2023-2024学年新疆维吾尔自治区高一下学期5月月考数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年自治区高一下册5月月考数学模拟试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数()122i i z ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭
，则z =（）A.3i - B.3i
+ C.34i
-+ D.34i
+【正确答案】D
【分析】根据复数的乘法运算即可求解.
【详解】()()()122i 2i 2i 34i i z ⎛⎫=-+=++=+ ⎪⎝
⎭
．故选：D ．
对于B ，在长方体ABCD -显然满足//,m ββα⊥，而对于C ，在长方体ABCD -显然满足,ααβ⊥⊥m ，而,m m αβ⊥⊥A ．30°B ．45°
C ．150°
D ．30°或150°
【正确答案】A
因为a =12b =，60B =︒，
所以由正弦定理可得sin 12sin 122
a B A
b ===，所以30A =︒或150°．因为b a >，所以B A >，所以30A =︒．故选：A
4．若OAB 的直观图如图所示，π
2
B A O '''∠=
，2B A ''=，则顶点B 到x 轴的距离是（）
A ．2
B ．4
C D ．
【正确答案】D
如图（1）所示，在OAB 的直观图中，过点B '作//B D y '''轴交x '于点D ¢，
又因为π,22B B A O A ''''∠'==
且4
B D A π
'''∠=，可得B D ''=作出直角坐标系中，作出OAB 的图形，如图（2）所示，
根据斜二测画法的规则，可得BD x ⊥轴，
即点B 到x 的距离即为2BD B D ''==.故选：D.
5．已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP BP ⋅
的最小值为（
）
A ．2
B ．1
C ．2-
D ．1
-记BP x = ，[0,4]x ∈,因为AP BP BA =- ，
所以222222(1)11AP BP BP BA BP BP BP x x x ⋅=-⋅=-=-=--≥-
.故选：D
7．如图，在ABC 中，BAC ∠3AB =
，则AP 的值为（A ．13B ．
132
【分析】由,,C P D 三点共线，结合向量的线性运算将m
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1船八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形
ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（）
A.22
OA OD ⋅=-
B.2OB OH OE
+=-
C.→
→
→
→
∙=∙BO BC HO AH D.AH 在AB
向量上的投影向量的模为22
【正确答案】AB
【分析】首先明确正八边形的特征，然后数量积的定义进行计算，可判断A,C;根据向量的加发运算可判断B;根据向量投影的概念可判断D.
【详解】图2中的正八边形ABCDEFGH 中，每个边所对的角皆为π
4
，其中||1OA =，对于3π2
A :11cos 42
OA OD ⋅=⨯⨯=-
，故正确；对于πB :,222
BOH OB OH OA OE ∠=
+==-
，故正确．对于C :||||AH BC = ，||||HO BO =
，,AH HO uuu r uuu r 的夹角为πAHO -∠,,BC BO uu u r uu u r 的夹角为
OBC AHO ∠=∠,故AH HO BC BO ⋅=-⋅uuu r uuu r uu u r uu u r
，故错误．
对于D :AH 在AB
向量上的投影向量的模为3π22cos |422
AH AH =≠ ，故错误．故选：AB ．
10．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（）
A ．234i i i i 0+++=
B ．3i 1i
+>+C ．若()2
12i z =+，则z 的虚部为4i
D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线【正确答案】AD 【分析】
根据i 的幂指数运算的周期性可知A 正确；由虚数无法比较大小知B 错误；根据复数乘方运算和虚部定义可知C 错误；设i z x y =+，化简已知等式可得所求轨迹为0x =，知D 正确.
【详解】
对于A ，234i i i i i 110i +++=--+=，A 正确；对于B ，虚数无法比较大小，B 错误；
对于C ，()2
12i 14i 434i z =+=+-=-+，则z 的虚部为4，C 错误；
对于D ，设i z x y =+，则()()1i 1i x y x y -+=++，()()2
2
2211x y x y ∴-+=++，
整理可得：0x =，即z 在复平面内对应的点为()0,y ，轨迹为直线0x =，D 正确.故选：AD.
由余弦定理得：29a =因此1πsin 23ABC S bc == 故选：ACD
A．三棱锥-P ABC的体积为42
B．直线
3
D．三棱锥C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为1
3 12．BD
13.已知向量()1,2a =- ，(),2b m = ，且a b ⊥ ，则ma b += ______．
【正确答案】10
【分析】根据a b ⊥ 求得m 值，再计算ma b + .
【详解】因为向量()1,2a =- ，(),2b m = ，且a b ⊥ ，所以1220m ⋅-⨯=，解得4m =．
所以()4,2b = ．故()()()4,84,28,6ma b +=-+=-
，
所以10ma b +== ．
故10
如图所示，设球的球心为O 则圆台的高2OO OQ O '=-测圆台的母线长为(235+据此可得圆台的侧面积为π故答案为.910π
15．3225
+【分析】F 为AD 中点，则截面图形为梯形【详解】F 为AD 中点，连接正方体中，11//A B DC ，11A B 有11//A D B C ，11A D B C =，
F 为AD 中点，E 是1AA 的中点，则则平面1B CE 截正方体ABCD
16．在锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ,若2cos b a a C -=，则a
c 的取值范围是______．
【正确答案】2⎝⎭
由题设，sin sin 2sin
cos B A A
C -=，而()B A C π=-+，
所以sin cos sin sin cos sin()A A C A C C
A =-=-
，又0,2
A C π
<<
，
所以2A C =，且△ABC 为锐角三角形，则022
032
A
A ππ
π⎧
<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪
⎩，可得6
4A ππ<<
，
而
sin 1,sin 2cos 2a A c C A
==∈.
故(,32
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题10分）如图所示，从底面半径为2a
的圆柱中，挖去一个底面半径为a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积1
S 与挖去圆锥后的几何体的表面积2S 之比.
【详解】由题意，知
221222(2)8)S a a a πππ=⋅+⋅=+，
挖去圆锥的母线长为2a
=2221(2)9)S S a a a a πππ=+⋅-=+.
∴12:8):9)S S =++.
本题考查圆柱及组合体的表面积，属于基础题18.（本小题12分）已知3||1||||=
+==→
→
→
→
b a b a ，．
（1）求a b -
；
（2）求证：()()
a b a b +⊥-
．
【小问1详解】
由a b += ()223a b a b +=+= ，
所以2223a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅= ，所以1a b -== ．
【小问2详解】
因为()()
22110a b a b a b +⋅-=-=-= ，所以()()a b a b +⊥- ．
19.（本小题12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC AA ===，90ABC ∠=︒，D ，E 分别是棱11A C ，AC 的中点．
（1）判断多面体11ABEDB C 是否为棱柱并说明理由；
（2）求多面体11ABEDB C 的体积；
（3）求证：平面1BC E ∥平面AB 1D ．
【小问1详解】
多面体11ABEDB C 不是棱柱．理由如下：
因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体11ABEDB C 只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.
【小问2详解】
易知三棱柱111ABC A B C -的体积11122V AB BC AA =
⨯⨯⨯=，三棱锥11A A B D -的体积11111132212
V AB BC AA =⨯⨯⨯⨯⨯=，易知三棱锥1C BCE -的体积等于三棱锥11A A B D -的体积，故多面体11ABEDB C 的体积21111222123V V V =-=
-⨯=．【小问3详解】
因为D ，E 分别是11A C ，AC 的中点，所以11DE AA BB ∥∥，
所以四边形1BB DE 为平行四边形
所以1BE B D ∥．又BE ⊄平面1AB D ，1B D ⊂平面1AB D ，所以//BE 平面1AB D ．易知1C D AE ∥，得四边形1ADC E 为平行四边形．
所以1C E AD ∥，又1C E ⊄平面1AB D ，AD ⊂平面1AB D ，所以1C E ∥平面1AB D ．而1BE C E E ⋂=，BE ，1C E ⊂平面1BC E ，
所以平面1BC E ∥平面1AB D ．
20.（本小题12分）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
2cos cos cos a b c A B B +=．（1）求角A ；
（2）若3a =
，sin 3C
=，求ABC 的周长．【小问1详解】因为2cos cos cos a b c A B B
+=，由正弦定理可得
sin sin 2sin cos cos cos A B C A B B +=，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，
即()sin 2sin cos A B C A +=，
因为()πC A B =-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，
因为()0,πC ∈，则sin 0C >，故1cos 2
A =
．因为()0,πA ∈，所以π3A =
．【小问2详解】根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以33sin 32sin 32a C c A
⨯===．因为a c >，所以π0,2C ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以6cos 3
C ==，所以(
)sin sin sin cos cos sin 6
B A
C A C A C =+=+=，
3sin 1sin 3
2
a B
b A ===
，6a b c ∴++=所以ABC
6+．
21．
（本小题12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ＝BC ＝1，二面角P －CD －A
为直二面角．
（1）若E 为线段PC 的中点，求证：DE ⊥PB ；
（2）若PC
PC 与平面PAB 所成角的正弦值．
（1）证明：因为PD ＝DC ＝1，且E 为PC 的中点，所以DE ⊥PC ，
又因为二面角P －CD －A 为直二面角，
所以平面PCD ⊥平面ABCD ，
因为BC ⊥CD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，
所以BC ⊥平面PCD ，
因为DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE .
因为BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，BC ∩PC ＝C ，
所以DE ⊥平面PBC ，
又因为PB ⊂平面PBC ，所以DE ⊥PB .
（2）在PCD
中，PC =1PD DC ==，由余弦定理可得2221131cos 22112
PD DC PC PDC PD DC +-+-∠===-⋅⨯⨯，因为0180PDC ︒<∠<︒所以∠PDC ＝120°
，
过点P 作PH ⊥CD 的延长线于H ，如图，
因为二面角P －CD －A 为直二面角，平面PDC 平面ABCD CD =，PH ⊂平面PDC ，所以PH ⊥平面ABCD ，
在Rt PHD
中，sin 1PH PD PDH =∠=过H 点作HG ∥DA ，且HG 与BA 的延长线交于G 点．因为DA AB ⊥所以HG AB ⊥，
因为PH ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PH AB ⊥，
因为PH HG H = ，,PH HG ⊂平面PHG ，
所以AB ⊥平面PHG ，
因为PG ⊂平面PHG ，所以PG AB
⊥
在Rt PHG △中，PG =，
所以111332P ABC ABC V S PH -=⋅=⨯= 设点C 到平面PAB 的距离为h ，则
111
332P ABC C PAB ABP V V h --==⋅=⨯⨯= h =，
设PC 与平面PAB 所成的角为θ，sin h PC θ=
=。