hamilton-caley定理及其应用

2 化简方阵高次幂的运算
n阶方阵高次幂的计算是矩阵的一种基本
运算，在实际计算中常用的方法有数学归纳法、
矩阵分解法、矩阵的相似对角化等[3]。较之这些
方法，Hamilton-Caley定理在一些矩阵高次幂计
算中具有明显优势，计算过程简化很多。
1 0 0 晌上
裳梢
上
梢
上
梢
例1
设
A
=
上 上 上 上
a
着
0
梢
再以姿=1代入(2)式，得 b1+2b2=200
b扇设
设 设 设
0=2100+251-400
由此可求得
设
b设
缮设 设
1=606-2101-252
设
b设
设 墒设
2=-203+2100+251
根据Hamilton-Caley定理知 f(A )=Ο，于是
有A
100+2A
50
=b
0E+b
1A
+b2A
2。
3 化简矩阵多项式的计算
(姿)f(姿)+(b0+b1姿+b2姿2)
(1)
分别以姿=1,2代入(1)式，可得
嗓 b0+b1+b2=3
b 0+2b 1+4b 2=2100+251
注意到1是f(姿)的二重根，对g(姿)求导可得
g忆(姿)=q忆(姿)f(姿)+q(姿)f忆(姿)+(b1+2b2姿)
=100姿99+100姿49
(2)
式、特征值和特征向量是高等代数学习中的重 Hamilton-Caley定理作为矩阵特征多项式的一
要内容，著名的Hamilton-Caley定理是矩阵特 个重要性质，不仅在理论上有重要的研究意
征多项式的一个重要性质，同时也是矩阵理论 义，对解决某些具体问题也有独特的方法，下
中最基本、最重要的结论之一，具有相当广泛 面分别介绍Hamilton-Caley定理在不同问题计
的应用。在我们目前使用的高等代数教材中[1]， 算中的巧妙应用。
只简单介绍了Hamilton-Caley定理的内容，对 其具体应用基本没有涉及到，但在对高等代数 的深入学习理解特别是研究生考试的复习中， 对于一些具体问题的求解和计算，巧妙的运用 Hamilton-Caley定理可以使计算过程得到很大 的简化。本文将结合具体实例，说明哈密尔顿凯莱定理在矩阵相关计算问题中的一些应用。
+5姿原2，
令渍(姿)=姿7原姿5-19姿4+28姿3+6姿原4，用f(姿)除渍
(姿)，得
渍(姿)=f(姿)(姿4+4姿3+10姿2+3姿原2)+(原姿2+22姿原
8)=f(姿)q(姿)+r(姿)
- 38 -
据Hamilton-Caley定理知f(A )=Ο，从而有
渍(A
)=A
7
原A
5-19A
4+28A
3+6A
原4E=r(A
)
=原A
2+22A
原8E=
晌上 上 上 上 上
-21 -64
16 43
0 0
裳梢 梢 梢 梢 梢
19 -3 24 上
梢
上
梢
尚上
捎梢
4 逆矩阵的计算
逆矩阵在矩阵理论和应用中都占有很重
理可得
f(A
)=A
3原E=Ο，故A
3
=E
从而有A 1000=(A 3)333·A =E·A =A 援
收稿日期院 2019-07-03 作者简介院杨艳丽(1982－)，女，云南保山人，硕士，副教授，研究方向为粗糙集理论及代数学的教学与研究。
第 38 卷窑第 5 期
保山学院学报
2019 年 10 月
1晌上
1 Hamilton-Caley定理
Hamilton-Caley定理以威廉·卢云·哈密顿 与阿瑟·凯莱两位数学家的名字命名，是矩阵 理论中最重要的定理之一，也是矩阵特征多项 式的一个重要性质。
定义1 设A 是数域P上的n阶方阵，E为与A 同阶的单位矩阵，则
f(姿)= 姿E原A =姿n+an原1姿n原1+…+a1姿+a0 称f(姿)为方阵A 的特征多项式。 Hamilton-Caley定理 设A 是数域P上的n 阶方阵，f(姿)= 姿E原A 为A 的特征多项式，则有f (A )=A n+an原1A n原1+…+a1A +a0E=Ο。
[中图分类号] O13
[文献标识码] A
doi:10.3969/j. issn. 1674-9340. 2019.05.009
[文章编号] 1674-9340渊2019冤05-037-03
矩阵是高等代数学习和研究的主要对象
蔺小林， 刘利华给出了Hamilton-Caley定理
之一。矩阵的特征理论———矩阵的特征多项 的 四 种 证 明 方 法 [2]， 本 文 不 再 重 复 证 明 。
上
例2
设A
=
上 上 上
1
1 1
-1 1
裳梢 梢 梢 梢 梢
，求A
100+2A
50。
0 -1 2 上
梢
上
梢
尚上
捎梢
解：首先求得A 的特征多项式为
f(姿)=
姿E原A
=
姿原1 -1 -1 姿原1
1 -1
=(姿原1)2(姿原2)
0 1 姿原2
令g(姿)=姿100+2姿50，用f(姿)除g(姿)，可设g(姿)=q
保山学院学报
Hamilton-Caley 定理及其应用
杨艳丽
（保山学院 数学学院，云南 保山 678000）
[摘 要] 结合实例介绍了 Hamilton-Caley 定理在化简方阵高次幂、矩阵多项式及求逆矩阵、矩阵最小多
项式等问题中独特而巧妙的计算方法。
[关键词] Hamilton-Caley 定理；特征多项式；矩阵
当n阶方阵A 的多项式渍(A )中A 的最高次
幂超过n时，可结合多项式的带余除法，将矩阵
A 的多项式渍(A )对应的多项式渍(姿)表示为的特
征多项式f(姿)=|姿E原A |与商式q(姿)的乘积，再加
上余式r(姿)的形式，即渍(姿)=f(姿)q(姿)+r(姿)，其中
鄣(r(姿))<鄣(f(姿))<n。根据Hamilton-Caley定理
f(A )=Ο，从而渍(A )=f(A )q (A )+r(A )=r(A )，这样可
化简渍(A )的计算。
3 晌上
上
例3
设
A
=
上 上 上
-2
1 0
-1 2
裳梢 梢 梢 梢 梢
，求A
7
原A
5 -19A
4
-1 -1 3 上
梢
上
梢
尚上
捎梢
+28A 3+6A 原4E。
解：A 的特征多项式为f(姿)=|姿E原A |=姿3-4姿2
梢 梢 梢
，其中a,b,c
为任
意常
b c 着 上
上 上
2
梢 梢 梢
尚上
捎梢
数，着=
原1+ 姨 2
3因为A 的特征多项式为
姿原1 0 0
f(姿)= 姿E原A = -a 姿原着 0 =(姿原1)(姿原着)
2
-b -c 姿原着
(姿原着2)=(姿原1)(姿2+姿+1)=姿3原1由Hamilton-Caley定