+3图象上一点（x0，y0）（x0＞0），
使得（﹣x0，﹣y0）在y=x2+3ax+a2﹣3的图象上
则有，∴
化简得：，即关于x0的方程在（0，+∞）内有解
设（x＞0），则
∵x＞0
∴当x＞1时，h'（x）＞0；当0＜x＜1时，h'（x）＜0
即h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
∴h（x）≥h（1）=2e，且x→+∞时，h（x）→+∞；x→0时，h（x）→+∞
即h（x）值域为[2e，+∞），
∴a≥2e时，方程在（0，+∞）内有解
∴a≥2e时，y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称．
点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，函数图象的对称性，是一道综合题．
22. 已知函数.
(I)求函数f(x)的对称中心及最小正周期;
(Ⅱ)△ABC的外接圆直径为,角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
若.且,求sin B的值
参考答案：
解：（I）
对称中心（），最小正周期为
（Ⅱ）
，,
，, 又
即
即
，。