北师大版八年级上册数学《认识无理数》实数教学说课复习课件巩固
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小明买了一盒饮料，盒子的尺寸为5×4×3(单位：cm)，现在小明要将这盒饮料分别倒在两个同样大小的正方体容器内，问这两个正方体容器的棱长是有理数还是无理数？请说说你的理由．若是无理数，请你利用计算器探索这个正方体的棱长至少为多少？(精确到十分位)
解：设此正方体的棱长为x cm，则2x3=5×4×3，x3=30. 因为33=27,43=64，3＜x＜4，所以x不是整数． 因为三个相同的最简分数的乘积仍然是分数，不会等于30， 所以x也不是分数， 即x不是有理数，而是无理数．因为3.13＜30＜3.23， 所以3.1＜x＜3.2，所以这个正方体的棱长至少为3.1 cm．
北师大版 数学 八年级 上册
2.1 认识无理数第2课时
课件
思考导入
1.有理数如何分类？
有理数
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数
分数(如-，，… ):如何化成小数？可不可能都化成有限小数或无限循环小数?
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
含有圆周率型：例如：π，0.7π
构造型：例如：0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个3）
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14 ，- ，0. 0.101 000 100 000 1……（相邻两个1 之间0的个数逐次加2）.解：有理数有-， 0. 无理数有0.101 000 100 000 1…
无理数的概念
提示 有理数与无理数的区别:①有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数;②所有的有理数都能化成分数(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数不能化成分数.注意:形似分数,但它不是分数,是无理数.
概念
无限不循环小数
分类
正无理数和负无理数
三种常见类型
根号型：含有根号，开方开不尽，例如：，（以后学习）
思考 a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?
用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？
如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数. 事实上，b=2.236 067 978…它是一个无限不循环小数. 同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.259 921 05…,它也是一个无限不循环小数.
a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1， ……
(5)一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.你的结果呢？
边长a
面积S
1＜a＜2
1＜S＜4
1.4＜a＜1.5
1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42
1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415
1.999396＜S＜2.002225
D
面积为3的正方形的边长为a．(1)a的整数部分是几？(2)估计a的值．(结果精确到百分位)分析：利用“夹逼法”进行估计即可．
无理数的估计
解：(1)因为a2=3,1＜3＜4， 所以1＜a＜2， 所以a的整数部分为1． (2)当1.7＜a＜1.8时，
无理数的估计
2.89＜a2＜3.24，所以a的十分位是7．当1.73＜a＜1.74时，2.9929＜a2＜3.0276，所以a的百分位是3．所以a≈1.73 ．
____________
____________
____________
____________
____________
整数
分数
正整数
负整数
零
正分数
负分数
自主学习
活动2：进一步感受无理数产生的实际背景
1.如下图，直角三角形的两直角边分别为1，2，完成下列问题：
(1)以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？
1. 判断题
×
√
√
×
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形； B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
C
3 .下列各数，是大于-4而小于-3的无理数的是（ ）A.-2.56879 B.-3.121221222…C.-2. D.2.383883888…4.请你写出一个大于2且小于4的无理数: .
3个正方形的面积：
1
2
4
＜
＜
对应的边长：
1
a
2
＜
＜
(2) a可能是整数吗？ a可能是分数吗？
a2=2.
a既不可能是整数，也不可能是分数.
(3) 判断一下面积为2的正方形的边长的大致范围.
当1.4＜a＜1.5时， 1.96＜S＜2.25.
(4)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是呢？ ……
再次精确计算得，当1.41＜a＜1.42时， 1.9881＜S＜2.0164.
当堂检测
1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，，- π，-，18.
解：有理数有： 0.4583，， -，18 ；无理数有： - π.
2.判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数. ( )(2)无限小数都是无理数 ( )(3)无理数都是无限小数 ( )(4)两个无理数的和不一定是无理数 ( )
有理数：有限小数或无限 循环小数
无理数：无限不循环小数
数
整数
分数
第二章 实数2.1 认识无理数
课件
学习目标
探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；
会判断一个数是有理数还是无理数.
构建动场
活动1：有理数的分类（按定义）
有理数
____________
____________
=
=-
=
有限小数
有限小数
无限循环小数
无限循环小数
无限循环小数
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
无理数的定义像上面研究过的b2=5，a2=2中的a，b是无限不循环小数.无限不循环小数叫做无理数.
除上面的a，b外，圆周率π＝3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885 …(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.
活动5：例题讲解
【例】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14, -, , 0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
解：有理数有： 3.14, -, ；无理数有：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
综合建模
1.有理数与无理数的主要区别:(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.2.无理数的几种表现形式:(1)一般的无限不循环小数，如1.41421356…(2)看似循环而实质不循环的小数，如例题中最后一个数.(3)具有特定意义的数，如π .(4)开方开不尽的数进行开方后所得的结果(以后才能学到).
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．
2.无理数概念的建立及估算，会判断一个数是有理数还是无理数.
讨论一 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢? (1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.
无理数的概念
(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索. (3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?
1.4142＜a＜1.4143
1.99996146＜S＜2.00024449
还可以继续下去吗？ a可能是有限小数吗？
事实上， a=1.41421356 …，a是一个无限不循环小数.
活动4：请大家把下列各数表示成小数,并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.
3 -
=3.0
=0.8
所求正方形的面积=直角三角形的斜边的平方=12+22=5.
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
(3) b是整数吗？是分数吗？是有理数吗？
b2=5.
b既不是整数，也不是分数，所以b不是有理数.
思考：像b这样的数，能确定它的大小吗？
合作探究
活动3：探索a的大小
1
面积为2
1
2
2
a
a
(1)判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说明理由.
边长a
面积S
1<a<2
1<S<4
1.4<a<1.5
1.96<S<2.25
1.41<a<1.42
1.9881<S<2.0164
1.414<a<1.415
1.999396<S<2.002225
1.4142<a<1.4143
1.99996164<S<2.00024449
【归纳总结】a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
C
2. 下列整数中，与最接近的整数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
C
B
(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限小数. （ ）
×
×
√
√
无限小数
无限不循环小数
无限循环小数
无理数
有理数
互为相反数的两个无理数的和为0，0是有理数.
3.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，-，，3.14159，-5.232332333…
解：有理数有：Байду номын сангаас0.351，-，，3.14159 ；无理数有： -5.232332333…
3.14
（因为3.14是有限小数）
（因为0. 是无限循环小数）
（因为它是无限不循环小数）
例
1.在 ,0,3.14,-0. ,6.751 755 175 551 7…(7和1之间5的个数逐次加1),- 中,无理数有 个.
2
2.下列各数是无理数的是 ( )A．1 B．-0.6C．-6 D．π
B
π
5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有理数的正方形有_____个，边长是无理数的正方形有_____个．
3
6
CD,EF
解析:设小正方形的边长为x,则x2=2.因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数.因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数.因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数.因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
1.若边长为a cm的正方形的面积与长、宽分别为8 cm、4 cm的长方形的面积相等，则a的取值在 ( )A．2与3之间 B．3与4之间C．4与5之间 D．5与6之间
D
2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（ ） A．小于3 B. 等于3C．在3与4之间 D.大于4
想一想
讨论二 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，， ，-，
解：3=3.0，
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
=0.8，
=0.，
-=0.1，
=0.，
像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数称为无理数. (圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗?
解：设此正方体的棱长为x cm，则2x3=5×4×3，x3=30. 因为33=27,43=64，3＜x＜4，所以x不是整数． 因为三个相同的最简分数的乘积仍然是分数，不会等于30， 所以x也不是分数， 即x不是有理数，而是无理数．因为3.13＜30＜3.23， 所以3.1＜x＜3.2，所以这个正方体的棱长至少为3.1 cm．
北师大版 数学 八年级 上册
2.1 认识无理数第2课时
课件
思考导入
1.有理数如何分类？
有理数
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数
分数(如-，，… ):如何化成小数？可不可能都化成有限小数或无限循环小数?
2.上节课了解到一些数,如a2=2，b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？
含有圆周率型：例如：π，0.7π
构造型：例如：0.3030030003…（相邻两个3之间依次多一个3）
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14 ，- ，0. 0.101 000 100 000 1……（相邻两个1 之间0的个数逐次加2）.解：有理数有-， 0. 无理数有0.101 000 100 000 1…
无理数的概念
提示 有理数与无理数的区别:①有理数是有限小数或无限循环小数,而无理数是无限不循环小数;②所有的有理数都能化成分数(整数可以看成是分母为1的分数),而无理数不能化成分数.注意:形似分数,但它不是分数,是无理数.
概念
无限不循环小数
分类
正无理数和负无理数
三种常见类型
根号型：含有根号，开方开不尽，例如：，（以后学习）
思考 a的范围在哪两个数之间?左面的边长中,前面的数值和后面的数值相比,哪个更接近正方形的实际边长?
用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？
如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数. 事实上，b=2.236 067 978…它是一个无限不循环小数. 同样,对于体积为2的正方体,借用计算器,可以得到它的棱长c=1.259 921 05…,它也是一个无限不循环小数.
a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1， ……
(5)一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.你的结果呢？
边长a
面积S
1＜a＜2
1＜S＜4
1.4＜a＜1.5
1.96＜S＜2.25
1.41＜a＜1.42
1.9881＜S＜2.0164
1.414＜a＜1.415
1.999396＜S＜2.002225
D
面积为3的正方形的边长为a．(1)a的整数部分是几？(2)估计a的值．(结果精确到百分位)分析：利用“夹逼法”进行估计即可．
无理数的估计
解：(1)因为a2=3,1＜3＜4， 所以1＜a＜2， 所以a的整数部分为1． (2)当1.7＜a＜1.8时，
无理数的估计
2.89＜a2＜3.24，所以a的十分位是7．当1.73＜a＜1.74时，2.9929＜a2＜3.0276，所以a的百分位是3．所以a≈1.73 ．
____________
____________
____________
____________
____________
整数
分数
正整数
负整数
零
正分数
负分数
自主学习
活动2：进一步感受无理数产生的实际背景
1.如下图，直角三角形的两直角边分别为1，2，完成下列问题：
(1)以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？
1. 判断题
×
√
√
×
2.以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为25的正方形； B.面积为的正方形；C.面积为8的正方形； D.面积为1.44的正方形.
C
3 .下列各数，是大于-4而小于-3的无理数的是（ ）A.-2.56879 B.-3.121221222…C.-2. D.2.383883888…4.请你写出一个大于2且小于4的无理数: .
3个正方形的面积：
1
2
4
＜
＜
对应的边长：
1
a
2
＜
＜
(2) a可能是整数吗？ a可能是分数吗？
a2=2.
a既不可能是整数，也不可能是分数.
(3) 判断一下面积为2的正方形的边长的大致范围.
当1.4＜a＜1.5时， 1.96＜S＜2.25.
(4)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位是呢？ ……
再次精确计算得，当1.41＜a＜1.42时， 1.9881＜S＜2.0164.
当堂检测
1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.4583，，- π，-，18.
解：有理数有： 0.4583，， -，18 ；无理数有： - π.
2.判断题(1)有理数与无理数的差都是有理数. ( )(2)无限小数都是无理数 ( )(3)无理数都是无限小数 ( )(4)两个无理数的和不一定是无理数 ( )
有理数：有限小数或无限 循环小数
无理数：无限不循环小数
数
整数
分数
第二章 实数2.1 认识无理数
课件
学习目标
探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想；
会判断一个数是有理数还是无理数.
构建动场
活动1：有理数的分类（按定义）
有理数
____________
____________
=
=-
=
有限小数
有限小数
无限循环小数
无限循环小数
无限循环小数
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
无理数的定义像上面研究过的b2=5，a2=2中的a，b是无限不循环小数.无限不循环小数叫做无理数.
除上面的a，b外，圆周率π＝3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885 …(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.
活动5：例题讲解
【例】下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3.14, -, , 0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)
解：有理数有： 3.14, -, ；无理数有：0.1010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1).
综合建模
1.有理数与无理数的主要区别:(1)无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.2.无理数的几种表现形式:(1)一般的无限不循环小数，如1.41421356…(2)看似循环而实质不循环的小数，如例题中最后一个数.(3)具有特定意义的数，如π .(4)开方开不尽的数进行开方后所得的结果(以后才能学到).
1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．
2.无理数概念的建立及估算，会判断一个数是有理数还是无理数.
讨论一 面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢? (1)如图所示,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系?说说你的理由.
无理数的概念
(2)边长a的整数部分是几?十分位是几?百分位呢?千分位呢?……借助计算器进行探索. (3)小明将他的探索过程整理如下,你的结果呢?
1.4142＜a＜1.4143
1.99996146＜S＜2.00024449
还可以继续下去吗？ a可能是有限小数吗？
事实上， a=1.41421356 …，a是一个无限不循环小数.
活动4：请大家把下列各数表示成小数,并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.
3 -
=3.0
=0.8
所求正方形的面积=直角三角形的斜边的平方=12+22=5.
(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？
(3) b是整数吗？是分数吗？是有理数吗？
b2=5.
b既不是整数，也不是分数，所以b不是有理数.
思考：像b这样的数，能确定它的大小吗？
合作探究
活动3：探索a的大小
1
面积为2
1
2
2
a
a
(1)判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说明理由.
边长a
面积S
1<a<2
1<S<4
1.4<a<1.5
1.96<S<2.25
1.41<a<1.42
1.9881<S<2.0164
1.414<a<1.415
1.999396<S<2.002225
1.4142<a<1.4143
1.99996164<S<2.00024449
【归纳总结】a 是介于1和2之间的一个数,既不是整数,也不是分数,则a一定不是有理数.如果写成小数形式,它是有限小数吗?事实上,a=1.41421356…,它是一个无限不循环小数.
C
2. 下列整数中，与最接近的整数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
C
B
(1)有限小数是有理数; （ ）(2)无限小数都是无理数; （ ）(3)无理数都是无限小数; （ ）(4)有理数是有限小数. （ ）
×
×
√
√
无限小数
无限不循环小数
无限循环小数
无理数
有理数
互为相反数的两个无理数的和为0，0是有理数.
3.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？0.351，-，，3.14159，-5.232332333…
解：有理数有：Байду номын сангаас0.351，-，，3.14159 ；无理数有： -5.232332333…
3.14
（因为3.14是有限小数）
（因为0. 是无限循环小数）
（因为它是无限不循环小数）
例
1.在 ,0,3.14,-0. ,6.751 755 175 551 7…(7和1之间5的个数逐次加1),- 中,无理数有 个.
2
2.下列各数是无理数的是 ( )A．1 B．-0.6C．-6 D．π
B
π
5.如图是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形．边长是有理数的正方形有_____个，边长是无理数的正方形有_____个．
3
6
CD,EF
解析:设小正方形的边长为x,则x2=2.因为AB2=x2+(3x)2=10x2=20,所以AB的长不是有理数.因为CD2=(2x)2+(2x)2=8x2=16,CD=4,即CD的长是有理数.因为EF2=x2+x2=2x2=4,EF=2,即EF的长是有理数.因为GH2=x2+(2x)2=5x2=10,所以GH的长不是有理数.
1.若边长为a cm的正方形的面积与长、宽分别为8 cm、4 cm的长方形的面积相等，则a的取值在 ( )A．2与3之间 B．3与4之间C．4与5之间 D．5与6之间
D
2.一块面积为10的正方形草坪，其边长（ ） A．小于3 B. 等于3C．在3与4之间 D.大于4
想一想
讨论二 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ 3，， ，-，
解：3=3.0，
分数化成小数,最终此小数的形式有哪几种情况?
分数只能化成有限小数或无限循环小数，即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
=0.8，
=0.，
-=0.1，
=0.，
像0.585885888588885…，1.41421356…，-2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数. 我们把无限不循环小数称为无理数. (圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数). 你能找到其他的无理数吗?