上海市闸北区2021届高三数学下学期二模考试试题 文

2021年闸北区高考数学(文科)二模卷
一、填空题(54分)本大题共有9题，每一个空格填对得6分，不然一概得零分.
1.设a ∈R ，i 是虚数单位.假设复数i 3i
+-a 是纯虚数，那么=a .
2.不等式x x >4的解集为______.
3.假设2是a 2log 与b 2log 的等差中项，那么b a +的最小值为______.
4.设变量x y ，知足0,
0,22
0,
x x y x y ⎧⎪
-⎨⎪--⎩
则y x z 23-=的最大值为______.
5.假设轴截面是正方形的圆柱的上、下底面圆周均位于一个球面上，且球与圆柱的体积别离 为1V 和2V ，那么21:V V 的值为 .
6.设x ∈R ，向量)2,1(),1,(-==b x a ，且b a ⊥ ，那么=+||b a ______.
7.如图，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部份所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好
形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切
去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.
设
x FB AE ==cm.假设要使包装盒的侧面
积最大，那么x
的值为______.
8.设0>a ，n n a n a ⋅=，假设{}n a 是单调递减数列，那么实数a 的取值范围为______.
9.已知集合
{}
m x y y x A +==|),(，{}mx y y x B ==|),(，假设集合B A 中有且仅有
两个元素，那么实数m 的取值范围是 .
二、选择题(18分)本大题共有3题，每题选对得6分，不然一概得零分.
10.袋中共有6个除颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色不同的概率等于 ( )
A.158
B.53
C.32
D.1511
11.函数)0(sin )(>=ωωx M x f ，在区间[]b a ,上是增函数，且M a f -=)(，M b f =)(那么函数
x M x f ωcos )(=在区间[]b a ,上 ( )
A.是增函数
B.是减函数
C.能够取得最大值M
D.能够取得最小值M -
12.现有某种细胞100个，其中有占约总数21
的细胞每小时割裂一次，即由1个细胞割裂成2个细胞，按这种规
律进展下去，通过10小时，细胞总数大约为 ( ) A.3844个 B.5766个 C.8650个 D.9998个 三、解答题(78分)本大题共有4题，请在答题纸内写出必要的步骤. 13.此题总分值18分，第1小题总分值9分，第2小题总分值9分 如右图，在正三棱柱111C B A ABC -中，=1AA 411=B A ，D 、
E 别离为1AA 与
11B A 的中点.
(1)求异面直线D C 1与BE 的夹角； (2)求四面体1BDEC 体积.
14.此题总分值18分，第1小题总分值8分，第2小题总分值
10分
设函数
x x
x f 2323)(+-=
R)(∈x . (1)求函数)(x f y =的值域和零点；
(2)请判定函数)(x f y =的奇偶性和单调性，并给予证明.
15.此题总分值20分，第1小题总分值10分，第2小题总分值10分
设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，而且对任意的*∈N n ，n a 与2的等差中项等于n S 与2的等比中
项.
(1)求证：数列
{}
n a 的通项公式为
2
4-=n a n ；
(2)已知数列{}n b 是以2为首项，公比为3的等比数列，其第n 项恰好是数列{}n a 的第r 项，求n n r 3lim
∞→的值.
16.此题总分值22分，第1小题总分值6分，第2小题总分值16分
已知反比例函数
x y 1
=
的图像C 是以x 轴与y 轴为渐近线的等轴双曲线.
(1)求双曲线C 的极点坐标与核心坐标；
(2)设直线l 过点)4,0(P ，且与双曲线C 交于A 、B 两点，与x 轴交于点Q . ① 求A 、B 中点M 的轨迹方程；
② 当QB QA PQ 21λλ==，且821-=+λλ时，求点Q 的坐标. 2021年闸北区高考数学(文科)二模卷 一、填空题
1. 1
3【解析】
由题意得i (i)(3i)3i (3i)(3i)a a ---==++-23i 3i i (31)(3)i 1010a a a a --+--+=313
i 1010a a -+=-，又复数为纯虚数，因此
31010a -=，因此
13a =. 2. (0,2)【解析】当0x <时，4x x >-⇒240x x +>，显然0x <时不成立，当0x >时，4
x
x >⇒240x x -<，
即02x <<，因此不等式的解集为(0,2). 3. 8【解析】由题得
22log log 22
a b +=⨯，因此
2log 4ab =，4
2ab =，又0,0a b >>，因此28a b
ab +=，
因此a b +的最小值为8.
4. 3【解析】如图为不等式组00220
x x y x y ⎧
⎪
-⎨⎪--⎩表示的区域，如下图，当其过点(1,0)A 时z 取得最大值max 31203
z =⨯-⨯=
.
5. 【解析】因为圆柱截面为正方形，那么圆柱高与底面直径长相等，设为2R,又上下底面圆周均在同一
球面上，那么球面半径为
R.因此12V V
=334π)32πR
6.
【解析
】
a b
⊥则
a b
⋅=
，因此x-2=0
⇒
x=2，得
a =(2,1),
b =(1,-2).a b +
=
7. 15【解析】由题意，
AB=FB=xcm,那么EF=(60-2x)cm,又阴影部份为等腰直角三角形，∴
包装盒侧面高为
2
(60-2x)cm=(30
-x)cm,由勾股定理，长
为
xcm.那么侧面积为
S 侧
x=-82
x +240x=-82
(15)x -+1800,因此当x=15cm 时，包装盒的侧面积最大,最大面
积为18002
cm .
8.(0，1
2)【解析】1111(1)(1)n n n n
n n n n a n a a n a a a n a n a ++++=⋅⇒=+⋅⇒-=+⋅-⋅，由于{}n a 是单调递减数列，因此1(1)0n n n a n a ++⋅-⋅<，
110111n n a n a a n n +>⇒<=-++1
11a n ⇒<-+，1
11,11
2n n ∴-
+.
因此a 的取值范围是
1(0,)2. 9.(1,0-)【解析】当0,m A >中集合中所有元素为正，B 过(0,0)点，最多有一个交点.当0m =只有一个交点，因此0m <，如图，可知只有y mx =斜率大于1-时有两个交点，因此(1,0)m ∈-. 二、选择题
10.D 【解析】由题意知总共的抽法有2
6C ,任取两个球，其颜色相同的取法有
2
2
23C C +，因此任取两球颜色不同的
取法有
()
22
2623C C C -+种，因此任取两球颜色不同的概率
P =
()
22
26232
6
C C C C
-+=1115.
11. C 【解析】因为函数在给定区间内是增函数，且
()sin f x M x
ω=在,a b 处别离取得最小值和最大值，那么
知0M >,且
π2π
2
a k ω=-+，
π
2π2b k ω=
+，由正弦函数与余弦函数图像的关系，知()cos f x M x =ω在此
区间内先增后减，∴
()sin f x M x
ω=在区间[a,b]上能够取得最大值M.应选C.
12. B 【解析】由题意知细胞每次割裂以后都有一半的细胞在下一次具有割裂的能力，设100n =，通过一个小时
有细胞数为3222
2n n n +⨯=，通过两个小时有细胞数为313122222n n ⨯+⨯⨯=
2
9342n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，以此规律即可得通过十小时细胞总数为10
32n
⎛⎫
⎪⎝⎭，把100n =代入关系式得细胞总数约为5766.
三、解答题
13.此题总分值18分，第1小题总分值9分，第2小题总分值9分 【解】(1)过点D 作BE DF //交AB 于点F ，连结1FC ,1C DF
∠即所求异面直线所成角(或补角)-----------2分
解得201=
DC --------------------------------------------1分
DF ， ----------------------------------------------1分
∴cos60
=
1CC =4，
∴
1
FC
分
由余弦定理，有
DF DC FC DF DC DF C ⋅-+=∠12122112cos 51-
=.--------------3分
因此，异面直线D C 1与BE 的夹角为
51
arccos
.---------1分
△BDE
的高为
1
2BDE S =⨯△，
∴BDE △的面积为6，--------------------------------------2分 ∵
111
A B C △为等边三角形，E 为
11
A B
中点，∴
1C E
∴高为
321=E C ， ----------------------------------------3分
四面体1BDEC 体积3
432631
=⨯⨯=V .------------4分
14.此题总分值18分，第1小题总分值8分，第2小题总分值10分
【解】(1)
x x x x f 236
12323)(++
-=+-=，
02>x ，∴3+2x >3⇒0<132x +<13⇒0<6
32x +<2,
1)(1<<-∴x f ，故)(x f y =的值域为()1,1-；----------------------------------------6分
令f(x)=0,即6
132x =+，解得2log 3x =，
∴()y f x =的零点为.3log 2=x ----------------------------------------2分 (2)对任意的x ∈R ，
)1(51
752323)1(1
1f f ±=±≠=+-=---， ----------------------------------------2分
故)(x f y =是非奇非偶函数. ---------------------------------------2分 因此，对任意的
12,x x ∈R
，21x x <，
)23)(23()
22(6236236)()(21122121x x x x x x x f x f ++-=
+-+=-.-------------------------------2分
因为022,023,02
31221
>->+>+x x x x ，
因此)()(21x f x f >. ----------------------------------------2分 故()y f x =在概念域R 上是减函数. ---------------------------------------2分 15.此题总分值20分，第1小题总分值10分，第2小题总分值10分
【解】(1)证法一：由题意0,222>=+n n n a S a ，得2
)2(81
+=n n a S
当1=n 时，2
11)2(81
+=a a ，得21=a ；--------------------------------------------------------2分
当2n
时，2
11)2(81
+=++n n a S .
因此，]
)2()2[(81
22111+-+=-=+++n n n n n a a S S a .
整理，得0)4)((11=--+++n n n n a a a a .---------------------------------------------------------4分
由题意知0
1≠++n n a a ，因此
4
1=-+n n a a .---------------------------------------------------2分
因此数列
{}n a 为首项为2，公差为4的等差数列，即2
4-=n a n
.-----------------------2分
证法二：用数学归纳法：
1当1=n 时，21=a 符合题意； ---------------------------------------------------------2分
2假设k n =(k∈*
N )时，结论成立，即24-=k a k .-----------------------------------------1分
由题意有k
k S a 222
=+，
将
2
4-=k a k 代入上式，得
k
S k 22=，解得
2
2k S k =. ------------------------------2分
由题意有
1
1222
++=+k k S a ，即()212
12222k a a k k +=⎪⎭⎫
⎝⎛+++.
整理，得0
16442
121=-+-++k a a k k .
由于
1>+k a ，解得：
2
)1(4241-+=+=+k k a k .(k∈*
N )----------------------------------4分
综上所述，对所有的n ∈*
N ，
2
4-=n a n .---------------------------------------------------1分
(2)由题意，
24321
-=⨯-r n ，解得21
31+=-n r ，13-=n
n T ，---------------6分
61
)13(213lim lim 1=-⨯+=∴-∞→∞→n n n n
n T r . -------------------------------------------------4分 16.此题总分值22分，第1小题总分值6分，第2小题总分值16分
【解】(1)由题意得：极点：)1,1(1--A 、)1,1(2A ， ---------------------------------2分 核心：
)2,2(1--F 、)2,2(2F 为核心.--------------------------------------4分
(2)①直线l 斜率不存在或为0时显然不知足条件；
设直线l ：4+=kx y (k ≠0)，),(11y x A ，),(22y x B ，(,)M x y ，---------------------1分
将4+=kx y 代入
x y 1
=
，得0142=-+x kx ， --------------------------------------1分
0416>+=∆k ，4->k ， --------------------------------------1分
k x x 421-
=+，k x x 1
21-=⋅， -------------------------------1分
k x x x 2221-=+=
，2221=+=y y y ， --------------------------------------1分
()214,0,2k k ⎛⎫
>-⇒-∈-∞+ ⎪
⎝⎭∞， --------------------------------------2分 因此，A 、B 中点M 的轨迹方程为2=y (
()1,0,2x ⎛⎫
∈-∞+ ⎪
⎝⎭∞).-----------------------1分 ②直线l 斜率不存在或为0时显然不知足条件； -------------------------------------1分
设直线l ：4+=kx y (k ≠0)，),(11y x A ，),(22y x B ，那么)
0,4(k Q ------------------------1分
将4+=kx y 代入
x y 1
=
，得0142=-+x kx ， --------------------------------------1分
k x x 421-
=+，k x x 1
21-=⋅. -------------------------------------1分
QB QA PQ 21λλ== ，⎪
⎭⎫
⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴222111,4,44,4y k x y k x k λλ，-----------1分
844
442121-=+-++-=
+kx kx λλ，即)4)(4(28)(2121++=++kx kx x x k ，
解得2-=k ， --------------------------------------2分
)0,2(Q ∴. --------------------------------------1分
解二：将
k y x 4-=
(k ≠0)代入x y 1
=
，
得
042
=--k y y ， ----------------------------1分 421=+y y ，k y y -=⋅21 -----------------------------------------1分 ⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴222111,4,44,4y k x y k x k λλ -----------------------------------------1分
22114y y λλ==-∴，
1
14
y -
=∴λ，
2
24y -
=λ.
又821-=+λλ，
2112
1=+y y ，即21212y y y y =+.
2)(24-=⇒-=∴k k ， --------------------------------------2分 )0,2(Q ∴. --------------------------------------1分。