7.2 谐振电路和传输线谐振器

R + j2RQ w0
可用来分析分布元件的等效电路。
可以将有耗谐振器当成具有复谐振频率的器 件，令：R=0即可得到无耗等效串连谐振器
的输入阻抗： Zin j2L( 0 )
由有耗此谐可振得腔：Zin

j2L

0 (1
j
1 2Q
)


0L
Q

j2L(
0 )

聚四氟乙烯填充时: r 2.08, tg 0.0004
c

2
1.84 102 2.08 377 ln(0.004 / 0.001)

1 0.001

1 0.004

0.032 (Np / m)
（导体衰减明显增加）
介质衰减：
c k0
r 4)
C

1
02 L

2
n0Z0
Q 0L n R 2l 2
Q值随传输线的 衰减增加而减小
例题：7。3－1 有一銅制同轴线谐振器，内外导体的 半径分别为1mm和4mm，谐振频率为5GHz，试计算 空气填充和聚四氟乙烯填充时的Q值。
解：铜材料： 5.813107 S / m
其余切：
ctg b l
=
ctg 骣 ççç桫p2
(2n -
1) -
p
(2n - 1)D 2w0
w
÷÷÷÷
p (2n - 1)D w p (2n - 1)D w
= - tg
;
2w0
2w0
带入阻抗表示式有：2。/4短路线型谐振器(续二)
Zin »
Z
0
1+ al
ja +
l(2n－1)pD j(2n - 1)pD
R

j2L
(还原为7.1-10a) —— 为我们的实际测试提供了
一个有效方法：一般器件损耗很小；Q可用微扰
法求出：先求无耗解；再用复频率带入解出损
耗影响：
0
0
1
j 2Q

半功率带宽
如图（b）画出了阻抗
随频率变化的曲线。
当：
|
Zin
|2
R2
/
2
时，传送给电路的实功率 等于谐振时功率的一半。

j )l

Z0
ch( sh(

j )l j )l

Z0
ch(l)ch( sh(l)ch(
jl) jl)

sh(l)sh( ch( l )sh(
jl) jl)
除以ch
Z
0
1 jth( th(l)
l )tg ( l ) jtg ( l )
3。/2开路线型谐振器（续一）
骣ççç桫np
-
npD w0
w
÷÷÷÷
单变双不变 sin 符号看象限 cos
= - tg npD w ? npD w ＋，－ ＋，＋
w0
w0
－，－ －，＋
带入阻抗表示式有：
Zin »
a l+
Z0 j(n pD w / w0 )
3。/4短路线型谐振器(续二)
对比：
1
Zin = (1/ R) + j2D wC
7.2 谐振电路和 传输线谐振器
谐振电路
串联谐振电路：
Zin

R

jL
j1
C
2
谐振器功率：Pin
1 VI 2

1 2
Zin
|
I
|2

1 2
Zin
V Zin
其中：

1 2
|
I
|2

R

j L

j
1
C

电功阻耗：Pl

1 2
|
I
|2
R
磁储场能：Wm

1 4
|
I
|2
L
串联谐振电路 continue 1
设线长为l=nl0 /2（n＝1,2,...）
Zin

Z0th(

j )l

thl jtgl Z0 1 jtg l thl
若 0 Zin jZ0tgl
一般损耗很小：a l = 1 tha l a l
假定： 0 （谐振点附近）
则： l l 0l l
2
2 0.022
0.030 (Np / m)
（空气没有的衰减）
总体衰减对比：
例题：7。3－1（续一）
104.7 Q空气 2 2 0.022 2380
Q聚四氟乙烯

2

104.7 2.08 2 (0.032 0.030)
1218
显而易见，填充介质的引入会增加导体 和介质损耗器件的Q值也随之下降。 改进：镀银、采用高性能介电材料。
np D w w0
带入阻抗表示式有：
Zin
换Z0
al 1+
+ j(npDw / w0 ) j(npDw / w0 )a l
对比： Zin = R + jD wL
骣 Z0 ççç桫a l +
j
npD w0
w
÷÷÷÷
有： R Z0l
1。短路线型谐振器(续二)
L n Z0 20
从而可以得到等效电路参量：
Qe


RL RL
串联电路 并联电路
0L
= + 且有载Q为：
1 QL
11 Qe Q
传输线谐振器
本质：不同长度端接（O/S）TEM线 类型：同轴线、带状线、微带线 的谐振器 分析：须考虑有耗线的结构 结构类型：l/2 （S/O） l/4 （O）三种。
1。短路线型谐振器
分析终端有耗线：
从而可以得到等效电路参量：
L 1 4Z0

2 0
C
(2n 1)0
Q 0RC

(2n 1) 4l

2
Q值随传输线的 衰减增加而减小
3。/2开路线型谐振器
分析终端有耗线（并联谐振）
设线长为l=nl0/2（n＝1,2,...）
开路线并联谐振器。
类似有： Zin

Z0cth(
电场储能： We

1 4
|VC
|2
C

1 4
|
I
|2
1
C
总功率： Pin Pl 2 j(Wm We )
谐振频率： 0
1 平均 LC 电场储能＝磁场储能
输入阻抗： Zin

2Pin | I |2

Pl
2 j(Wm We )
| I |2 / 2
品质因素：
Q

0
Wm
Pl
一般损耗很小： a l = 1 tha l a l
假定：
0 （谐振点附近）
l=(2n-1)l0/4
则：
2。/4短路线型谐振器（续一）
l 2 l 2 ( f0 f ) (2n 1) vp
l
vp
4 f0
(2n 1) (2n 1)f
2
2 f0
We
0
2Wm Pl

0L
R

1
0RC
在谐振频率附近： 0
Zin

R
j
L
1


1 2 LC


R
j
L


2 02 2

2 02 ( 0 )( 0 ) 20
Dw
Zin ;
R + j2LD w ;
w w
/ /
2w0 2w0
»
Z0
a l + j(2n - 1)pD w / 2w0
对比：
Zin =
1 (1/ R) + j2DwC
可知l/4长度的传输线型谐振腔相当于 RLC并联谐振电路。其等效电参量如下：
有：R Z0 /l
C (2n 1) 4 0 Z 0
2。短路线型谐振器(续三)
2。/4短路线型谐振器
分析终端有耗线（图形相同）
设线长为l=(2n-1)l0/4
（n＝1,2,...）短路线并联谐振
器：同样：
Zin

Z0th(

j )l

Z0
th l jtgl 1 jtgl th l
同除jtgl
Z0
1 jth l ctgl th l jctgl
在上边频 /0 BW / 2
于是： BW 1
Q
并联谐振电路如图，输入电抗为：并联谐振电路
1
Zin


1 R

1
j L
jC


谐振器功率：
Pin

1 VT 2

1 2
Zin
|
I
|2
1 2
V
2
1 Zin

1 2
|V
|2

1 R

j
L

jC

其中电阻功率为： Pl

1 2
|V |2 R
电场及磁 场储能分 别为：
We

1 4
|V
|2
C
Wm

1 4
|
IL
|2
L

1 4
|V
|2
1
2L
复合功率为：
Pin Pl j2(Wm We ) （与串连相同）
品质因数：
Q

2Wm Pl

R
0L
0RC
由此式可见，并联谐振电路的Q值随R增加。
vp vp vp
上式中vp为相速度
1。短路线型谐振器(续一)
在谐振点： 0 , l nl0 / 2 nvp /(2 f0 ) n vp / 0
从而
l n n 0
其正切： tgbl
=
骣 tg ççç桫np
+
npD w0
w
÷÷÷÷=
tg
np D w w0
;
可知l/2长度开路传输线型谐振腔相当于 RLC并联谐振电路。其等效电参量如下：
R Z0 /l
3。短路线型谐振器(续三)
C n 20Z0
L

1
02C

2Z0
n0
Q
0RC

n 2 l

2
Q值随传输线的 衰减增加而减小
例题：7.3－2有长度为l/2，50欧开路微带线谐 振器，其片厚为h=0.159cm，填充介电常数r＝ 2.2;损耗角正切tg＝0.001,导体材料为铜，假 定边缘效应可以忽略，谐振频率为5GHz，试计 算实际线长和此谐振腔的品质因素。
在谐振点附近：设＝＋则：
( ) Zin = 骣 ççç桫R1 +
1+ jwL
-1
jwC?÷÷÷
R[1+
j
R wL
w2CL -
1 ]- 1
( ) ( ) =
R[1+
jQ
- w2
w02
1 ]- 1 =
R[1+
jQ
] [w- w0 ][w+ w0 ] - 1 w02
R
1
;
=
1+ j2QDw / w0 (1/ R) + j2DwC
Rs 0 / 2 1.84 102 空气填充时：
c

2
Rs ln b
/
a

1 a

1 b


2

1.84 102 377 ln(0.004
/
0.001)

1 0.001

1 0.004

0.022 (Np / m)
例题：7。3－1（续一）
一般损耗很小：a l = 1 tha l a l
假定：
0 （谐振点附近）
l=nl0 /2
则：
l 2 l 2 ( f0 f ) n vp
l
vp
2 f0
n nf n n
f0
0
3。/4短路线型谐振器（续一）
其正切：
tg b l
=
tg
有载Q值和外部Q值
假定谐振器无耗上式可简化为：
Zin
1
j2C( 0 )
BW 1 Q
结果与串连谐振相同。
有载Q值与外部Q值
上面讨论的Q值都没涉及外部电路(无载)
实际情况随着负载接入，整个电路的Q要下
降：
与负载耦合后的是有载Q表示为QL(总)； 所接外部负载定义的Q记为Qe ：
0L
解：铜材料： 5.813107 S / m
由微带线简化公式P115即可得到导体带宽W和有 效介电常数e 并由此可以计算出谐振器长lg/2、相移常数、导 体衰减c、介质衰减d 并由此得到品质因数Q