山东省烟台市莱阳市2016届九年级(上)期末数学试卷(五四学制 . 解析版)

2015-2016学年山东省烟台市莱阳市九年级（上）期末数学试卷（五四
学制）
一、选择题（本题共12个小题，36个评价点，每小题都给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请讲正确答案的标号填在下列表中相应的位置上）
1．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图．左视图．俯视图）完全相同的几何体是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
2．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）
A．45°B．60°C．75°D．105°
3．已知反比例函数y=，下列结论中不正确的是（）
A．图象必经过点（1，﹣5）B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣5＜y＜0
4．二次函数y=x2﹣2x+c的部分图象如图所示．那么方程x2﹣2x+c=0的根是（）
A．﹣3，1 B．﹣3，2 C．﹣2，3 D．﹣1，3
5．一个圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，这个这个圆锥的侧面积为（）
A．（4+4）πB．（8+4）πC．12πD．8π
6．下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（）
A．中心投影
B．平行投影
C．正投影
D．当△ABC平行投影面时的平行投影
7．要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
8．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）
A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）
9．如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7.5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（）
A．3：5 B．4：5 C．3：4 D．4：3
10．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦BE∥CD，若∠BAC=30°，则的值是（）
A．B．2 C．D．
11．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为（）
A．6 B．9 C．10 D．12
12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a，b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x的值只能取2；
⑤当﹣1＜x＜5时，y＜0．其中正确的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本题共6个小题，18个评价点，只要求填写最后结果）
13．若函数y=4x与y=的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是．14．圆锥的底面半径为5，侧面积为60π，则其侧面展开图的圆心角等于．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
若A（m，y1），B（m﹣2，y2）两点都在该函数的图象上，当m=时，y1=y2．16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=．
17．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是．
18．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣x2于点B，C，则S△BOC=．
三、解答题（本题共7个小题，66个评价点，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：2cos60°﹣4sin245+3tan30°．
20．如图，AD为△ABC的外接圆O的直径，AE⊥BC于E．求证：∠BAD=∠EAC．
21．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得
∠BCD=60°，又测得AC=50米，求小岛B到公路AD的距离．
22．如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处．
（1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置．
（2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标；
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？26．如图，在平面直角坐标系中，⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．
（1）求圆的半径和点D的坐标；
（2）点A的坐标是，点B的坐标是，sin∠ACB；
（3）求经过C、A、B三点的抛物线解析式；
（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与⊙D相切．
2015-2016学年山东省烟台市莱阳市九年级（上）期末数学试
卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，36个评价点，每小题都给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请讲正确答案的标号填在下列表中相应的位置上）
1．如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图（主视图．左视图．俯视图）完全相同的几何体是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：①正方体的三视图分别为正方形，正方形，正方形，正确；
②圆柱的三视图分别为四边形、四边形、圆，错误；
③圆锥的三视图分别为三角形、三角形、圆，错误；
④球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，正确；
故选：B．
【点评】考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
2．在△ABC中，若|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的度数是（）
A．45°B．60°C．75°D．105°
【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据两个非负数的和为0，求出sinA=，tanB=1，由特殊角的三角函数值求出∠A，∠B 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠C的值．
【解答】解：∵△ABC中，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2=0，
∴sinA=，tanB=1．
∴∠A=60°，∠B=45°．
∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°．
故选C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值和三角形内角和定理．
3．已知反比例函数y=，下列结论中不正确的是（）
A．图象必经过点（1，﹣5）B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限内 D．若x＞1，则﹣5＜y＜0
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点：横纵坐标之积=k，可以判断出A的正误；根据反比例函数的性质：k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大可判断出B、C、D的正误．
【解答】解：A、反比例函数y=，所过的点的横纵坐标之积=﹣5，此结论正确，故此选项不符合题意；
B、反比例函数y=，在每一象限内y随x的增大而增大，此结论不正确，故此选项符合题意；
C、反比例函数y=，图象在第二、四象限内，此结论正确，故此选项不合题意；
D、反比例函数y=，当x＞1时图象在第四象限，y随x的增大而增大，故x＞1时﹣5＜y＜0；故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是熟练掌握反比例函数的性质：
（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4．二次函数y=x2﹣2x+c的部分图象如图所示．那么方程x2﹣2x+c=0的根是（）
A．﹣3，1 B．﹣3，2 C．﹣2，3 D．﹣1，3
【考点】二次函数的图象；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】由图象可知，抛物线过点（0，﹣3），将点（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中，求c，令y=0，求方程的根．
【解答】解：依题意，抛物线过点（0，﹣3），
将点（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c中，得c=﹣3，
∴y=x2﹣2x﹣3，
令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=﹣1，x2=3．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与二次函数解析式的关系，二次函数解析式的运用．关键是根据抛物线经过的点的坐标求解析式．
5．一个圆锥的主视图是边长为4的等边三角形，这个这个圆锥的侧面积为（）
A．（4+4）πB．（8+4）πC．12πD．8π
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，
所以这个圆锥的侧面积=×4×2π×2=8π（cm2）．
故选D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
6．下列投影一定不会改变△ABC的形状和大小的是（）
A．中心投影
B．平行投影
C．正投影
D．当△ABC平行投影面时的平行投影
【考点】平行投影；中心投影．
【分析】根据正投影、平行投影、中心投影的定义即可得答案．
【解答】解：一定不会改变△ABC的形状和大小的是当△ABC平行投影面时的平行投影，
故选：D．
【点评】此题主要考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别．
7．要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2，下列平移方法正确的是（）
A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】原抛物线顶点坐标为（﹣1，2），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．【解答】解：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（﹣1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移，寻找平移方法．
8．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）
A．点（0，3）B．点（2，3）C．点（5，1）D．点（6，1）
【考点】切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】压轴题；网格型．
【分析】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F 点的位置即可．
【解答】解：连接AC，作AC，AB的垂直平分线，交格点于点O′，则点O′就是所在圆的圆心，∴三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∵只有∠O′BD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，
∴当△BO′D≌△FBE时，
∴EF=BD=2，
F点的坐标为：（5，1），
∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及垂径定理和坐标与图形的性质，得出△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，即得出F点的坐标是解决问题的关键．
9．如图，在平地MN上用一块10m长的木板AB搭了一个斜坡，两根支柱AC=7.5m，AD=6m，其中AC⊥AB，AD⊥MN，则斜坡AB的坡度是（）
A．3：5 B．4：5 C．3：4 D．4：3
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
【分析】首先利用勾股定理得出BD的长，再利用坡度的定义得出答案．
【解答】解：由题意可得：AB=10m，AD=6m，则BD==8（m），
故斜坡AB的坡度是：AD：BD=6：8=3：4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了坡度与坡角问题，正确把握坡角的定义是解题关键．
10．如图，AB和CD是⊙O的两条直径，弦BE∥CD，若∠BAC=30°，则的值是（）
A．B．2 C．D．
【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理．
【分析】连接AE，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠A=30°，由三角形的外角的性质得到
∠BOC=60°，根据平行线的性质得到∠B=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：连接AE，
∵OA=OC，
∴∠C=∠A=30°，
∴∠BOC=60°，
∵BE∥CD，
∴∠B=∠BOC=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴=cos∠B=．故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
11．如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=（k≠0）上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D．连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为（）
A．6 B．9 C．10 D．12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，得出四边形AFOD是矩形，四边形
OEBF是矩形，得出S
矩形AFOD =3，S
矩形OEBF
=k，根据平行线分线段成比例定理证得AB=2OD，即
OE=3OD，即可求得矩形OEBF的面积，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．【解答】解：过点B作BE⊥x轴于E，延长线段BA，交y轴于F，
∵AB∥x轴，
∴AF⊥y轴，
∴四边形AFOD是矩形，四边形OEBF是矩形，
∴AF=OD，BF=OE，
∴AB=DE，
∵点A在双曲线y=上，
∴S
矩形AFOD
=3，
同理S
矩形OEBF
=k，
∵AB∥OD，
∴==，
∴AB=2OD ，
∴DE=2OD ，
∴S 矩形OEBF =3S 矩形AFOD =9，
∴k=9，
故选B ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k 的几何意义，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，作出辅助线，构建矩形是解题的关键．
12．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：
①a ，b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=﹣2时，x 的值只能取2； ⑤当﹣1＜x ＜5时，y ＜0．其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵抛物线的开口方向向上，
∴a ＞0，
∵对称轴为x=
=2＞0，
又∵a ＞0，
∴b＜0，
即a，b异号，错误；
②∵x=1和x=3关于x=2对称，
∴当x=1和x=3时，函数值相等，正确；
③∵x==2，
∴b=﹣4a，
即4a+b=0，正确；
④∵y=﹣2正好为抛物线顶点坐标的纵坐标，
∴当y=﹣2时，x的值只能取2，正确；
⑤∵对称轴为x=2，
∴x=﹣1和x=5关于x=2对称，
故当﹣1＜x＜5时，y＜0．
∴②、③、④、⑤正确．
故选C．
【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．
二、填空题（本题共6个小题，18个评价点，只要求填写最后结果）
13．若函数y=4x与y=的图象有一个交点是（，2），则另一个交点坐标是（﹣，﹣2）．【考点】反比例函数图象的对称性．
【专题】计算题．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【解答】解：正比例函数y=4x与反比例函数y=的图象均关于原点对称，则其交点也关于原点对称，
那么（，2）关于原点的对称点为：（﹣，﹣2）．
故答案为：（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握．
14．圆锥的底面半径为5，侧面积为60π，则其侧面展开图的圆心角等于150°．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl得出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，
根据题意得•2π•5•R=60π，解得R=12，
所以=2•5π，解得n=150，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15．已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
若A（m，y1），B（m﹣2，y2）两点都在该函数的图象上，当m=3时，y1=y2．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据表中的对应值可得x=1和x=3时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线x=2，由于y1=y2，所以A（m，y1），B（m﹣2，y2）是抛物线上的对称点，则2﹣（m﹣2）=m﹣2，然后解方程即可．
【解答】解：∵x=1时，y=2；x=3时，y=2，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵A（m，y1），B（m﹣2，y2）两点都在该函数的图象上，且y1=y2，
∴2﹣（m﹣2）=m﹣2，
解得m=3．
故答案为：3
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于对称轴x=﹣
成轴对称，所以抛物线上的点关于其对称轴对称，且都满足函数关系式．
16．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则cosD=．
【考点】锐角三角函数的定义；圆周角定理．
【分析】连接BC，根据同弧所对的圆周角相等得到∠D=∠A，在直角三角形ABC中，根据余弦的定义即可得到结果．
【解答】解：连接BC，
∴∠D=∠A，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∵AB=3×2=6，AC=2，
∴cosD=cosA===．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接BC构造直角三角形是解题的关键．17．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是2cm．
【考点】正多边形和圆．
【专题】计算题．
【分析】a的值等于正六边形的边心距的2倍，过正六边形的中心作边的垂线，连接OA，在直角△OAB 中，利用三角函数求得边心距OB即可求解．
【解答】解：过正六边形的中心作边的垂线，连接OA．
则∠O=30°，AB=1
∴OB==cm．
∴a=2OB=2cm．
故答案是：2cm．
【点评】正多边形的计算基本思路是转化为解直角三角形．
18．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣x2于点B，C，则S△BOC=4．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据抛物线与y轴相交，求出点A的坐标，令y=﹣2时，求出点B，C的坐标，根据三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，
∴点A（0，﹣2），
令y=﹣2，得：﹣x2=﹣2，
解得：x1=2，x2=﹣2，
当y=0时，﹣x2=0，
解得：x1=x2=0，
∴点O（0，0），
∴点B（﹣2，﹣2），点C（2，﹣2），
∴S△BOC=．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，熟记相关的公式，与x轴相交即y=0，是解决此题的关键．
三、解答题（本题共7个小题，66个评价点，要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．计算：2cos60°﹣4sin245+3tan30°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式，再分别进行计算，把所得的结果合并即可．
【解答】解：2cos60°﹣4sin245+3tan30°
=2×﹣4×（）2+3×
=1﹣2+3
=2．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
20．如图，AD为△ABC的外接圆O的直径，AE⊥BC于E．求证：∠BAD=∠EAC．
【考点】圆周角定理．
【分析】因为AD是△ABC的外接圆直径，所以∠ABD=90°，根据∠BAD+∠D=90°，∠AEC=90°，可知∠D=∠ACB，所以∠BAD=∠CAE．
【解答】证明：连接BD，
∵AD是△ABC的外接圆直径，
∴∠ABD=90°．
∴∠BAD+∠D=90°．
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC=90°．
∴∠CAE+∠ACB=90°．
∵∠D=∠ACB，
∴∠BAD=∠EAC．
【点评】此题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
21．如图，小明要测量河内小岛B到河边公路AD的距离，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，求小岛B到公路AD的距离．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】利用三角形外角的性质得出∠ABC=30°，进而得出BC=AC的长，再利用锐角三角函数关系得出BE的长，即可得出答案．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E
∵∠BAD=30°，∠BCE=60°，
∴∠ABC=30°．
∴∠ABC=∠BAD=30°．
∴BC=AC=50（米）．
在Rt△BCE中，sin∠BCD==．
解得：BE=25（米）．
答：小岛B到公路AD的距离是25米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出BC=AC是解题关键．
22．如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处．
（1）已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置．
（2）若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【考点】中心投影．
【分析】（1）连接MB并延长，与过点O作的垂直与路面的直线相交于点P，连接PD并延长交路面于点N，点P、点N即为所求；
（2）利用相似三角形对应边成比例列式求出AM、CN，然后相减即可得解．
【解答】解：（1）如图
（2）设在A处时影长AM为x米，在C处时影长CN为y米
由，解得x=5，
由，解得y=1.5，
∴x﹣y=5﹣1.5=3.5
∴变短了，变短了3.5米．
【点评】本题考查了中心投影以及相似三角形的应用，读懂题目信息，列出两个影长的表达式是解题的关键．
23．如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），反比例函数y=的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数的另一个交点M的坐标；
（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）先根据A点和B点坐标得到正方形的边长，则BC=3，于是可得到C（3，﹣2），然后利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）通过解关于反比例函数解析式与一次函数的解析式所组成的方程组可得到M点的坐标；（3）根据函数的图象结合交点即可求得．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2），
∴AB=1+2=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴Bc=3，
∴C（3，﹣2），
把C（3，﹣2）代入y=得k=3×（﹣2）=﹣6，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
把C（3，﹣2），A（0，1）代入y=ax+b得，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x+1；
（2）解方程组得或，
∴M点的坐标为（﹣2，3）；
（3）∵一次函数的值与反比例函数的图象的两个交点是M（﹣2，3），C（3，﹣2），
∴由图象可知，x的取值范围是x＜﹣2或0＜＜3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
24．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
【分析】（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=∠BOD，故可得出∠D的度数．
【解答】解：（1）BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD；
（2）∵AE=16，BE=4，
∴OB==10，
∴OE=10﹣4=6，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=CD，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2=OC2，即62+CE2=102，解得CE=8，
∴CD=2CE=16；
（3）如图2，
∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=×90°=30°．
【点评】本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．
25．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？
（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？此时的最大利润为多少元？【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．
（2）根据想获得4000元的利润，列出方程求解即可；
（3）根据批发商获得的总利润w（元）=售量×每件利润可表示出w与x之间的函数表达式，再利用二次函数的最值可得出利润最大值．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得
，
解得．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+150；
（2）根据题意得
（﹣x+150）（x﹣20）=4000，
解得x1=70，x2=100＞90（不合题意，舍去）．
故该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为70元；
（3）w与x的函数关系式为：
w=（﹣x+150）（x﹣20）
=﹣x2+170x﹣3000
=﹣（x﹣85）2+4225，
∵﹣1＜0，
∴当x=85时，w值最大，w最大值是4225．
∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w（元）最大，此时的最大利润为4225元．【点评】本题考查二次函数的应用，难度较大，解答本题的关键是根据题意列出方程，另外要注意掌握二次函数的最值的求法．
26．如图，在平面直角坐标系中，⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．
（1）求圆的半径和点D的坐标；
（2）点A的坐标是（2，0），点B的坐标是（8，0），sin∠ACB；
（3）求经过C、A、B三点的抛物线解析式；
（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与⊙D相切．
【考点】圆的综合题；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】综合题．
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，连接DC、AD，如图1，根据垂径定理可得AE=EB=3，根据切线的性质可得DC⊥y轴，易证四边形OCDE是矩形，在Rt△ADE中运用勾股定理就可解决问题；
（2）过点D作DE⊥AB于E，连接DB、AD，如图2，只需求出OA、OB就可求出点A、B的坐标，易证∠ADE=∠ACB，只需求出sin∠ADE就可解决问题；
（3）只需运用待定系数法就可解决问题；
（4）易得DF垂直平分AB，要证直线FA与⊙D相切，只需证∠DAF=90°，只需运用勾股定理的逆定理就可解决问题．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，连接DC、AD，如图1，
则AE=EB=AB=3，DC⊥y轴，
∴∠DCO=∠COE=∠DEO=90°，
∴四边形OCDE是矩形，
∴OE=CD，DE=OC=4．
在Rt△ADE中，AD===5，
∴OE=CD=AD=5，
∴圆的半径为5，点D的坐标为（5，4）；
（2）过点D作DE⊥AB于E，连接DB、AD，如图2，
∵OE=5，AE=EB=3，
∴OA=5﹣3=2，OB=5+3=8．
∵DA=DB，
∴∠ADE=∠BDE=∠ADB=∠ACB，
∴sin∠ACB=sin∠ADE==．
故答案分别为：（2，0），（8，0），；
（3）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（2，0），B（8，0），C（0，4）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴，
解得．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+4；
（4）连接DA，DF，如图3，
∵D、F都在线段AB的垂直平分线上，
∴DF垂直平分AB．
由y=x2﹣x+4=（x﹣5）2﹣可得F（5，﹣），
∵DF=4+=，AF==，
∴DA2+AF2=52+（）2==（）2=DF2，
∴∠DAF=90°，
∴FA与⊙D相切．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、垂径定理、切线的性质、勾股定理及其逆定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角函数等知识，将求sin∠ACB转化为求sin∠ADE 是解决第（2）小题的关键，运用勾股定理的逆定理是解决第（4）小题的关键．。