10-第十章 弯曲变形

第十章 弯曲变形
§10－1 弯曲变形基本概念
一、梁的挠曲轴
在外力作用下，受弯后梁的轴线变为一条连续光滑的曲线。

二、挠度、转角 1. 挠度、转角
挠度：梁横截面的形心在垂直于轴线方向的位移。

转角：梁横截面绕其中性轴所转的角位移。

2. 挠度、转角正负规定
挠度正负规定： 挠度与坐标轴正向一致取正，反之取负。

转角正负规定： 转角顺时针转向为正，逆时针转向为负。

三、挠度和转角的关系
1. 挠曲线方程：)(x v v = 。

挠曲轴是挠曲线方程的函数曲线
2. 转角方程：)(x θθ=
3. 挠曲线上任一点斜率 dx
dv =
θtan 在小挠度情况下，θ很小（不超过 1或0.0175rad ）θθtan ≈
所以，)()
()(x v dx
x dv x '==θ
§10－2 挠曲线的微分方程
1. 梁在纯弯曲情况下的曲率公式
EI
M 1=ρ a) 2. 对于跨度l 远大于高度h 的细长梁)10(≥l
h
,剪力对于弯曲变形的影响不计，
M 和ρ
1
皆为x 的函数，所以
EI
M(x)
x 1=）（ρ b) 从几何关系上看，平面曲线的曲率又有表达式：
2
322
2)dx dv (1d x 1
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+±=dx v ）（ρ c) 当M(x)为正时，梁的绕曲线向下凹，022<dx v
d ,
当M(x)为负时，梁的绕曲线向上凸，022>dx
v
d ,
由弯矩的正负号规定和本章所取坐标系，得：EI M(x)
)dx dv (1d 2
322
2=
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+-
dx v ，
在
小变形条件下，梁的转角很小，所以得
EI M(x)
d 2
2-=dx v 近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。

§10－3 用积分法求梁弯曲变形
挠曲线近似微分方程：EI M(x)d 22-=dx
v 将挠曲线近似微分方程相继两次积分得：
转角方程： ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-==⎰C dx dx dv EI M(x)θ 挠曲线方程：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++-=⎰⎰D C )EI M(x)(x dx dx v 积分常数由支承条件（边界的转角和挠度已知）和连续条件（挠曲线连续光滑）确定。

例题：如图所示为一悬臂梁，EI=常数，在其自由端受一集中力F 的作用，试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大的挠度和最大转角。

解：1. 建立挠曲线微分方程并积分 梁的弯矩方程：x)--F(M l =
梁的微分方程：x)-F(-M EI l ==''v
积分得：C lx ++-=F x 2F EI 2θ,D Cx x l v +++-=2
32F x 6F EI
2. 确定积分常数
梁的边界条件为：在固定端A 处转角和挠度等于零，即： 0,0==A x θ, 0,0==A v x 解得： 0EI C ==A θ, 0EI D ==A v 3. 确定挠曲线、转角方程并求最大转角，最大挠度 )21(2lx x EI F --=θ，)3(6F
v 33lx x EI
--
= 梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B 处，将l =x 代数上式，得：
EI Fl 22
max =θ （
）
EI
Fl v 33
max = （ ） §10
－4 用叠加法求梁弯曲变形
一、叠加法原理
梁材料服从胡克定律下的小变形，几种载荷共同作用产生的变形等于各载荷单独作用产生变形的代数和。

()n n n y y y kQ kQ kQ Q Q Q k kQ y ++=++++=212121＝＝
二、叠加法的应用
1. 外伸梁
2. 荷载点不在端点的悬臂梁 例题：
1、简支梁上作用均布载荷q 以及集中力偶常数==EI ,2ql m ，试用叠加法求梁跨中截面的挠度及两端截面A 、B 的转角。

解：(1)均布载荷q 单独作用下，查表得：
EI
3845ql )(v 4
C =q ，
EI
24ql )()(3
B A =
-=q q θθ (2)集中力偶m 单独作用下，查表得：
EI 16EI 16ml )(v 42C ql m =-=， EI 3ql EI 3)(3A ==ml m θ, 6EI ql -6EI -)(3
B ==m l m θ (3)叠加以上结果，得：
EI
38429EI 3845ql EI 3845ql )(v )(v v 4
22C C C ql m q =
+=+= EI 249ql EI 3ql EI 24ql )()(3
33A q A A =
+=+=m θθθ 24EI
5ql -6EI -EI 24ql )()(3
3B B B ==+=ml m q θθθ
2. 如图a 所示截面外伸梁，EI=常数。

使用叠加法求截面B 的转角和端点C 的挠
度。

2F 1F
2ql m =
解：AC 梁的弹性变形可分解为简支梁AB 的弹性变形和BC 段的弹性变形。

C 点的挠度就是这两种变形引起的位移之和：C2C1C v v v +=
(1)分析简支梁AB 的变形
3EI al F -3EI -)(1B ==ml m θ ，16EI
l F -)(22F B 2
=θ
叠加得截面B 的转角为：
16EI
l F -3EI al F -2
21B =θ ） (2)分析悬臂梁BC 的变形
由于AB 梁的截面B 转到了B θ，原固结于悬臂梁BC 也整体转到了B θ，则由
B θ引起相应的
C 点的挠度为：
16EI
al F -3EI l a F -2
221B 1==θa v C 原有1F 作用下引起悬臂梁BC 的端点C 的挠度为： 3EI
a F -3
12=C v (3)C 点的挠度应有1C v 和2C v 叠加得16EI al F -3EI a F -22
2121）（l a v v v C C C +=+= （ ）
3、如图所示悬臂梁在BC 段承受均布载荷q 的作用，EI=常数。

试用叠加法确定自由端
§10－5 简单静不定问题
梁的约束力的个数超过了静力平衡方程数目，即成为超静定梁。

在超静定梁中，凡是多于维持平衡所必须的约束称为多余约束，其相应的约束力称为多余约束力。

多余约束力的数目就是超静定的次数。

为求解超静定梁，除建立平衡方程外，还应利用变形协调条件以及力与位移之间的关系建立补充方程。

以图中超静定梁为例，设想B 支座为多余约束，解除B 支座并用约束力y
B F 代替，这样得到的静定梁称为原超静定梁的相当系统。

相当系统在均布载荷q 和未知力y B F 的作用下发生变形，应与原超静定梁的变形完全一致，这就是变形协调条件。

由于B 段没有竖向位移，所以03EI
l F -EI 83
B 4B B B
2
1==+=y ql v v v ，即ql y
83F B =， 再由平衡条件得：8
,85F 4
A ql m ql A y =
= §10－6 梁的刚度条件
一、梁的刚度条件
工程中的受弯构件，除了应满足强度条件要求外，还应限制最大挠度或最大转角不超过某一规定数值，这就是刚度条件：
[][]⎪⎭
⎪⎬⎫≤≤θθmax max v v
许用挠度和许用转角随梁的工作要求而异。

B
y
B F
二、提高弯曲刚度的措施
l n
f∝
EI
1.增大I：采用合理的截面形式，如：采用工字型、箱型、空心圆轴。

2.减少跨度l。

3. 合理选择支座
(1)调整支座位置
(2)增加支座
4.调整荷载
(1)改变荷载位置，荷载位置尽量靠近支座
(2)将集中荷载分散成分布力
5.选择弹性模量较大的材料。