2020届吉林省德惠市实验中学、前郭五中等九校高三上学期期中考试数学(文)试题

2020届吉林省德惠市实验中学、前郭五中等九校高三上学期期中考试
高三数学（文科）
本试卷分为第I 卷和第II 卷，试卷满分150分，考试时间120分钟。

考试范围：【集合、函数、导数、三角函数、解三角形、平面向量、数列、不等式】
第I 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}，则（ ） A.{}|0A
B x x =< B.A B R = C.{}|1A B x x => D.A
B =Φ
2. 若函数f (x )＝
()()212x
x x a +-为奇函数，则a 等于(
)
A ． 2
B ． 1
C ．
12 D ． －12
3. 若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x
⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，c ＝ln x e ,则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b ＞c ＞a
B ．c ＞b ＞a
C ．a ＞b ＞c
D ．b ＞a ＞c
324.()(2)2,()()1,3f x x a x x f x f x =+-+设函数若为奇函数，则曲线y=在点（）处的切线方程为( )
A.y=5x-2
B.y=x+2
C.y=-5x+8 D y=-x+4
5. 正三角形ABC 中,D 是线段BC 上的点,AB=6, BD=2,则AB AD =（ ）
A.12
B. 18
C. 24
D. 30 6. 在下列给出的四个结论中,正确的结论是( )
A. 已知函数()f x 在区间(,)a b 内有零点,则()()0f a f b <
B.1,333a
b
a b +=若则是和的等比中项
C. 121212,2,36,//e e m e e n e e m n =-=-若是不共线的向量，且则
D. 已知角α终边经过点 (3,-4),则4
cos 5
α=- 7. 将函数f(x)=cos(2x-4π)的图象向左平移8
π
个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法 不正确的是( ).
A. 162g π⎛⎫= ⎪⎝⎭
B.()g x 在区间57,88ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数 C.x=
2
π
是()g x 图象的一条对称轴 D.(,0)8π-是()g x 图象的一个对称中心
2
2
2
8.,,,ABC A B C b c a B +-=在中，内角所对边分别是a,b,c;csinC=acosB+bcosA,且则角的大小（ ）
A.
6
π
B.
3
π C.
2
π D.
23
π 9. 已知函数f (x )＝3
3
x －(4m －1)2x ＋(15m 2－2m －7)x ＋2在R 上为单调递增函数，则
实数m 的取值范围为（ ）
A. (,2)-∞-
B. (4,3)--
C. (2,4)-
D.[]2,4 10. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和11a =，
20172015120172015S S -=，则数列1n S ⎫⎧⎪
⎨⎬⎪⎩⎭
的 前2017项和为( ) A. 20172018 B .12018 C.20171009 D.1
2017
11.
已知函数2()log )f x x =，若对意的正数a,b ，满足f(a)+f(3b-1)=0，
则31
a b
+的最小值为（ ）
A ．6
B ．8
C .12
D ．24
121212,()ln 1,,(0,)()(),x e g x x x R x f x g x x x -=+∀∈∃∈+∞=-12.已知函数f(x)=e 若对于使得则的最大值为（ ）
A ．e
B ．1-e
C ．1
D ．11e
-
第II 卷
二、填空题（本题共4道小题，每题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分,请将正确的答案填在横线上)
13.
已知sin(
)6
π
α+=
cos()3πα-=
14.1,210,4
a b a a b b π
=-==已知，的夹角为
,且则 __________
15.若曲线2
1:(0)c y ax a =>与曲线2:x c y e =在(0,)+∞上存在公共点，
则a 的取值范围为
16.将正整数12分解成两个正整数的乘积有112,26,34⨯⨯⨯三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解.当(,)p q p q p q N *
⨯≤∈且是正整数n 的最佳分解时我们定义
{}(),(12)43 1.(88)(5))2020n f n q p f f f n N *=-=-=∈函数例如则的值为____，数列（的前项的和为________.
.
三、解答题（第17题10分，第18题至22题每题12分，共计70分） 17.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+ （1）证明12n a ⎧
⎫
+
⎨⎬⎩⎭
是等比数列， （2）求数列{}n a 的前n 项和n s
.
sin sin 333)2()1(1)cos(32cos ,,,,,.18的值，求，的面积为若的值；
求已知的对边分别为中，在C B b ABC A C B A c b a C B A ABC =∆=+-∆
19. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角)αβαβ>、（
的终边分别与单位圆交于A,B 两点， 点43
(,)
55
A
（1）若点512
(
,)1313
B ，求cos()αβ+的值：
（2）若310
OA OB =，求sin β.
{}{}{}220.,,)22*(1)(2)+(1)log ,n n n n n n n n n n
a n S a s y x n N a
b n a a b =-∈=-已知数列的前项和为点（在直线上，求的通项公式
若求数列的前项和T
21.如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A 处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°(其中点P ，Q 分别在边BC ，CD 上)，设BP ＝t(百米)． (1)用t 表示出PQ 的长度，并探求△CPQ 的周长L 是否为定值； (2)设探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积为S (平方百米)，求S 的最大
值．
22. 已知函数f (x )＝ln (x ＋a )－x 2－x 在x ＝0处取得极值． (1)求实数a 的值； (2)若g (x )＝－5
2
x ＋b 的图象在区间[0,2]上与f
(x )的图象恰有两个不同的交点，求实数b 的取值范围．
2019-2020学年度第一学期期中考试
高三数学(文科）答案
一、选择题
1.A
2. B
3. A
4.A
5. D
6. C
7.D
8.B
9. D
10.C
11. C
12.D
二、填空题
13. .
14.
15.
16. 3；51010-1
三、解答题
17.【答案】（2）
1
323
4
n
n
n
s
+--=
【详解】证明：由得, …………………..2分所以,
所以是等比数列,首项为,公比为3, …………………….4分
所以, ……………………5分
（2）由（1）知的通项公式为； .................................6分
则12333(.......)2222n n n
s =+++- ………………………8分
所以 13234
n n n s +--= ……………………10分
18. 【答案】（1）3
π
A =（2）
913
【详解】（1）
A B C π++=，()cos cos B C A ∴+=-，...............1分
所以原式整理为22cos 3cos 20A A +-=, 解得：cos 2A =-（舍）或1
cos 2
A =
........................................3分 0A π<<,3
A π
∴=
;.....................................................5分
（2）11sin 3222
S bc A c =
⋅=⨯⨯=4c =，.......................7分
根据余弦定理2
2
2
1
2cos 916234132
a b c bc A =+-⋅=+-⨯⨯⨯
=a ∴=分
sin sin sin a b c A B C ==，代入解得：sin ,sin 2613
B C ==,................11分 9
sin sin 13
B C ∴=
.......................................................12分
19. 【答案】(1)1665-
(2)50
【详解】解：（1）因为α是锐角，且43,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，512,1313B ⎛⎫
⎪⎝⎭
在单位圆上， 所以3sin 5α=
，4cos 5α=，12sin 13β=
5
cos 13
β=，...........................4分 ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-4531216
51351365
=⨯-⨯
=-.................6分
（2）因为31010OA OB ⋅=
，所以||||cos()10
OA OB βα⋅-=，..............8分
且1OA OB ==，所以，cos()βα-=，可得：sin())βαβα-=>， 且4cos 5α=
，3
sin 5
α= 所以，sin sin[()]βαβα=+-sin cos()cos sin()αβααβα=-+-............10分
3451051050
=⨯+⨯=
.............................................12分 20. 【答案】(1) (2)
【详解】(1)点
在直线
上，
，
. .....................................1分
当时，则， .....................................2分
当
时，
,
两式相减，得, .....................................4分 所以.
所以是以首项为，公比为等比数列，所以
.......................6分 (2)
, .......................7分
,
, .......................9分
两式相减得:,
.......................10分
所以
. ........................12分
2
max 121.(1)=221t PQ l t
+==+【答案】，为定值.(2)S 【详解】(1)由BP ＝t ，得CP ＝1－t ,0≤t ≤1，设∠PAB ＝θ，则∠DAQ ＝45°－θ，...........1分
1-1-2tan(45),1,111t t t
DQ CQ t t t
θ=-=
=-=+++..............................3分.
2
11t PQ t
+∴===
+..............................5分 2
2112,11t t l CP CQ PQ t t t
+∴=++=-++=++是定值...........................6分
111(2)1111221ABP ADQ ABCD t
S S S S t t
∆∆-=--=⨯-⨯⨯-⨯⨯+正方形....................8分
12111(1)2()22121t t t t
+=---+=-+++......................................10分
由于1＋t >0，
11
2()2221t S t +=-+≤-=+则
当且仅当
＝
，即t ＝
－1时等号成立，..................................11分
故探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 最大为2－平方百米．............12分
22.【答案】(1) a ＝1 (2)
.
【详解】(1)f ′(x )＝
1
x a
+－2x －1. ∵x ＝0时，f (x )取得极值，∴f ′(0)＝0.故
1
0a
+－2×0－1＝0，解得a ＝1. 经检验a ＝1符合题意，∴a ＝1. .........................4分 (2)由a ＝1知，f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－x ，x ∈(－1，＋∞)，
又g (x )＝－
52x ＋b ，得f (x )－g (x )＝ln (x ＋1)－x 2＋3
2
x －b ， 令φ(x )＝ln (x ＋1)－x 2
＋32
x －b ，x ∈(－1，＋∞) ........................6分
即φ(x )＝0在[0,2]上恰有两个不同实数根． φ′(x )＝
11x +－2x ＋32
＝(45)(1)2(1)x x x -+-+.
令φ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－
5
4
(舍去)． .........................8分 当x ∈(0,1)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(0,1)上单调递增；
当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(1,2)上单调递减． .......................10分 依题意有
解得ln 3－1≤b ＜ln 2＋
12
，
∴实数b的取值范围是. ...................12分。