2020高考数学艺考生冲刺一本通课件:第7讲 不等式及其应用

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第7讲 不等式及其应用
知知识识梳梳理理 典 例 变 式 基 础 训 练 能 力 提 升
1.不等式的基本性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c. (3)可加性:a>b⇒a+c>b+c. (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc. (5)加法法则:a>b,c>d⇒a+c>b+d. (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd. (7)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2). (8)开方法则:a>b>0⇒������ ������ > ������ ������(n∈N,n≥2) 2.不等式的倒数性质 (1)a>b,ab>0⇒1������ < 1������. (2)a<0<b⇒1������ < 1������. (3)a>b>0,0<c<d⇒������������ > ������������.
������ ������
= <
������ 0,
=
0,

������ < 0, ������ < 0.
知知识识梳梳理理 典 例 变 式 基 础 训 练 能 力 提 升
4.基本不等式
如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”)
如果 a>0,b>0,则 a+b≥2 ������������,(当且仅当 a=b 时取“=”).
A.������������
>
������ ������
C.������������
>
������ ������
B.������������
<
������ ������
D.������������
<
������ ������
(2)(2016·北京卷)已知 x,y∈R,且 x>y>0,则 ( )
A.1������ − 1������>0
在(0,+∞)上为减函数,∴当 x>y>0 时,
1 2
������
<
1 2
������
,即
1 2
������

1 2
������
<0,故 C
正确;函数
y=1������在(0,+∞)上为减函数,由
x>y>0⇒1������
<
1 ������

1 ������

1������<0,故
A
错误;函数
y=sinx
(3)由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d求F(x,y)的取值范围,要利用待定系数法解决,即设 F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
变式训练一 1.若 a<b<0,则下列不等式一定成立的是 ( C )
������ ������
< >
00,对于
b
的值可正可
负也可为 0,所以①错误,因为 ac<0,而 a-c>0,所以 ac(a-c)<0;②错误,因为 c<0,b-a<0,
从而 c(b-a)>0;③正确,因为 b2≥0,当 b2=0 时,cb2=ab2=0,当 b2>0 时,由 c<a⇒cb2<ab2;
.
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
【解析】
(1)由
c<d<0
得1
������
<
1������<0,则-���1���>-1������>0,∴-������������>-������������,∴������������
<
������������,故选
B.
(2)函数 y=
1 2
������
常见结论:
(1)如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”)
推论:ab≤������2+2 ������2(a,b∈R)
(2)如果 a>0,b>0,则 a+b≥2 ������������,(当且仅当 a=b 时“=”).
推论:ab≤
������+������ 2
2(a>0,b>0);������2+2 ������2
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
(4)设 3α-β=m(α-β)+n(α+β),则
������ + ������-������
������ =
=-13, ,解得
������ = 2, ������ = 1,
从而 3α-β=2(α-β)+(α+β),
又-π<2(α-β)<π,0<α+β<π,
∴-π<2(α-β)+(α+β)<2π.
B.{x|-1<x<-ln3}
C.{x|x>-ln3}
D.{x|x<-ln3}
【解析】
f(x)>0 的解集为 x∈
-1,
1 3
.
不等式 f(ex)>0 可化为-1<ex<13.
解得 x<ln13,所以 x<-ln3,即 f(ex)>0 的解集为{x|x<-ln3}.
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
题型二 基本不等式及应用
利用基本不等式求最值是高考考查的重点,很少单独命题,常与函数的最值、导数、解析
几何等综合考查,命题的角度有:①通过配凑法利用基本不等式求最值;②通过常数代换
法利用基本不等式求最值;③通过消元法利用基本不等式求最值.
【例 2-1】 (1)已知 0<x<1,则 x(4-3x)取得最大值时 x 的值为
.
(2)已知 x<54,则 f(x)=4x-2+4���1���-5的最大值为
.
(3)函数 y=���������2���-+12(x>1)的最小值为
.
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
【解析】
(1)x(4-3x)=13·(3x)(4-3x)≤13
3������+(4-3������) 2
2 = 43,
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
3.根据条件:a,b,c 满足 c<b<a,且 a+b+c=0,有如下推理:
① ac(a-c)>0 ② c(b-a)<0③ cb2≤ab2 ④ ab>ac 其中正确的是
A.①②
B.③④
(B )
C.①③
D.②④
【解析】

c<b<a⇒3c<a+b+c<3a,因为
a+b+c=0,所以
+
������ ������
≥2+2
������ ������
·������������=2+2=4.当且
仅当 a=b 时,“=”成立.
【答案】 4
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【例2-3】 已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为
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【提醒】不等式两边同乘数 c 时,要特别注意“乘数 c 的符号”. 3.一元二次不等式及其解集 对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的两根为 x1、x2 且 x1≤x2,设 Δ=b2-4ac,它的解按照 Δ>0,Δ=0,Δ<0 可分三种情况,相应地,二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象与 x 轴的位置关 系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0)的解集.
{x|x<x1 或 x>x2}
{x|x1<x<x2}
b
x x ≠ - 2a
R


由二次函数图象与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论
(1)不等式 ax2+bx+c>0 对任意实数 x 恒成立⇔
������ ������
= >
������ 0,
=
0,

������ > 0, ������ < 0.
(2)不等式 ax2+bx+c<0 对任意实数 x 恒成立⇔
0,
π 2
得-π6≤-���3���≤0,∴-π6<2α-���3���<π,故选 D.
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5.(2018·长春模拟)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为 ������ <
-1
或������
>
1 3
,则
f(ex)>0 的解集为
(
D
)
A.{x|x<-1 或 x>-ln3}
当且仅当 3x=4-3x,即 x=23时,取等号.
(2)因为 x<54,所以 5-4x>0,
则 f(x)=4x-2+4���1���-5=-
5-4������
+
1 5-4������
+3≤-2+3=1.
当且仅当 5-4x=5-14������,即 x=1 时,等号成立.故 f(x)=4x-2+4���1���-5的最大值为 1.
【答案】 (1)23 (2)1 (3)2 3+2
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【例 2-2】
已知
a>0,b>0,a+b=1,则1������
+
1的最小值为
������
.
【解析】
因为
a+b=1,所以1������
+
1 ������
=
1 ������
+
1 ������
(a+b)=2+
������ ������
Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根 x1,x2(x1<x2)
有两相等实根
x1=x2 =-2ba
无实根
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ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
B.sinx-siny>0
C.
1 2
������

1 2
������
<0
D.lnx+lny>0
(3)若 a=20.6,b=logπ3,c=log2
sin
2π 5
,则
(
)
A.a>b>c
B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
(4)已知角 α,β 满足-π2<α-β<π2,0<α+β<π,则 3α-β 的范围是
A.������1-������
>
1 ������
C.||������������||
<
|������|+1 |������|+1
B.a2<ab D.an>bn
【解析】 (特殊值法)取 a=-2,b=-1,逐个检验,可知 A,B,D 项均不正确;C 项,||������������|| <
||������������||++11⇔|b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)⇔|a||b|+|b|<|a||b|+|a|⇔|b|<|a|,∵a<b<0,∴|b|<|a|成立.
在(0,+∞)上不单调,当 x>y>0 时,不能比较 sinx 与 siny 的大小,故 B 错误;x>y>0⇒xy>0⇒/
ln(xy)>0⇒/ lnx+lny>0,故 D 错误.
(3)因为 a=20.6>20=1,又 logπ1<logπ3<logππ,所以 0<b<1,c=log2sin25π<log21=0,于是 a>b>c.故选 A.
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2.已知 a,b∈R,下列命题正确的是 ( D )
A.若 a>b,则|a|>|b|
B.若
a>b,则1������
<
1 ������
C.若|a|>b,则 a2>b2
D.若 a>|b|,则 a2>b2
【解析】 当 a=1,b=-2 时,A 不正确;当 a=1,b=-2 时,B 不正确;当 a=1,b=-2 时,C 不 正确;对于 D,a>|b|≥0,则 a2>b2,故选 D.
④正确,因为 a>0,b>c⇒ab>ac;综上可知,选 B.
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4.设 α∈
0,
π 2
,β∈
0,
π 2
,那么 2α-���3���的取值范围是
(
D
)
A.
0,
5π 6
B.
-
π 6
,
5π 6
C.(0,π)Leabharlann D.-π 6

【解析】
由 α∈
0,
π 2
得 0<2α<π,由 β∈

������+������ 2 2
(3)1������+21������ ≤
������������

������+������ 2

������2+2 ������2(a>0,b>0)
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
题型一 不等式性质与应用 【例 1】 (1)若 a>b>0,c<d<0,则一定有 ( )
【答案】(1)B (2)C (3)A (4)(-π,2π)
知识梳理 典例变式 基础训练 能力提升
【规律方法】利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法 (1)利用不等式的范围判断正误时,常用两种方法: 一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案. (2)比较大小常用的方法
①作差(商)法:作差(商)⇒变形⇒判断, ②构造函数法:利用函数的单调性比较大小, ③中间量法:利用中间量法比较两式大小,一般选取0或1作为中间量.
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