京津沪渝4市中考数学试题分类解析汇编（8专题）专题3：函数问题

京津沪渝4市2013年中考数学试题分类解析汇编（8专题）
专题3：函数问题
江苏泰州锦元数学工作室编辑
一、选择题
1.（2013年北京市4分）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是【】
A. B. C. D.
【答案】A。

【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，等边三角形的判定和性质，特殊元素法和数形结合思想的应用。

【分析】如图，∵根据三角形面积公式，当一边OA固定时，它边上的高最大时，
三角形面积最大，
∴当PO⊥AO，即PO为三角形OA边上的高时，△APO的面积y最大。

此时，由AB=2，根据勾股定理，得弦AP=x=2。

∴当x=2时，△APO的面积y最大，最大面积为y=1
2。

从而可排除B，D选项。

又∵当AP=x=1时，△APO为等边三角形，它的面积y＝
31
>
44
，
∴此时，点（1，
3
4
）应在y=
1
2
的一半上方，从而可排除C选项。

故选A。

2. （2013年天津市3分）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：
①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；
②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x 分，桶内的水量为y 升；
③矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，动点P 从点A 出发，依次沿对角线AC 、边CD 、边DA 运动至点A 停止，设点P 的运动路程为x ，当点P 与点A 不重合时，y=S △ABP ；当点P 与点A 重合时，y=0． 其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为【 】
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】C 。

【考点】函数的图象，单动点问题。

【分析】①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合。

②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，
这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象。

③如图所示：
当点P 在AC 上运动时，S △ABP 的面积一直增加，当点P 运动到点C 时，
S △ABP =6，这段时间为5；
当点P 在CD 上运动时，S △ABP 不变，这段时间为4； 当点P 在DA 上运动时，S △ABP 减小，这段时间为3。

符合函数图象。

综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的为②③，个数是2。

故选C 。

3. （2013年上海市4分）如果将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是【 】 （A ）()2
y x 12=-+ （B ）()2
y x 12=++ （C ）2y x 1=+ （D ）2y x 3=+ 【答案】C 。

【考点】平移的性质。

【分析】将抛物线2y x 2=+向下平移1个单位，只要考虑将其顶点（0，2）向下平移1个单位，得到新抛物线的顶点（0，1），从而得到新抛物线的表达式2y x 1=+。

故选C 。

4. （2013年重庆市A4分）万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地。

假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等，）又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用时间为x （小时），轮船距万州的距离为y （千米），则下列各图中，能反映y 与x 之间函数关系的图象大致是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 。

【考点】函数图象的分析（行程问题）。

【分析】轮船先从甲地顺水航行到乙地，速度大于静水速度，图象陡一些，停留一段时间，路程没有变化，图象平行于横轴，又从乙地逆水航行返回到甲地，路程逐步增加，速度小于静水速度，图象平缓一些。

依题意，函数图象分为三段，陡－平－平缓，且路程逐渐增大。

故选D 。

5. （2013年重庆市A4分）一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k
y k 0x
=≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。

则下列结论中，正确的是【 】
A ．b 2a k =+
B ．a b k =+
C ．a b 0>>
D ．a k 0>> 【答案】D 。

【考点】一次函数、二次函数和反比例函数的图象和性质，数形结合思想的应用。

【分析】将A （－2，0）代入y ax b =+，得b 2a =。

∴二次函数()2
22y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-。

∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a ）。

当x=－1时，反比例函数k k
y k x 1
=
==--。

由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方， ∴a k 0<<--，即a k 0>>。

故选D 。

（实际上应用排它法，由b 2a 0>=，k 0≠也可得ABC 三选项错误）
6. （2013年重庆市B4分）已知正比例函数()y kx k 0=≠的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为【 】
A ．y 2x =
B ．y 2x =-
C ．1y x 2=
D ．1
y x 2
=- 【答案】B 。

【考点】直线上点的坐标与方程的关系
【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入y kx =，得：k 2=-， ∴正比例函数的解析式为y 2x =-。

故选B 。

7. （2013年重庆市B4分）2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行，童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利回到家。

其中x 表示童童从家出发后所用的时间，y 表示童童离家的距离。

下面能反映y 与x 函数关系的大致图象是【 】
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 。

【考点】函数图象的分析（行程问题）。

【分析】童童先匀速步行至轻轨车站，图象平缓向上； 等了一会儿，图象平行于横轴；
搭乘轻轨至奥体中心，图象比步行陡一些向上； 观看演出，图象平行于横轴；
演出结束搭乘邻居刘叔叔的车回到家，图象向下。

综上所述，函数图象分为五段：平缓向上－平－陡些向上－平－向下。

故选A 。

8. （2013年重庆市B4分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为【 】
A ．51
B ．70
C ．76
D ．81 【答案】C 。

【考点】探索规律题（图形的变化类），待定系数法的应用。

【分析】由图知，图中棋子的颗数与次序之间形成数对（1，1），（2，6），（3，16），…。

设棋子的颗数与次序之间的关系为2y=ax +bx+c ，
将（1，1），（2，6），（3，16）代入，得a+b+c=14a+2b+c=69a+3b+c=16⎧⎪⎨⎪⎩，解得a=1
b=1c=1⎧⎪
⎨⎪-⎩。

∴平行四边形的个数与次序之间的关系为255y=x x+122
-。

∴当x= 6时，y=76。

∴第⑥个图形中棋子的颗数是76。

故选C 。

二、填空题
1. （2013年北京市4分）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 ▲ . 【答案】y ＝x 2＋1。

【考点】开放型，二次函数的性质，
【分析】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y ＝x 2＋1，y ＝x 2＋2x ＋1等。

2. （2013年天津市3分）若一次函数y=kx+1（k 为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】k ＞0。

【考点】一次函数图象与系数的关系。

【分析】一次函数y=kx+b 的图象有四种情况：
①当k 0>，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、三象限； ②当k 0>，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第一、三、四象限； ③当k 0<，b 0>时，函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限； ④当k 0<，b 0<时，函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限。

由题意得，y=kx+1（k 为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，故k 0>。

3. （2013年上海市4分）已知函数()23
f x x 1
=+，那么 ()f 2= ▲ _．
【答案】1。

【考点】求函数值。

【分析】将x 2=代入计算即可：()()
2
3
33
f
21213
2
1
=
===++。

4. （2013年上海市4分）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量 y （升）与行驶里程x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是 ▲ 升．
【答案】20。

【考点】由图象列函数关系式，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设函数关系式为：y kx b =+，
∵（0，35），（160，25）在函数图象上，
∴1b 35k 16160k b 25b 35
⎧
==-
⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎩。

∴函数关系式为：1
y x 3516=-
+。

∴当x 240=时，1
y 240352016
=-⨯+=，即到达乙地时邮箱剩余油量是20升。

5. （2013年重庆市A4分）从3，0，－1，－2，－3这五个数中。

随机抽取一个数，作为函数()
2y 5m x =-和关于x 的方程()2m 1x mx 10+++=中m 的值，恰好使函数的图象经过第一、三象限，且方程有实数根的概率是 ▲ 。

【答案】
25。

【考点】一次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式，概率公式，分类思想的应用。

【分析】若函数()
2y 5m x =-的图象经过第一、三象限，则25m 0>-，满足条件的m=0，－1，－2。

若方程()2m 1x mx 10+++=有实数根，有两种情况： m=－1，方程是一元一次方程，有实数根，
m≠－1，方程是一元二次方程，要有实数根，必须()2m 4m 10∆=-+≥。

m=0，40<∆=-，不满足；m=－2，4480>∆=+=，满足。

∴满足条件的m=－1，－2，有2个。

∴满足条件的概率是
25。

6. （2013年重庆市B4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线y x =上一点P （1，1），C 为y 轴上一点，连接PC ，线段PC 绕点P 顺时针旋转900至线段PD ，过点D 作直线AB ⊥x 轴。

垂足为B ，直线AB 与直线y x =交于点A ，且BD=2AD ，连接CD ，直线CD 与直线y x =交于点Q ，则点Q 的坐标为 ▲ 。

【答案】9944⎛⎫ ⎪⎝⎭
，。

【考点】一次函数综合问题，旋转问题，全等三角形的判定和性质，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】如图，过点P 作EF ∥x 轴，交y 轴与点E ，交AB 于点F ，则 易证△CEP ≌△DFP （ASA ），∴EP=DF 。

∵P （1，1），∴BF=DF=1，BD=2。

∵BD=2AD ，∴BA=3。

∵点A 在直线y x =上，∴点A 的坐标为（3，3）。

∴点D 的坐标为（3，2）。

∴点C 的坐标为（0，3）。

设直线CD 的解析式为y kx b =+，则
13k b 2k 3b 3b 3⎧
+==-⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩。

∴直线CD 的解析式为1
y x 33=-+。

联立91x y x 3439y x y 4⎧
=⎧⎪=-+⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩。

∴点Q 的坐标为9944⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，。

三、解答题
1. （2013年北京市7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y mx 2mx 2=--（m 0≠）与y 轴交于点A ，
其对
称轴与x 轴交于点B 。

（1）求点A ，B 的坐标；
（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；
（3）若该抛物线在2x 1-<<-这一段位于直线l 的上方，并且在2x 3<<这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式。

【答案】解：（1）∵当x 0=时，y 2=-。

∴A (02)- ，。

∵抛物线对称轴为2m
x 12m
-=-
=，B (10) ,。

（2）易得A 点关于抛物线对称轴的对称点为A'(22)- ,，则直线l 经过A'、B ，
设直线l 的解析式为y kx b =+， 则2k b 2k b 0+=-⎧⎨+=⎩
，解得k 2
b 2=-⎧⎨=⎩。

∴直线l 的解析式为y 2x 2=-+。

（3）∵抛物线对称轴为x 1=。

∴抛物线在2x 3<<这一段与在1x 0-<<这一段关于对称轴对称。

结合图象可以观察到抛物线在2x 1-<<-这一段位于直线l 的上方在1x 0-<<这一段位于
直线l 的下方，
∴抛物线与直线l 的交点横坐标为－1，代入直线l 的解析式y 2x 2=-+得
y 2(1)24=-⨯-+=。

∴抛物线过点（－1，4），代入抛物线的解析式得m 2m 24+-=，解得m 2=。

∴抛物线解析为2y 2x 4x 2=--。

【考点】二次函数综合题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，数形结合的应用。

【分析】（1）令x 0=即可求得A 点坐标，根据公式求出抛物线对称轴即可求得B 点坐标。

（2）根据对称的性质求出A 点关于抛物线对称轴对称的点的坐标，从而应用待定系数法即可求出直
线l 的解析式。

（3）由直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，和抛物线在2x 1-<<-这一段位于直线l 的上
方，并且在2x 3<<这一段位于直线AB 的下方，得出抛物线在2x 1-<<-这一段位于直线l 的上方在1x 0-<<这一段位于直线l 的下方，从而得出抛物线与直线l 的交点横坐标为－1，进而先代入直线l 的解析
式求出交点纵坐标，再代入抛物线的解析式求出m ，即可得到抛物线的解析式。

2. （2013年天津市8分）已知反比例函数k
y x
=（k 为常数，k≠0）的图象经过点A （2，3）． （1）求这个函数的解析式；
（2）判断点B （－1，6），C （3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由； （3）当－3＜x ＜－1时，求y 的取值范围． 【答案】解：（1）∵反比例函数k
y x
=
（k 为常数，k≠0）的图象经过点A （2，3）， ∴把点A 的坐标代入解析式，得k
32=，解得，k=6。

∴这个函数的解析式为：6
y x =。

（2）∵反比例函数解析式6
y x
=，∴6=xy 。

分别把点B 、C 的坐标代入，得
（－1）×6=－6≠6，则点B 不在该函数图象上； 3×2=6，则点C 中该函数图象上。

（3）∵k ＞0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小。

∵当x=－3时，y=－2，当x=－1时，y=－6， ∴当－3＜x ＜－1时，－6＜y ＜－2。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的性质。

【分析】（1）把点A 的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k 的值。

（2）只要把点B 、C 的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上。

（3）根据反比例函数图象的增减性解答问题。

3. （2013年天津市10分）已知抛物线21y ax bx c =++ a≠0）的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x
和函数值y 1的部分对应值如下表所示：
x
… ―1 0
3 … 21y ax bx c =++
…
94
…
（1）求y 1与x 之间的函数关系式；
（2）若经过点T （0，t ）作垂直于y 轴的直线l′，A 为直线l′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P （x ，y 2）． ①求y 2与x 之间的函数关系式；
②当x 取任意实数时，若对于同一个x ，有y 1＜y 2恒成立，求t 的取值范围． 【答案】解：（1）∵抛物线经过点（0，
94），∴c=94。

∴219
y ax bx 4
=++。

∵点（－1，0）、（3，0）在抛物线219
y ax bx 4
=++上，
∴9a b 0499a 3b 04⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得3a 43b 2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。

∴y 1与x 之间的函数关系式为：21339
y x x 424
=-++。

（2）∵21339y x x 424=-++，∴()2
13y x 134
=--+。

∴直线l 为x=1，顶点M （1，3）． ①由题意得，t≠3，
如图，记直线l 与直线l′交于点C （1，t ）， 当点A′与点C 不重合时，
∵由已知得，AM 与BP 互相垂直平分， ∴四边形ANMP 为菱形。

∴PA ∥l 。

又∵点P （x ，y 2），∴点A （x ，t ）（x≠1）。

∴2PM PA y t ==-。

过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q （1，y 2），∴2QM y 3=-，PQ AC x 1==-。

在Rt △PQM 中，∵222PM QM PQ =+，即()()()2
2
2
22y t y 3x 1-=-+-。

整理得，()221t 3y x 162t 2
+=-+
-，即22
21110t y x x 62t 3t 62t -=-+---。

当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合，
∴P （1，
t 3
2
+）。

∴P 点坐标也满足上式。

∴y 2与x 之间的函数关系式为22
21110t y x x 62t 3t 62t
-=-+
---（t≠3）。

②根据题意，借助函数图象：
当抛物线y 2开口方向向上时，6－2t ＞0，即t ＜3时，抛物线y 1的顶点M （1，3），抛物线
y 2的顶点（1，
t 3
2
+）， ∵3＞
t 3
2
+，∴不合题意。

当抛物线y 2开口方向向下时，6－2t ＜0，即t ＞3时，
()()()()222
1231t 33t 113t y y x 13x 1x 1462t 243t 2+--⎡⎤-=-
-+--+=-+⎢⎥--⎣⎦
， 若3t －11≠0，要使y 1＜y 2恒成立，只要抛物线()()2
3t 113t y x 143t 2
--=
-+
-开口方向向下，且顶点（1，
3t
2
-）在x 轴下方， ∵3－t ＜0，只要3t －11＞0，解得t ＞
11
3
，符合题意。

若3t －11=0，121y y <03-=-，即t=11
3
也符合题意。

综上所述，可以使y 1＜y 2恒成立的t 的取值范围是t≥11
3。

【考点】探究型，二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，由实际问题列函数关系式，菱形的判定和性质，勾股定理，解不等式组，数形结合思想和分类思想的应用。

【分析】（1）先根据物线经过点（0，9
4
）得出c 的值，再把点（－1，0）、（3，0）代入抛物线y 1的解析式即可得出y 1与x 之间的函数关系式。

（2）先根据（I ）中y 1与x 之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．
①记直线l 与直线l′交于点C （1，t ），当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM 与BP 互相垂直
平分，故可得出四边形ANMP 为菱形，所以PA ∥l ，再由点P （x ，y2）可知点A （x ，t ）（x≠1），所以
2PM PA y t ==-，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q （1，y 2），故2QM y 3=-，PQ AC x 1==-，在Rt △PQM
中，根据勾股定理即可得出y2与x 之间的函数关系式，再由当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合可得出
P 点坐标，故可得出y 2与x 之间的函数关系式。

②据题意，借助函数图象：
当抛物线y 2开口方向向上时，可知6－2t ＞0，即t ＜3时，抛物线y 1的顶点M （1，3），抛物线
y 2的顶点（1，
3t 2- ），由于3＞3t
2
-，所以不合题意。

当抛物线y 2开口方向向下时，6－2t ＜0，即t ＞3时，求出12y y -的值。

若3t －－11≠0，要使y 1
＜y 2恒成立，只要抛物线()()2
3t 113t y x 143t 2--=
-+
-方向向下及且顶点（1，3t 2
- ）在x 轴下方，因为3－t ＜0，只要3t －11＞0，解得t ＞
113，符合题意；若3t －11=0，121y y <03-=-，即t=11
3也符合题意。

4. （2013年上海市10分）已知平面直角坐标系xOy （如图），直线 1
y x b 2
=+经过第一、二、三象限，与y
轴交于点B ，点A （2，t ）在这条直线上，连接AO ，△AOB 的面积等于1． （1）求b 的值； （2）如果反比例函数k
y x
=
（k 是常量，k 0≠）的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．
【答案】解：（1）∵直线 1
y x b 2
=
+与y 轴交于点B ，∴点B 的坐标为（0，b ）。

∵点A （2，t ），△AOB 的面积等于1，∴1
b 212
⋅⋅=。

∴b 1=。

（2） ∵点A （2，t ）在这条直线1
y x 12
=+上，∴1t 2122=⨯+=。

∴点A 的坐标为（2，2）。

∵反比例函数k y x =（k 是常量，k 0≠）的图像经过点A ，∴k
22
=，即k 4=。

∴这个反比例函数的解析式为4
y x
=。

【考点】曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）△AOB 的面积等于1列式即可求得b 。

（2）求出点A 的坐标，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A 的坐标代入k
y x
=
即可求出k ，从而得到这个反比例函数的解析式。

5. （2013年上海市12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线()2y ax bx a 0>=+经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO=OB=2，∠AOB=1200． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连接OM ，求∠AOM 的大小；
（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．
【答案】解：（1）如图，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ， ∵AO=OB=2，∴B （2，0）。

∵∠AOB=1200，∴∠AOD=300，∴AD=1，OD=3。

∴A （－1，3）。

将A （－1，3），B （2，0）代入2y ax bx =+，得：
a b 34a 2b 0
⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得3
a 3
23b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩。

∴这条抛物线的表达式为2323
y x x 33
=-。

（2）过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，
∵()2
232333y x x x 13333
=
-=-+。

∴M （1，33-），即OE=1，EM=3
3。

∴EM 3
tan EPM OE 3
∠=
=。

∴0EPM 30∠=。

∴0AOM AOB EPM 150∠=∠+∠=。

（3）过点A 作AH ⊥x 轴于点H ， ∵AH=3，HB=HO ＋OB=3， ∴AH 3
tan ABH HB 3
∠=
=。

∴0ABH 30∠=，∴0ABC 150∠=。

∴AOM ABC ∠=∠。

∴要△ABC 与△AOM 相似，则必须： ①
AO OM AB BC =，或②AO OM BC AB
=。

设点C 的坐标为（c ，0），则根据坐标和勾股定理，有
AO=2，2
2323OM 133⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭
，BC c 2=-，()
2
2
AB 3323=+=。

①由AO OM
AB BC =
得，2323c 223=-，解得c 4=。

∴C 1（4，0）。

②由AO OM
BC AB
=
得，23
23c 223=-，解得c 8=。

∴C 2（8，0）。

综上所述，如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，则点C 的坐标为（4，0）或（8，
0）。

【考点】二次函数综合题，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定，分类思想的应用。

【分析】（1）应用三角函数求出点A 的坐标，将A ，B 的坐标代入2y ax bx =+，即可求得a 、b ，从而求得抛物线的表达式。

（2）应用二次函数的性质，求出点M 的坐标，从而求得0EPM 30∠=，进而求得∠AOM 的大小。

（3）由于可得AOM ABC ∠=∠，根据相似三角形的判定，分
AO OM AB BC =， AO OM
BC AB
=
两种情况讨论。

6. （2013年上海市14分）在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，连接BP ，线段BP 的垂直平分线交边
BC 于点Q ，垂足为点M ，连接QP （如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x ，BQ=y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；
（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；
（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果EF=EC=4，求x 的值．
【答案】解：（1）根据题意，得AP=x ，BQ=y ，AB=5，222BP 5x 25x =+=+，
∵QM 是线段BP 的垂直平分线，∴2
25x BM 2
+=。

易得△ABP ∽△MQB ，∴PA BP BM QB =，即2
2x 25x y 25x 2
+=
+。

化简，得()21
y 25x 2x
=
+。

∴y 关于x 的函数解析式为()21
y 25x 2x
=
+，x 的取值范围为1x 13≤≤。

（2）根据题意，⊙P 和⊙Q 的圆心距PQ=BQ= y ，⊙P 的半径为x ，⊙Q 的半径为()13y -， 若⊙P 和⊙Q 外切，则()x 13y y +-=，即x 13
y 2
+=。

代入()21y 25x 2x =
+，得()2x 13125x 22x +=+ 解得25
x 13
= 。

∴当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，25x 13
=。

（3）∵EF=EC=4，且EF ⊥PQ ，EC ⊥BC ， ∴PQ 和BC 是以点E 为圆心，4为半径圆
的两条切线。

连接EQ ，
易得，△ABP ∽△CEQ ，∴
AB AP
CE CQ
=。

∵AB=5，AP=x ，CE=4，CQ=13y -， ∴
5x 413y =
-，即4
y 13x 5
=-。

代入()2
1y 25x 2x =
+，得()24113x 25x 52x
-=+ 整理，得213x 130x 1250-+=，解得651026
x ±=。

∴满足条件的x 值为：651026x 13+=或651026
x 13
-=。

【考点】动点问题，矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，圆与圆的位置关系，切线的判定和性质。

【分析】（1）由△ABP ∽△MQB 列比例式即可得y 关于x 的函数解析式。

当y=13时，()21
1325x 2x
=
+，解得x 1=，此为x 的最小值；最大值为13。

因此，x 的取值范围为1x 13≤≤。

（2）若⊙P 和⊙Q 外切，圆心距等于两半径之和，据此列式化简代入（1）的函数关系式求解。

（3）根据题意，PQ 和BC 是以点E 为圆心，4为半径圆的两条切线，从而可得△ABP ∽△CEQ ，据
此列比例式简代入（1）的函数关系式求解。

7. （2013年重庆市A12分）如图，对称轴为直线x 1=-的抛物线()2y ax bx c a 0=++≠与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（－3，0）。

（1）求点B 的坐标；
（2）已知a 1=，C 为抛物线与y 轴的交点。

①若点P 在抛物线上，且POC BOC S 4S ∆∆=，求点P 的坐标；
②设点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值。

【答案】解：（1）∵A 、B 两点关于对称轴x 1=-对称 ，且A 点的坐标为（－3，0）， ∴点B 的坐标为（1，0）。

（2）①∵抛物线a 1=，对称轴为x 1=-，经过点A （－3，0），
∴2a 1
b
12a 9a 3b c 0
=⎧⎪⎪-=-⎨⎪⎪-+=⎩，解得a 1b 2c 3
=⎧⎪
=⎨⎪=-⎩。

∴抛物线的解析式为2y x 2x 3=+-。

∴B 点的坐标为（0，－3）。

∴OB=1，OC=3。

∴BOC 13
S 1322
∆=⨯⨯=。

设点P 的坐标为()
2p p 2p 3+-，，则POC 13
S 3p p 22
∆=⨯⨯=。

∵POC BOC S 4S ∆∆=，∴
3
p 62
=，解得p 2=±。

当p 2=时，2p 2p 35+-=；当p 2=-时，2p 2p 33+-=-， ∴点P 的坐标为（2，5）或（－2，－3）。

②设直线AC 的解析式为y kx b =+，将点A ，C 的坐标代入，得：
3k b 0b 3-+=⎧⎨=-⎩，解得：k 1b 3=-⎧⎨=-⎩。

∴直线AC 的解析式为y x 3=--。

∵点Q 在线段AC 上，∴设点Q 的坐标为()q q 3-- ，。

又∵QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，∴点D 的坐标为()
2q q 2q 3+-，。

∴()2
2
2
39QD q 3q 2q 3q 3q q 24
⎛
⎫=---+-=--=-+
+ ⎪⎝
⎭。

∵3a 10302<<<=--，-，∴线段QD 长度的最大值为
94。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）由抛物线的对称性直接得点B 的坐标。

（2）①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C 的坐标，得到BOC S ∆，设出点P 的坐标，
根据POC BOC S 4S ∆∆=列式求解即可求得点P 的坐标。

②用待定系数法求出直线AC 的解析式，由点Q 在线段AC 上，可设点Q 的坐标为()q q 3-- ，
，从而由QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，得点D 的坐标为()
2q q 2q 3+-，，从而线段QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解。

8. （2013年重庆市A12分）已知，如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD 。

以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt △AED ，∠EAD=300，∠AED=900。

（1）求△AED 的周长；
（2）若△AED 以每秒2个长度单位的速度沿DC 向右平行移动，得到△A 0E 0D 0，当A 0D 0与BC 重合时停止移动。

设移动时间为t 秒，△A 0E 0D 0与△BDC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED 停止移动后得到△BEC ，将△BEC 绕点C 按顺时针方向旋转()
000180<<αα，在旋转过程中，B 的对应点为B 1，E 的对应点为E 1，设直线B 1E 1与直线BE 交于点P 、与直线CB 交于点Q 。

是否存在这样的α，使△BPQ 为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）在平行四边形ABCD 中， BC=6，∴AD= BC=6。

∵在Rt △AED 中，∠EAD=300，∠AED=900，∴DE=3，AE=33
∴△AED 的周长为6333933++=+。

（2）S 与t 之间的函数关系式为29390t 22S 923t 183t 363t 62<⎧⎛⎫
≤≤⎪ ⎪
⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫
⎪-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩。

（3）存在。

分三种情况讨论： ①若BP=BQ ，如图，则 ∵∠PBQ=300，
∴∠BQP=∠BPQ=750。

∴∠E 1QC=∠BQP=750。

∴∠E 1CQ=900－750=150。

∴01BCE E CQ 75α=∠+∠=。

②若PQ=BQ ，如图，则 ∵∠PBQ=300，
∴∠BQP=1200。

∴∠B 1QC=∠BQP=1200。

∴∠B 1CQ=1800－1200－300=300。

∴01B CQ 30α=∠=。

③若PQ=BP ，如图，则 ∵∠CBE =300，
∴∠PBQ=300。

∴∠BQP=∠PBQ=300。

∴∠E 1CQ=900－300=600。

∴01BCE E CQ 120α=∠+∠=。

根据等腰三角形三线合一的性质，此时B 、P 、
Q 三点重合。

∴此时不存在这样的α，使△BPQ 为等腰三角形。

综上所述，存在这样的α，使△BPQ 为等腰三角形，030α=或075α=。

【考点】平移和旋转问题，平行四边形的性质，含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。

【分析】（1）根据平行四边形对边相等可得AD= BC=6，在Rt △AED 中根据含30度角直角三角形的性质可得DE=3，AE=33，从而可求△AED 的周长。

（2）如图，当△AED 移动到点E 0在BC 边上时，易得△CD0E0
是等边三角形，故在D0C=3，△AED 移动的距离DD0=12－3=9，从而由速度为每秒2个长度单位，得△AED 移动的时间为9
t 2
=。

当A 0D 0与BC 重合时，△AED 移动的距离为DC=12，由速度为每秒2个长度单位，得△AED 移
动的时间为t 6=。

∴当9
0t 2
≤≤时，AED 193S S 33322∆==⨯⨯=。

当
9
t 62
<<时，如图，0000CMD BNA BCD A S S S S ∆∆=--平行四形边， 过点D0作在D 0H ⊥BC 于点H ，过点N 作NG ⊥AB 于点G ，
则
DD 0=2t ，D 0C=A 0B=BN=122t -，∴()()033
D H 122t NG 122t 22
=-=-，。

∴
()()()()()231313
S 6122t 122t 122t 122t 122t 23t 183t 36322222
=⨯
--⨯-⨯--⨯-⨯-=-+-。

当t=6时，S =0，满足上式。

综上所述，S 与t 之间的函数关系式为29390t 22S 923t 183t 363t 62<⎧⎛⎫
≤≤⎪ ⎪
⎪⎝
⎭=⎨⎛⎫
⎪-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩。

（3）分BP=BQ ，PQ=BQ ，PQ=BP 三种情况讨论即可。

9. （2013年重庆市B12分）如图，已知抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）。

（1）求直线BC 与抛物线的解析式；
（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为S 1，△ABN 的面积为S 2，且S 1=6S 2，求点P 的坐标。

【答案】解：（1）设直线BC 的解析式为y kx m =+，
将B （5，0），C （0，5）代入，得5k m 0m 5+=⎧⎨=⎩，得k 1m 5=-⎧⎨=⎩。

∴直线BC 的解析式为y x 5=-+。

将B （5，0），C （0，5）代入2
y x bx c =++，得255b c 0c 5++=⎧⎨=⎩，得k 6c 5=-⎧⎨=⎩。

∴抛物线的解析式2y x 6x 5=-+。

（2）∵点M 是抛物线在x 轴下方图象上的动点，∴设M ()
2m m 6m 5-+，。

∵点N 是直线BC 上与点M 横坐标相同的点，∴N ()m m 5-+，。

∵当点M 在抛物线在x 轴下方时，N 的纵坐标总大于M 的纵坐标。

∴()2
2
2
525MN m 5m 6m 5m 5m m 24⎛
⎫=-+--+=-+=--+ ⎪⎝⎭。

∴MN 的最大值是
25
4。

（3）当MN 取得最大值时，N 5522⎛⎫ ⎪⎝
⎭ ，。

∵2y x 6x 5=-+的对称轴是x 3=，B （5，0），∴A （1，0）。

∴AB=4。

∴2ABN 15
S S 4522
∆==
⨯⨯=。

由勾股定理可得，BC 52=。

设BC 与PQ 的距离为h ，则由S 1=6S 2得：52h 65⨯=⨯，即h 32=。

如图，过点B 作平行四边形CBPQ 的高BH ，过
点H 作x 轴的垂线交点E ，则BH=h 32=，EH 是直线BC 沿y 轴方向平移的距离。

易得，△BEH 是等腰直角三角形，
∴EH=3226⨯=。

∴直线BC 沿y 轴方向平移6个单位得PQ 的解析
式：
y x 56x 11=-++=-+或y x 56x 1=-+-=--。

当y x 11=-+时，与2y x 6x 5=-+联立，得
2
y x 11y x 6x 5=-+⎧⎨=-+⎩
，解得x 1y 12=-⎧⎨=⎩或x 6y 5=⎧⎨=⎩。

此时，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）。

当y x 1=--时，与2y x 6x 5=-+联立，得
2
y x 1y x 6x 5=--⎧⎨=-+⎩
，解得x 2y 3=⎧⎨=-⎩或x 3
y 4=⎧⎨=-⎩。

此时，点P 的坐标为（2，－3）或（3，－4）。

综上所述，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

【考点】二次函数综合题，动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，平移的性质，分类思想的应用。

【分析】（1）由B （5，0），C （0，5），应用待定系数法即可求直线BC 与抛物线的解析式。

（2）构造MN 关于点M 横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S 1=6S 2求得BC 与PQ 的距离h ，从而求得PQ 由BC 平移的距离，根据平移的性质求得PQ
的解析式，与抛物线2y x 6x 5=-+联立，即可求得点P 的坐标。

10. （2013年重庆市B12分）已知：在矩形ABCD 中，E 为边BC 上的一点，AE ⊥DE ，AB=12，BE=16，F 为线段BE 上一点，EF=7，连接AF 。

如图1，现有一张硬纸片△GMN ，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边
MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。

如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D 匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。

当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。

设运动时间为t秒，解答问题：
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。

【答案】解：（1）∵∠NGM=900，NG=6，MG=8，，
∴由勾股定理，得NM=10。

当点G在线段AE上时，如图，
此时，GG′=MN=10。

∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速
度沿EB向点B匀速移动，
∴t=10秒。

（2）存在。

由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。

①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过
点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

根据题意，知AP=EN=t，
由△QNE ∽△GNM 得
QE NE GM NM =，即QE t 4QE t 8105=⇒=，∴4
AQ 20t 5
=-。

由△QHE ∽△NGM 得QH HE QE
NG GM NM
==
，即4
t
QH HE 12165QH t HE t 68102525==⇒==，， ∴121641
PJ 12t JQ 16t t 16t 252525
=-
=--=-，。

∴2
2
2
2
2
2124173PQ PJ JQ 12t 16t t 8t 400252525⎛
⎫⎛⎫=+=-
+-=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭。

若AP=AQ ，则4t 20t 5=-，解得100t 109
>=，不存在； 若AP=PQ ，则22
273t t 8t 4006t 25t 1250025
=
-+⇒-+=，△＜0，无解，不存在； 若AQ=PQ ，则2
224735720t t 8t 400t 16t 052525⎛
⎫-=
-+⇒+= ⎪⎝⎭
，无正数解，不存在。

②当10＜t≤16时，线段GN 的延长线与线
段AE 相交，如图，过点Q 作QH ⊥BC 于点H ，QI ⊥AB 于点I ，过点P 作PJ ⊥IJ 于点J 。

同上，AP=EN=t ， 由△QNE ∽△GNM 得
QE NE
GM NM
=
，即QE t 4QE t 8105=⇒=，∴4
AQ 20t 5
=-。

由△QHE ∽△NGM 得QH QE
NG NM
=
，即4
t
QH HE 12165QH t HE t 68102525==⇒==，， ∴121641PJ 12t QJ t 16t t 16252525⎛
⎫=-
=--=- ⎪⎝
⎭，。

∴2
2
2
2
2
2124173PQ PG JQ 12t t 16t 8t 400252525⎛⎫⎛⎫
=+=-
+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

若AP=AQ ，则4t 20t 5=-，解得100
t 9
=。

若AP=PQ ，则22
273t t 8t 4006t 25t 1250025
=
-+⇒-+=，△＜0，无解，不存在； 若AQ=PQ ，则2
224735720t t 8t 400t 16t 052525⎛
⎫-=
-+⇒+= ⎪⎝⎭
，无正数解，不存在。

综上所述，存在100
t 9
=
，使△APQ 是等腰三角形。

（3）S 与t 的函数关系式为()()2
2226t 0t 72571449t t 7t 1075
33S 1142371t t 10t 3
335111971t 8t t 163
35<<<<⎧≤⎪⎪
⎪-+-≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-++≤ ⎪
⎪⎝⎭⎪
⎛⎫⎪-+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩。

【考点】单动点和面动问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。

【分析】（1）由勾股定理，求出MN 的长，点Q 运动到AE 上时的距离MN 的长，离从而除以速度即得t 的值。

（2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ ，AP=PQ ，AQ=PQ 三种情况讨论。

（3）当0＜t≤7时，△GMN 与△AEF 重叠部分的面积等于△QNE 的面积，
由（2）①，EN=t ，12QH t 25=
，∴21126
S t t t 22525
=⋅⋅=。

当7＜t≤10时，如图，△GMN 与△AEF 重叠部分的面积等
于四边形QIFE 的面积，它等于△NQE 的面积减去△NIF 的面积。

由（2）①，EN=t ，12QH t 25=
，∴2NQE 6
S t 25
∆=。

过点I 作IJ ⊥BC 于点J ， ∵EF=7，EN=t ，∴NF t 7=-。

由△FJI ∽△FBA 得
JF IJ
BF AB
=
，即JF IJ 16712=-。

由△INJ ∽△MNG 得NJ IJ
NG MG
=
，即t 7JF IJ 68--=。

二式相加，得()2IJ t 73=-。

∴()()()2
NIF 121S t 7t 7t 7233
∆=⋅-⋅-=-
∴()2
226171449S t t 7=t t 2537533
=---+-。

当10＜t≤71
5
时，如图，△GMN 与△AEF 重叠部分的面积等
于四边形GIFM 的面积，它等于△GMN 的面积减去△INF 的面积。