第1章行列式 例题习题
第一章 行列式答案详解
第一章行列式习题1.1二阶和三阶行列式1．计算下列二阶行列式．()12112-=4(1)5--=()222111x x x x -++22(1)(1)x x x x =-++-321x x =--【分析】考查二阶行列式的计算公式2．计算下列三阶行列式．()1251312204--1301113113123024204===()2a bcb c a c a b 11()1()011b c b ca b c c a a b c c b a ca b a b b c=++=++----333()3c b a c a b c abc a b c a b b c --=++=-----【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式3．当x 取何值时，3140010x x x¹．【解析】31210214040(24)0241010x x x x x x xxxx x且===-【分析】考查三阶行列式的计算公式或者行列式性质计算三阶行列式习题1.2排列1．求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性．()14132；()41324t =，为偶排列()2542316；()5423169t =，为奇排列()3()()246213521n n -L L ．()()()(1)2462135212n n n n t +-=L L ，4142443n k k n k k =++⎧⎨=+⎩或时，为奇排列或时，为偶排列【分析】考查逆序数的计算及奇偶排列的概念*2．设排列12n i i i L 的逆序数为k ，求排列121n n i i i i -L 的逆序数．【解析】考虑第m 个数(m=1,2,...,n-1)，它与后面n-m 个数的每一个数都有一个“序”，这个序要么是“顺序”，要么是“逆序”。
这样全部的“序”共有：（n-1)+(n-2)+...+2+1=n(n-1)/2个。
12n i i i L 逆序数是k ，那么排列121n n i i i i -L 的逆序是n(n-1)/2-k 【分析】考查逆序概念习题1.3n 阶行列式1．写出四阶行列式中含有因子1123a a 的项．【解析】1123344211233244;a a a a a a a a +-【分析】行列式的定义2．在5阶行列式中，下列各项应取什么符号？()11523314254a a a a a ；()152********,+a a a a a 取“”t =()22132441355a a a a a ；()21324413552,+a a a a a 取“”t =()34153122435a a a a a ．()41531224355,a a a a a 取“-”t =【分析】行列式的定义3．设一个n 阶行列式中等于零的元素的个数大于2n n -，试证明该行列式为零．【解析】N 阶行列式共有2n 个元素，等于零的元素的个数大于2n n -，则非零元素个数小于n 个，即一定出现一个0行，则行列式值为0.【分析】行列式的定义4．用行列式的定义计算下列行列式．()1010000200001000n n -L LM M M LML L (23(1)1)112231,11(1)(1)!n n n n n a a a a n τ----=-=- ()2()()1111121211000n n n n a a a a a a --L L MLM M L(1)((1)21)212(1)112(1)1(1)(1)n n n n n n n n n n a a a a a a τ----=-=- 【分析】行列式的定义和主次对角线行列式的结论5．设()11121314212223243132333441424344x a a a a a x a a a f x a a x a a a a a x a --=--，求()f x 中3x 的系数．【解析】根据行列式的定义，3x 系数只能来自于一项11223344()()()()x a x a x a x a ----，即11223344()a a a a -+++【分析】行列式的定义习题1.4n 阶行列式的性质1．用行列式的性质计算下列行列式．()1a x x x x b x xx x c x+++000000a x x x x x x b x xb x x x b x x a x b xc xx c x x x c x x c +=+++=++++2()()()a b x c x x bcx abc ab ac bc x=++-+=+++【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+展开定理+三角化方法()22464273271014543443342721621-1321122331299001003279001003270100327190010044310000116100001169001006210029400294c c r r c c c c r r +----===121000011601003272940000000294r r «=-=-【分析】行列式性质+行列式性质+三角化方法()3ab ac aebd cd debf cf ef---1111111111110020204111020002abcdef abcdef abcdef abcdef---=-==-=-【分析】各行或各列元素之和相等的行列式+行列式性质+三角化方法2．将下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值．()1111111111111022281111002211110002-==-----【分析】三角化方法的计算()222401120112011204135413505550111221031233123048304832051205102110211----------=-=-=---------112011201120111011101111010102500047001800180031003100025---------=-=-=-=----------【分析】三角化方法的计算3．计算下列行列式．()111100[(1)][(1)]100x a a aa a a a x a x a x a x n a x n a a a x ax x a-=+-=+--L LL L L L M M L M M M L M M M L M L LL 1[(1)]()n x n a x a -=+--10111011120201600022002200220004----=-=-=-----()33312()02()2()0x y x y y x yx yy x y x x y x y x y x y x y xx yxy x yx++-+=+-=+=-+--+--【分析】各行或各列元素之和相等的行列式的计算4．计算下列行列式()112311110010010na a a a L L LM M M LM L ，其中0,2,3,,.i a i n ¹=L 122123211111000110000nn n n a a a a a a a a a a a ---ç==---ççL L L L L LM M M LML 【分析】箭型行列式计算()212111111111111na a a +++L LM M M LML ，其中0,1,2,,.i a i n ¹=L 111121211212211111111100000100000n n n nna aa a a a a a a a a a a a a a a a a +++++-ç===++++çç-L LL L L L L M M M LMM M M L M L L 【分析】利用性质变换为箭型行列式计算5．证明()33by az bz ax bx ayx y z bx ayby az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++．【证明】左边by az bz ax bx ayby bz ax bx ay azbz ax bx aybx ayby az bz ax bx by az bz ax ay by az bz axbz ax bx ay by az bz bx ay by az ax bx ay by az+++++++=+++=++++++++++++y bz ax bx ay zbz ax bx ayb x by az bz ax a y by az bz axzbx ay by azx bx ay by az ++++=+++++++++22y bz ax bx zax bx ay y bz ax x z x bx ay b x by az bz a yazbz ax b x by azz a yz bz ax zbx ay by x ay by az z bx ay y xy by az++++=+++=+++++++()223333y bz x z x ay y z x z x y x y z b x byz a y z ax b xy z a yz x a b zx y z bx y x y az z xyxyzy zx=+=+=+【分析】拆项性质+行列式性质6．证明121211221100001000000001n n n n nn n x x x a x a x a x a xa a a a a -------=++++-L L L L M M M L M M LL ．【证明】11c n n nD xD a 展开-=+()22121n n n n n n x xD a a x D a x a ----=++=++()3232123232312312121n n n n n n n n n n n n n nx D a x a x a x D a x a x a x a a x a a x a x a x a ----------=+++==+++=++++=++++L L L L 【分析】展开定理+递推发习题1.5行列式的展开1．求行列式30453221--中元素2和2-的代数余子式．【解析】2的代数余子式：313104(1)003A +=-=；2-的代数余子式：323234(1)2953A +-=-=【分析】余子式、代数余子式的概念2．用降阶法计算下列行列式【分析】拉普拉斯展开定理()211122200000000000000=0000000111111231n n na a a a a a a a a nn ------+L L LL MM M L M M MM M L M M L L LL12(1)(1)n nn a a a =+- 【分析】行列式性质+展开定理3．计算下面行列式222244441111a b c d a b c d a b c d ．【解析】4D 中各列元素均缺少3次方幂的元素，在4D 中添加3次方幂的一行元素，则产生5阶范德蒙行列式，再适当添加一列得：22222333334444411111()ab c d x f x a b c d x a b c d x a b c d x =按最后一列展开，得2341525354555()f x A xA x A x A x A =++++，因为()()()()0f a f b f c f d ====，所以,,,a b c d 为()f x 的四个根，则()()()()()f x k x a x b x c x d =----由根与系数关系有4555Aa b c d A +++=-，而4545(1)A D D +=-=-，55()()()()()()A b a c a d a c b d b d c =------，则()()()()()()()D a b c d b a c a d a c b d b d c =+++------.【分析】克莱姆法则+展开定理4．已知四阶行列式D 中第1行的元素分别为1,2,0,4-，第3行的元素的余子式依次为6,,19,2x ，试求x 的值．【解析】313233346,,19,2A A x A A ==-==-，由展开定理得：162()019(4)(2)0x ⨯+⨯-+⨯+-⨯-=，解得7x =【分析】代数余子式、余子式+展开定理求11121314及11213141．【解析】1112131411111111016110500164241313042463524130635A A A A -----+++===----------1201048428(1)(1)46136313+--=-=--=---11213141112131411521110513131413M M M M A A A A ---+++=-+-=----152142412000424812812081291210912-----==-=-=------【分析】代数余子式、余子式+展开定理的逆运用习题1.6克莱姆法则1．用克莱姆法则求解下列方程组的解12341234123412342326223832242328x x x x x x x x x x x x x x x x ì++-=ïïïï---=ïíï+-+=ïïï-++=-ïî．【解析】1234324,324,648,324,648D D D D D ====-=-，则12341,2,1,2x x x x ===-=-【分析】克莱姆法则2．设1a ，2a ，3a 互不相同，证明方程组123112233222112233000x x x a x a x a x a x a x a x ì++=ïïï++=íïï++=ïïî只有零解．【解析】系数行列式时范德蒙行列式，因为1a ，2a ，3a 互不相同，则系数行列式非零；再由克莱姆法则可知，该齐次方程组只有零解.【分析】克莱姆法则3．当l 为何值时，齐次线性方程组123122334000x x x x x x x l l ì++=ïïï-+=íïï+=ïïî()1只有零解；()2有非零解．当11λλ≠≠-且时，只有零解；当=1=1λλ-或时，有非零解【分析】克莱姆法则自测题1．填空题(每小题10分，共20分)()1行列式103100204199200395301300600=___2000____．()2已知11111111111111D x---=---，则D 中x 的系数是___4-____．2．计算下列行列式：(每小题15分，共30分)()11(1)(1)(2)220000(1)(1)000000n n n n c nn n D αβαββααββα---==-+-展开()212312323411341(1)3452145221211121n n n n n D n n n +==--(1)(1)1231111101111111101111(1)(1)2211110111111111111n n n n n n nnn n n n n n n n-⨯------++==----(1)(2)1122(1)(1)100100(1)(1)(1)(1)(1)221001000n n n n n n n nn n n n n n n ------⨯-++=⋅-=⋅-⋅-⋅(1)12(1)(1)2n n n n n n --+=-⋅⋅(本题15分)已知2231122D yx=，且1112133M M M +-=，1112131A A A ++=，其中ij M 是D 中元素ij a 的余子式，(1)i j ij ij A M +=-，试求D 的值．【解析】1112133235M M M x y +-=⇒-=111213114A A A y x ++=⇒=⇒=则行列式的值为14．(本题15分)解线性方程组231234231234231234231234x ax a x a x e x bx b x b x ex cx c x c x e x dx d x d x e⎧+++=⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩,其中,,,a b c d 互异．【解析】系数行列式非零，由克莱姆法则可知1234,0,0,0x e x x x ====5．(本题20分)证明：11000100,010001n n a b ab a b ab a b a b a b a ba b++++-=¹+-+L L L M M M L M M L ．【解析】上课做为例题已讲过。
第一章 行列式 习题及答案
第一章 行列式习题1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。
（1(1)n c --）2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。
（(1)n c -）3. 2(1)(2,1,21,2,,1,)(21)0(23)0122k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+?。
4. 由行列式的定义计算行列式413331233626xx x x xx展开式中4x 和3x 的系数。
（3412, 12x x -）（分析：4x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。
第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四行只能取22a 和44a ，则此项为(1234)411223344(1)4312N a a a a x x x x x -=⋅⋅⋅=。
3x 的系数：(2134)(4231)3331221334441223314(1)(1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。
）5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式17033159097510959的值，证明他是13的倍数。
证明：12341701703170170341000131531593153159410021309709750979754103109510959109510959l c c l c c l c c l +⋅+⋅=⋅+⋅，能被13整除。
注意，以下两个行列式：170317037033159315915909759759751095910959959≠，所以一定要加到最后一列上。
6. 设行列式311252342011133--=--D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。
（0和-5）解：112131412112423424301011333A A A A -+--==----。
线性代数第1章行列式试卷及答案
第一章 行列式一、单项选择题1.行列式D 非零的充分条件是( D )(A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 2．二阶行列式1221--k k ≠0的充分必要条件是（ C ）A ．k ≠-1B ．k ≠3C ．k ≠-1且k ≠3D ．k ≠-1或≠3 3．已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ B ）+n （m+n ）4.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x 则行列式（ A ） A.32D.38 5．下列行列式等于零的是(D )A .100123123- B. 031010300- C ． 100003010- D ． 261422613-6．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ B ）A ．-2B ．-1C ．1D ．28．如果方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解,则 k =（ B ）9．（考研题）行列式0000000a b abc d c d=（ B ） A.()2ad bc -B.()2ad bc --C.2222a d b c -D.2222b c a d -二、填空题1.四阶行列式中带负号且含有因子12a 和21a 的项为 44332112a a a a 。
2. 行列式1112344916中（3，2）元素的代数余子式A 32=___-2___.3. 设7343690211118751----=D ，则5A 14+A24+A 44=_______。
解答：5A 14+A 24+A 44=1501343090211115751-=---4．已知行列式011103212=-a ，则数a =____3______.5．若a ,b 是实数，则当a =___且b =___时，有=---10100a b b a 0。
线性代数同步练习册第一章(15题,18页)
第一章 行列式1、利用对角线法则计算行列式.(1)abn b a m -.(2) 40230120.(3)38114112---. (4) 321a a a aaa .(5)yxyx x y x y y x y x+++.２、利用行列式的性质计算行列式．(1)004003002001000.（2）10315398122299331201221---.(3) 1132211313213211------.（4）3214214314324321.(5) 2100032000002100032100032.(6)vu d c y x b a 00000000.（7）yy x x -+-+1111111111111111.(8）33221111110011001b b b b b b ------.3、计算n 阶行列式(1）....0010...3010...021...321nn .（2）xa a a a x aaa a x a a a a x ............................(3) xa x a x a x a a D nn n 0...01...00..................00...000...100 (011321)---=-.4、证明：(1) 设c b a ,,为互异实数, 证明行列式:ba a c cbc b a cb aD +++=222为零的充要条件是0=++c b a .(2) 0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a .(3）bz ay by ax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++yxzx z yz y x b a )(33+=.5、设行列式 aa a a a a a a a D 20...0012...0000......... (000)...120000...012000 (00122)222=证明 n n a n D )1(+=.6、设5021011321011111---=D ，求14131211432A A A A +++，其中j i A 为行列式中元素j i a 的代数余子式.7、求行列式 2235007022220403--=D 的第四行各元素的余子式之和.8、如果齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+++++000433322111kx kx kx x x x x 有非零解, k 应取什么值?9、λ为何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+---++0002333222111x x x x x x x x x λλ只有零解.10、问μλ,取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===++++++002333222111x x x x x x x x x μμλ有非零解.11、解方程02002003211121=xx x .12、利用范德蒙行列式计算行列式 （1）27181914131211111--.(2) 2222................3 (33)2 (22)1 (11)n n nD n n n =.13、用克莱姆法则解下列线性方程组 （1）⎩⎨⎧=+=+273152y x y x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--=-+44522272532z y x z y x z y x .14、求三次多项式)(x f ，使得16)3(,3)2(,410(,0)1(====-f f f f .15、已知m 阶行列式,a A =n 阶行列式,b B =求*B AO D =的值.第一章 行列式 自测题一、选择题： 1、行列式01221≠--k k 的充分必要条件是（ ）.(A)1-≠k （B ）3≠k(C)1-≠k 且3≠k (D) 1-≠k 或3≠k2、行列式01110212=-kk的充要条件是（ ）.(A)2-=k （B ）3=k(C)2-=k 且3=k (D) 21-=k 或3=k 3、设四阶行列式0=A ，则A 中（ ）.(A) 必有一行元素全为零； (B) 必有两行元素对应成比例；(C) 必有一行元素可以表示为其余各行对应元素的线性关系； (D) 对角线上元素全为零.4、行列式8040703362205010的值为 ( ). (A) 72-； (B) 24-； (C)36-； (D)12-.二、填空题 1、设行列式12211=b a b a ，22211=c a c a ，则=++222111c b a c b a .2、设三阶行列式22=-A ，则=A .3、若三阶行列式6222321332211321=---c c c a b a b a b a a a ， 则行列式 =321321321c c c b b b a a a . 4、设100100200001000-=aa ，则=a . 5、若行列式1333231232221121211==a a a a a a a a a D ， 则行列式=---333231312322212112121111324324324a a a a a a a a a a a a .6、设3214214314324321=A , 则=+++24232221432A A A A .三、计算四阶行列式（1）dcd c b a b a 00000000.（2）1111111111111111--+---+---x x x x四、计算n 阶行列式1...12...1..................3 (11)2 (211)1...3211 (4321)x xxx x x n x x n x n n---.五、设347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f ，求方程0)(=x f 根的个数？六、求方程08814412211111)(32=--=x xxx f 的根.七、如果齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+-+++-0002333222111x x x x kx x kx x x 有非零解, k 应取什么值?八、判定方程组;.0)2(03)3(5;02)2(32132213212⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++-=-+-x a x x x a x x x x a 是否只有零解.九、证明等式 ∑∏=≤≤≤-==414144434241242322214321)(1111i i i j j i x x x x x x x x x x x x x x x A .十、用克莱姆法则解方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1132132523z y x z y x z y x .。
线性代数习题集第一章
线性代数习题集第⼀章第⼀章：⾏列式I.单项选择题 1.排列1,3,,(2n 1),2,4,,(2n)-的逆序数为（）(1) n 1- (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 2.排列1,3,,(21),(2),(22),,2n n n --的逆序数为（）(1) n (2) (n 1)n - (3) (n 1)n + (4) (n 1)/2n - 3．四阶⾏列式中含有因⼦1123a a 的项是（）(1) 11233442a a a a (2) 11233344a a a a (3)11233342a a a a (4) 11233442a a a a -4.⾏列式abac aebdcd de bfcfef---的值是（） (1) 2abcdef (2) 4abcdef (3) 6abcdef (4) 8abcdef 5. 设A 为n 阶⽅阵，λ为数，则A λ等于（） (1) A λ (2) A λ (3) n A λ (4) 2A λ6.设ab cD de f g hi=，则元素h 的代数余⼦式为（） (1)a c gi(2) a cdf -(3) a c g i - (4)a c df7.设⾏列式000000a bcD d e f g h i j=，则D 的值等于（） (1) abdg - (2) abdg (3) abdg ceh fi j -+- (4) abdg ceh fi j ++- 8.设A 为n 阶矩阵，则（）(1) A A -= (2) A A -=- (3) (1)n A A -=- (4) 1A A --=9.设A 为n 阶矩阵，且A 的⾏列式0A a =≠，⽽A *是A 的伴随矩阵，则A *等于（）(1) a (2) 1/a (3) n a (4) 1n a -10.若12312,,,,αααββ都是四维列向量，且1231m αααβ=，1223n ααβα=四阶⾏列式，则32112()αααββ+四阶⾏列式等于（） (1) n m - (2) m n - (3) m n + (4) ()m n -+11.设44? 矩阵[]234,,,A αγγγ= ，[]234,,,B βγγγ=，其中234,,,,αβγγγ均为４维列向量，且已知⾏列式1,1A B ==，则⾏列式A B +等于（） (1)５ (2)10 (3)30 (4)4012.设设A 为m 阶⽅阵，设B 为n 阶⽅阵，且,A a B b ==，00AC B =，则C 等于（）(1) ab (2) ab - (3) (1)nm - (4) (1)nm ab -13.设⾏列式D aba b b a b a a b ab+=++，则D 的值为（）(1) 332()a b -+ (2) 332()a b + (3) 332()a b - (4) 33()a b -+ 14.元素是0和1的三阶⾏列式D 之值只能是（） (1) 3 (2) 3- (3) 4 (4) 0,1,2±± II.填空题1.n 阶⾏列式的完全展开式，应由________项组成，每项位于⾏列式中________的n 个元素的乘机，⽽且项1212n j j nj a a a 的符号为_____.2. n 阶⾏列式1111nn nna a A a a =，则按第i ⾏的展开式为__________;按第j ⾏展开式为__________.3.当A 可逆是1A -=____________.4.设A 是⼀个n 阶⽅阵，k 是⼀个有理数，则kA =________,5.在⾏列式2121113211x x x x j j x-的展开式中，3x 的系数为________,4x 的系数为_________.6.三⾓⾏列式110nn nna a a =_________ 7.⾏列式2111131111411115A ==__________ 8.⾏列式11101210011000000111002A --==--__________ III.判断题1.交换⾏列式中任意两⾏的位置，⾏列式的值不变。
线性代数第一章n阶行列式练习题
线性代数第一章n阶行列式练习题填空01111．设n阶行列式D =10111a131?11?10?11?01?111110，则D的值为．1a11a122a113a12?a114a13?a122．设行列式D =a21a22a23a31a32a33= a ，则行列式D1 =2a213a22?a214a23?a222a313a32?a314a33?a32= ．3．设行列式D =1234234567894567，则D的第3列元素的代数余子式之和为． 4．设f=x1?2101?x11312x14?323x?443xx ，则f的展开式中??的系数为，的系数为，常数项为．5．方程1?2231x2313x4114x= 0 的根x = ．6．当满足条件时线性方程组选择??x1?x2?x3?x4?0??x??x?x?x?0?1234???x1?x2??x3?x4?0??x1?x2?x3??x4?0 只有零解．1．设4阶行列式D =a100b10a2b200b3a30b400a4，则D的值为．a1a2a3a4?b1b2b3b；a1a2a3a4?b1b2b3b；；．?2．设D为n阶行列式，Aij 为D的元素aij 的代数余子式，则．?ai?1n nijAij?= 0；?ai?1ijAij?= D； ?aj?1n n1jA2j?= D ； ?aj?1ijAij?= 0．a11a12?a1na1na1,n?1?a11a21a22?a2n3．设行列式D =a2na2,n?1?a21= aan1an2?ann，则行列式D1 =nannan,n?1?an1= ．n2a ；－a ；a ； a ．4．设f=x?2x?1x?2x?32x?22x?12x?22x?33x?33x?24x?53x?5 4x4x?35x?74x?，则方程f= 0的根的个数为．1 ；；；．a1a1a15．方程a2a3a4?xa4a4a4= 0a2a3?xa2?xa3a2a3a1?x的根为．a1?a2，a3?a；0 ，a1?a2?a3?a4；a1a2a3a，0 ；0 ，?a1?a2?a3?a4．6．设D为n阶行列式，下列命题中错误的是．2n 若D中至少有?－?n?＋?1个元素为0 ，则D = 0 ；若D中每列元素之和均为0 ，则D = 0 ；若D中位于某k行及某l列的交点处的元素都为0 ，且k?＋?l?＞?n ，则D = 0 ；若D的主对角线和次对角线上的元素都为0 ，则D = 0 ．1．答案n?1 ．提示将D化为上三角行列式即得．．答案 4a ．提示利用行列式性质、5变化行列式D1 即得．．答案 0 ．提示A13?A23?A33?A43?=123423451111456．4．答案－、1、－．提示x、x3的系数由4个主对角元的乘积?x2x 确定，常数项为f．5．答案 x = －、1 、．提示将方程左边的行列式化为上三角行列式后展开即得．．答案??≠?1且≠ －．提示齐次线性方程组只有零解的充要条件是系数行列式等于0 ．选择 1．答案．提示利用行列式的Laplace展开定理即得．．答案．提示由定理1.2即得．．答案．提示利用行列式性质2变化行列式D1 即得．．答案．提示先利用行列式性质5将方程f= 0左端的行列式化简，再利用行列式定义判断多项式f的次数．5．答案．提示将方程左边的行列式化为上三角即得．6．答案．提示命题是错误的．反例：100100000010010= 1 ．一. 判断题1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1. 正确答案：!解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j2?anjn，其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有!项. 方法由行列式展开定理a11a12a22?an2a1na2n?ann?a11A11?a12A12a1nA1n，a21?an1而a12A12a1nA1n中不再含有a11，而A11共有!项，所以含有a11的项数是!.注意：含有任何元素a的项数都是!.ij2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij 等于零.a11a12a22?an2a1na2n?ann3、?、n列都加到第一列，则行中的2、解答：将a21?an1列式中有一列元素全为零，所以aij等于零.a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.00b4.解答：方法1按第一列展开 a100b40a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3.方法交换2，4列，再交换2，4行a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40b2a300a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a2D00b4=a1b4b1a2a4b3b2a3.方法Laplace展开定理：设在n行列式 k个行，由这k中任意取定了行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D。
行列式典型例题
下面讨论行列式的计算方法: 行列式计算的基本方法是利用行列式的性质,将行列式化成特殊的行列式,再 求值.常用方法有:降阶法、递推法、折项法、加边法等. 1 2 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 ri r2 2 2 2 2 i2 例6 2 2 3 2 0 0 1 0 2 2 2 n 0 0 0 0 n2
1
-2
.
解
方法一:由行列式的定义 f ( x) 2 x ( x) x 2 x 3 x 2 x 2 x3 x
方法二:按第一行展开,得 f ( x) 2 x
【评注】方法一适用简单情形,方法二适用较复杂情形. 1 1 设 1 1 1 1 左边 1 1 1 1 1 x 1 1 1 2 3 2 4 15 1 x 2 x3 1 1 1 1 x 1 1 1 1 1 1 2 5 1 2 4 8 0 ,求该方程的根. 4 15 0 2 5 12 x 2 x3 1 x x 2 x3 1 8 0 ,即 27 x3
xn
bn
xn
4.与分块矩阵相联系的准三角行列式
Am * O Bn AB Am O * Bn
;
O Bn
Am *
(1) mn A B
* Bn
Am O
.
二. 典型例题
2x 1 2 1 x ,则 x3 的系数是 x
例1
设 f ( x) x x
x 1 2 2 x 4
例5
设 f ( x) 2
,证明 f ( x) 0 有小于 1 的正根.
3 x2 4 x
证 且
方法一: f ( x) 是 x 的多项式,则 f ( x) 在[0，1]上连续,在（0，1）内可导,
(完整版)行列式练习题及答案
一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 00000010020001000ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ-= （ ）. （A ）!n（B ）!)1(2)1(n n n --（C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x x xx f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于n n -2，则此行列式的值等于多少？说明理由.一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．abbb a b b b a D n ΛΛΛΛΛΛΛ=4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛ。
线性代数典型例题
A = C 1,： 2,： 3),B =(：1： 2： 3, j 2 24 3√ 13： 29 3)线性代数第一章行列式典型例题、利用行列式性质计算行列式 、按行（列）展开公式求代数余子式四、抽象行列式的计算或证明1. 设四阶矩阵 A=[2>,3 2,4 3, 4]，B=「,2 2,3 3,4 4],其中2, 3, 4 均为四 维列向量，且已知行列式|A| = 2,|B|=-3,试计算行列式|A - B|.A12. 设A 为三阶方阵，A 为A 的伴随矩阵，且IAI=',试计算行列式2"（3A ） j-2A * 0〕 2 L :O AT3. 设A 是n 阶（n 工2）非零实矩阵，元素a ij与其代数余子式A j 相等，求行列式|A|.2 1 04. 设矩阵 A= 1 2 0 ,矩阵 B 满足 ABA * = 2BA*+E ,则 |B|= ________ .'0 0 1 J5. 设＞1√∙2, : 3均为3维列向量，记矩阵已知行列式D 4 =1 3 1 123 5 1 34 6 2 4 4 7 2=-6，试求 A 41 A 42 与 A 43 ' A 44.三、利用多项式分解因式计算行列式11、tW1 2 —X1 •计算D =151 9-x 22 •设 f(x)=X b b b b X C C C C Xddd ,则方程f (X) =O 有根X = d如果I A ∣=1，那么| B |= __ .五、n阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式1. 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为丄丄,则行列式2 3 4 51IB -E∣= _________ .2. 设A为四阶矩阵，且满足|2E ∙ A∣=0,又已知A的三个特征值分别为-1,1,2，试计算行列式|2A 3E |.第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵1. 设代B, A ■ B都是可逆矩阵，求：（A J■ B」）」.-00021〕000532.设 A =12300,求A JL4580034600一二、讨论抽象矩阵的可逆性1. 设n阶矩阵A满足关系式A3∙ A2- A- E =0,证明A可逆，并求A^l.2. 已知A3 =2E,B = A2 -2A ∙ 2E ,证明B可逆，并求出逆矩阵。
线性代数(经管)第一章 行列式真题
线性代数（经管类）试题1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ） A.32B.1C.2D.38 11.行列式1376954321=_________.21．计算4阶行列式D =8765765465435432.全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题1.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）4.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ11.行列式2010200820092007的值为_________________________.21.计算行列式D =333222c c b b a a c b a c b a +++的值线性代数（经管类）试题2.计算行列式32 3 20 2 0 0 0 5 10 20 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120C.120D.18021.计算5阶行列式D =20 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2全国2010年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题11.行列式2110的值为_________.12.已知A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3221,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.21.求行列式D=.0120101221010210的值全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.4811.行列式1221---k k =0，则k =_________________________.21.计算行列式ba c ccb c a b b a a cb a ------222222线性代数（经管类）试题1．下列等式中，正确的是（ ） A ．B ．3=C ．5D ．11．行列式__________.12．行列式22351011110403--中第4行各元素的代数余子式之和为__________.全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题21．计算4阶行列式D=1234234134124123.全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题11.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.全国2012年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ）A ．-6B ．-3C ．3D ．621．计算行列式1112114124611242-----．全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( ) A.-12B.-6C.6D.1211.行列式11124641636=____________.21.计算行列式D =3512453312012034----全国2012年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦全国2012年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c --=-1，则行列式111222a b c a b c --=A.-1B.0C.1D.211.行列式123111321的值为_________.21.计算行列式D=a b a ba ab ba b a b+++的值.全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题12．四阶行列式中项21321344αααα的符号为________.21．计算四阶行列式1234 1234 1234 1234------.全国2013年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题全国2013年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题1.设行列式111213212223313233a a aa a aa a a=1，则111211132122212331323133342342342a a a aa a a aa a a a---=A.-8B.-6C.6D.811.设行列式12513225a -=0，则a =______. 21.计算行列式123100010001xx x a a a a ---.。
(完整版)第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
线性代数第一章典型习题
0
0 0 x an
(x ai )( x aj )
i 1 j 1
i n
j n
3. 行列式按某一行(列)展开(降阶法)： 例 3：计算 n 阶行列式
2 2 3 D
1 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 n 1 2 2 2 2 2 n
2 2 1 1 3
3 2 2 1 1
4 1 4 2 5
5 1 5 27 2 0
求 A41+ A42+ A43 ;
A44+ A45
解：由条件得 A 41 + A42 + A43 +2( A44 + A45 ) 27
2( A 41 + A42 + A43 ) + A44 + A45 0 解得 A41+ A42+ A43= -9 , A44+ A45=18
以下用归纳法：
，结论成立； 当 n=1 时， D1 假设对 k<n 的自然数成立，则
Dn ( ) Dn Dn 1 2
n n n 1 n 1 n 1 n 1 ( )
x a1 D a1 a1
x a i x a i D x a i
i 1 i 1 i n i 1 i n i n
a1 a2 x a2 a2 x a2
a3
an an an x
解：将各列加到第一列得
a1 x a2 a2 a3 a2 a2 x x an an an
7.加边法(升阶法)： 例 7：证明
1 a1 1 Dn 1 1
第一章行列式专项测试题参考答案(1)
第一章 行列式
1. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性.
(1) 53412
(2)135 (2n −1)246 (2n)
【解析】（1） (53412) = 4 + 2 + 2 + 0 + 0 = 8 ，偶排列；
（2）前 n 个元素135 (2n −1) 相互之间不构成逆序，后 n 个元素 246 (2n) 相互之间也不 构成逆序，因此逆序数为前 n 个元素中的每个元素与后 n 个元素所构成的逆序个数之和.
0 b3 a3
0 0 a2 b2
b4 0 0 a4
b4 a4 0 0
0 0 b3 a3
= (a1a4 − b1b4 ) (a2a3 − b2b3 )
（法二）直接按第 1 行（列）展开，过程略.
a1 + b1 12. 计算行列式 D = a2 + b2
a3 + b3
2a1 − b1 2a2 − b2 2a3 − b3
a11 a12 = −3 a21 a22
a31 a32
a13 a23 + 0 = −3M . a33
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x − 2 x −1 x − 2 x −3
2x − 2 2x −1 2x − 2 2x −3
10. 记行列式
为 f (x) ，则方程 f (x) = 0 的根的个数为
3x − 3 3x − 2 4x − 5 3x − 5
1 2 4 001
2 −5 1 2
−3 7 −1 4
6. 计算行列式 D =
.
5 −9 2 7
4 −6 1 2
【答案】-9
【解析】（化零降阶法）
2 −5 1 2 2 −5 1
线代第1章练习附答案
1 d
的值。
d2 d4
111 1 1
abcd x 【分析】 利用范作范德蒙行列式 D1 a 2 b2 c 2 d 2 x 2 ，则行
a3 b3 c3 d 3 x3 a4 b4 c4 d 4 x4
列式 D 就是行列式 D1 元素 x3 的余子式 M 45 ，即 D M 45
又 D1 (x a)(x b)(x c)(x d)(d a)(d b)(d c)(c a)(c b)(b a)
2341 2 3 4 1 2341
D
10
3412 3 4 1 2 3412
4123 4 1 2 3 4123
1 1 1 1 11 1 1
0 1 2 1 0 1 2 1
10
10
160
0 1 2 1 0 0 4 0
0 3 2 1 0 0 0 4
1 222
2 2 22
3．计算 2 2 3 2 的值。
3
111
111
A. 2
B.1
3
5．下列行列式等于零的是(
3 21
A . 3 2 1
003
B. 0 1 0
0 01
130
C.2
D. 8
3
D)
0 1 0
C． 3 0 0
001
3 1 6
D． 2 2 4
162
0 1 1 1
6．行列式 1 0 1 1
1 0
1 1
第二行第一列元素的代数余子式
A21=（
B）
1 1 1 0
2013 0 0
。
00 0 00 0 0 0 2015
【分析】方法一：此行列式刚好只有 n 个非零元素
第一章行列式专项测试题参考答案(1)
326
=3
1
3 = (−1)3+2 (−1) 3
6 = −9 .
33
0 −1 0
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a2 ab b2
7. 证明 2a a + b 2b = (a − b)3 .
111
【证明】
a2 ab b2 2a a + b 2b 111
c −c
2
3
c −c
1
3
(a −b)(a +b) b(a −b) b2
zxy
【分析】利用行列式运算性质化简. 可按如下步骤操作：第一步，将第一列拆开，得到两行
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列式之和；第二步，利用第一列化简其他列；第三步，化简后提出列的公因子，再化简剩下
的最后一列.
ax + by ay + bz az + bx x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx 【证明】 ay + bz az + bx ax + by = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by
zxy
111 121 14. （1） D = 1 1 3
111
1 1+ a 1
1 1 ; （2） D = 2 2 + a
nn n
1 2
.
n+a
【答案】（1） (n −1)!
；（2）
a
+
n(1 + 2
n)
a n −1
.
【解析】（1）
111 121 D= 1 1 3
第一章 行列式典型例题
第一章 行列式一．行列式的定义和性质1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义例1行列式11110111101111------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2测试点 余子式和代数余子式的概念解析11110111101111------,212121111111(1)10101211101A M +--=-=--=--=--- 答案 B2．行列式按一行或一列展开的公式 1）11,1,2,;(,1,2,)nnijij ij ijij ij nni j A a a A j n A a a A i n ========∑∑2）11 ; 00nn ij ik ij kj i j k j k i A Aa A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 . 测试点 行列式按行(列)展开的定理解 212223212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-34310=---=-例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = .测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零. 解 因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+=所以1x =-3．行列式的性质 1）.T A A =2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4 已知1112132122233132333a a a a a a a a a =，那么111213212223313233222222a a a a a a a a a =---（ ） A.24- B.12- C.6-D. 12测试点 行列式的性质解析 1112131112132122232122233132333132332222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a++=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3测试点 行列式的性质解111111122222223a b c a b ac a b c a b a c +=+=+ 故应选 D 答案 D二．行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开. 4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式例6求4阶行列式1111112113114111的值.测试点 行列式的计算解111411140231131002302103(3)6121101031000311110003--==-=-=---例7计算3阶行列式 .767367949249323123解 (1)(1)(2)(2)(1)(3)1232331002331002032494992004992004090.367677300677300607+-+-=== 例8 计算行列式：x a a aa x a a a ax a a a ax测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 333000300030x a a ax a a a a x a a a a a x a a x ax a a x a D a ax a x a ax a x a a a a xx a a axx a+++-====+-+-3(3)().x a x a =+-例9计算行列式000000000 000000n a b a ba D ab b a=测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算解111111110000000000 ==+(1)(1) 000000n n n n n n n a b a ba D aA bA aMb M a ba bb a++=+-=+-例10计算行列式60001002005006000D =解 36(1)(6)(2)(5)(3)(4)0001100000200200(1)6!0500005060000006D ↔↔↔==-=- 例11设2311248()139********x x x D x =问（1）()D x 中，3x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。
第一章行列式试题及答案
第一章行列式试题及答案选择题（每小题3分，共30分）(A) n (B) n /2 (C) 2 n (D) n (n -1)/2 2x 1 1 在函数f x 2x X 4x中，x 的系数是（） 1 2 X (A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4对换的次数为（ ⑵若 D n =det( a j )=1，则 det( -a j ⑴n 元排列i 1 i 2…i n 经过相邻对换，变为i n …i 2 i 1,则相邻） (D) (-1) n(n -1)/2a 2ab ae1 ab aea 2ab a、 1 ab ae (C) 2ab D 1 be20 t ) 1 be (D)ab b 2b、 a b 1 be2ae be e0 be e 2ae be e fae be 1a b b ea , b, e 两两不同,a a 2e a b b 2e e 20的充要条件是e =0(A) abe =0 (B) a+b+e=O(C)b =-1, e =02 2(D) a =b ,11⑷设 2 2 nn(C) (-1) (A) 1 (B) -1 则n 不可取下面的值是 (A) (ao-(A)7 (B) 2 k +1(k 2) (C) 2 2) (D) 173 2 1 0 0 J0 1 0 (A) 3 2 1 (B) 0 1 0(C) 3 0 0 0 0 1 1 3 00 0 1 下列行列式等于零的是（ ) (D) 行列式D 非零的充分条件是 （A ） D 的所有元素非零 （B ） D 至少有n 个元素非零 （C ） D 的任何两行元素不成比例（D ） 以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 (A)a 21 ab acab b 2bebe ( )2 . e 1a 2ab ae1 0 0ab b 2be0 1 0 ae bee 20 0 1ac(B)a 1b 1a ?b ? b 3 a 3b 4a 4四阶行列式(b 16) (a 3a 4- ttebj(B) (aa 4- bb)a 4b 1)x 12x 22x 3 0齐次线性方程组2X 1 x 2 X 3 0只有零解，3x 1 X 2X 3 0件是（）(A) =0 (B)=2 (C)=1 (D)(C) (a 1b 2- a 2b” (a 3b 4- a 4b 3)(D)(a 1b 4- ⑽ 则 :填空（每小题3分，共15分）(a 2a 3- b 2b 3)(a 2b 3- a 3b 2)应满足的条⑴ 在五阶行列式中，日12日53341日24日35的符号是 ____0 0 0 1 VJ0 0 0 3 2⑵五阶行列式0 0 1 8 —J0 2 07 E J3 0 0 2 61 5 7 8 11112 0 9 63 437则 5A 14+A>4+A 44= ____⑷ 若a , b 是实数，则当a= ___ 且b=.a b0 时，有 b a1 0X| X 2 X 3 ⑸设 X 1, X 2, X 3是方程X +px +q =0的根，则行列式x 3 x 1x 2 X 2 X 3 X|三 计算行列式（每小题6分，共30分）⑵42⑶-150用5, 1,0, 1 替代原行列式中的第四列，按第四列展开，有四证明题(每小题10分，共20分) ⑸0由题意知k x X 1 x X 2 x X 3 0，其中x 的系数为k ，x 的 系数为 k(x 1 x 2 x 3)，与原方程比较，得 k =1，X 1+x 2+x 3=0。
第一章行列式选择填空题
第一章：行列式一、单项选择题()1.+.在下列构成的六阶行列式的展开式的各项中，取“”号的是，()152332445166A a a a a a a ()112632445365B a a a a a a ()215316426435C a a a a a a ()513213442566D a a a a a a A答案：()1112111121212222122212122.,n n nnn n nn n n nna a a a a a a a a a a a D D a a a a a a ------===---设则.()A D -()()1nB D-()C D().T D D B答案：()62533446213..k l ij a a a a a a a 设是6阶行列式的一项，则()5,1,.A k l ==取正号()3,1,..B k l ==取负号()1,5,..C k l ==取负号()1,5,..D k l ==取正号.D 答案：()1122334400004..000a b a b b a b a =()12341234A a a a a b b b b -()12341234+B a a a a b b b b ()()()12123434C a a b b a a b b --()()()23231414D a a b b a a b b --.D 答案：()1112133132332122232122233132331112133335.222.a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ---=---=---如果，则行列式()6A d -()6B d ()4C d()4D d-.B 答案：()32121116..321111xx x x xx-行列式中含有项的系数是()2A ()2B -()1C ()1D -.D 答案:()011110117..11011110行列式=()1A ()3B ()-3C ()0D .C 答案：()22218.1.a ab ac abb bc acbcc +++行列式=()2221001010001a ab ac A ab b bc ac bc c ++()22222111+11a ab ac ab ac B ab b bc ab b bcac bc c ac bc c ++++()222221101+101a ab ac ab ac C ab b bc b bcac bc c bc c ++++()22111a ab ac ab ac D ab b bc ab bcac bc c ac bc +.C 答案：()()()()()()()1111121111112122212111119..nn n n n n n nn n n nn n nnnn a a a a a a a a a a a a D D a a a a a a ------===设,则()A D ()B D-()()1nC D-()2D D.A 答案：()()()21232221222310.0233245354435743.x x x x x x x x f x f x x x x x xx x x --------=-------记行列式为,则方程的根的个数为()1A ()2B ()3C ()4D .B 答案：()2111.,200.111kk k==-若则()2A -()2B()0C ()3D -.A 答案：()21515252112.1122.23030223-=---是按展开的()2A 第列()2B 第行()1C 第列()1D 第行.B 答案：()11121212221213...n nij ij n n nna a a a a a D A a a a a =设行列式，为元素的代数余子式，则下列式中是正确的()11220i i i i in in A a A a A a A +++= ()11220j j j j nj njB a A a A a A +++= ()1122i i i i in inC a A a A a AD +++= ()1122j j j j nj njD a A a A a A D+++= .D 答案：()232334914.571.214a A 行列式的的代数余子式的值为()3A ()3B -()5C ()5D -.C 答案：()12312312323815.22310,.5ax x x ax x x a b x x bx ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩设非其次线性方程组有唯一解，则必须满足()00A a b ≠≠且()302B a b ≠≠且()3322C a b ≠≠且()302D a b ≠≠且.D 答案：二、填空题23425514311.5.ij a a a a a a 阶行列式的项的符号为.答案：负号2.,3154987.i j i j ==当时，排列为奇排列2, 6.i j ==答案：12113..n n n i i i i i i - 排列可经过次对换后变成排列()1.2n n -答案：()4.1,2,31.n n n > 由，,组成的元排列总共有个，其奇排列有个!!,.2n n 答案：()5.43214321.τ排列的逆序数=，该排列的奇偶性为.,5,.答案奇排列()6.365412365412.τ排列的逆序数=，该排列的奇偶性为.11,答案奇排列()()().1221,3n n n n --> 7排列的逆序数为，该排列的奇偶性为()()21:2n n --答案()().23113n n n -> 8排列的逆序数为，该排列的奇偶性为.1,,n n n -答案当是偶数时为奇排列当是奇数时为偶排列.,n ij n ij D a a D a ===-=9若则().1n-答案()5543204320032000._______________.2000000000000x x x f x x x x -=-10已知，则的系数为.0答案211.,n n n -若阶行列式中等于零的元素个数大于则此行列式为____________..0答案12.1n n -非零元素只有个的阶行列式的值是______________..0答案12312312312312312313.8,222___________.a a a c c c b b b b b b c c c a a a =---=若则.16答案010*******.=____________.00014000.4-答案11121321112212231331323315._____________.a a a a a a a a a a a a +++=111213212223313233a a a a a a a a a 答案：111213111213212223212223313233313233-16.333___________.666a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=---18答案：2564100217.__________.4120161a a 中的代数余子式为256100016答案：-18.__________.n ij ij ij ij n D a A M A =阶行列式中元素的代数余子式与余子式之间的关系是()ij1i jM +-答案：41424344419.4,___________.a bc d c b d a D A A A A dbc a a b dc=+++=设阶行列式则0答案：1220.,_______.n n n nn x a aa x a n D A A A a a x=+++阶行列式则()1n x a --答案：1110110121.=___________.101101113-答案：110011022.___________.002002kkk=()()214k k --答案：41121314123.4,___________.ab c d d a c b D A A A A b d c aac c b=+++=设阶行列式则0答案：11121331323321222321222331323311121333324.,222________.a a a a a a a a a d a a a a a a a a a ==---设则6d答案：00.020100n25=__________.()()121!n n n --答案：1000020026.___________.0001000a a n a a n=-()()1!1n nn a ++-答案：000000000027.____________.000000a b a b a a b b a=()11n n na b ++-答案：1000110028._____________.1100011011a a a aa a a a a---=------()()2311a a a -+-答案：3040222229.,4075322D =--设行列式则第行各元素余子式之和的值为_____________.28-答案：12120,30.=___________.0x x x x λλλ+=⎧⎨+=⎩方程组有非零解，则1λ=±答案：1231231230,31.0,0,___________.x x x x x x x x x λλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩若齐次线性方程组只有零解，则应满足条件12λλ≠≠-答案：，()()()12312312332.________1240,230,10,..x x x x x x x x x λλλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩取值时，齐次线性方程组有非零解0,23λλλ===答案：或1231231230,33.0,0,=x x x x x x x x x λλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是______________.答案：1或-2()312302134.01213x x xx f x x x xx-=-多项式中的系数是_______.6-答案：135.20______________..3xx x xx x x xxx++==+代数方程的根611-答案：()()11121314212223243313233344142434436.,x a a a a a x a a a f x f x x a a x a a a a a x a --------=--------设则中的系数是___________.()11223344a a a a -+++答案：1112131437.4913,51,0,6,9,_____________.D t M M M M t +-=-====已知阶行列式的值为，它的第一行元素依次为2,3，且第1行元素的余子式依次为则5答案：444111213141234210038.4,30104001232__________.ij ij ij ij D A D a M D a A M M A =++-=已知阶行列式表示中元素的代数余子式，表示中元素的余子式，则6答案：123210039.__________.3010001n n = ()()121216n n n -++答案：11231232123340.,,,,,_________.A A A A k k k A A A A A A A ==已知分别是阶行列式，则()1213231k k k k k k ++-答案：。
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1.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025********14； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-2605232112131412； （3）⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001 解(1)711025102021421434327c c c c --01142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014--321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412-14r r -0032122130412-=0(3)efcfbfde cd bdae ac ab---=ecbe c be c badf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)dc b a1110011001---21ar r +dc b a ab 1110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab11101--+ 23dc c +01111-+-+cd c ad a ab=23)1)(1(+--cdad ab +-+111=1++++ad cd ab abcd2.证明:(1)1112222b b a abab a+=3)(b a -; (2)bzay byax bx az by ax bx az bzay bxaz bz ay by ax +++++++++=yxzx z y z y x b a )(33+; (3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d dc c c c b b b b a a a a;(4)444422221111dcbad c b a d c b a))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n+-----n n n n a x a xa x ++++=--111 .证明 (1)0122222221312a b a b a ab a ab ac c c c ------=左边 ab ab ab a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bzay byax z by ax bx az y bxaz bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax xby ax bx az z bx az bz ay yb +++++++ ++++++002y by ax zx bx az y zbz ay x a分别再分bzay yxby ax x z bx az z y b +++ zyx y x z x z yb y x zx z y z y x a33+分别再分右边=-+=233)1(y xzx z y zy xb yx zx z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d ddc c c c c b b b b b a a a a a左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a ac c c c c c964496449644964422222++++++++d d ddc c c c b b b b a a a a分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a949494949464222224232423dd c cb b a ac c c c c c c c ----第二项第一项6416416416412222=+dddc c c b b b a a a(4) 444444422222220001adac ab aa d a c ab a a d ac a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c ab b adac ab a d ac a b ---------=)()()(111))()((222a d d a c c ab b a d ac a b ad a c a b ++++++---=⨯---))()((a d a c a b)()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd bc a b +-++-++--+=⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b)()()()(112222b d a b bd db c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-xx a xD D n n n n右边=+=-n n a xD 1所以，对于n 阶行列式命题成立.3.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依 副对角线翻转，依次得nnnn a a a a D 11111=， 11112n nnn a a a a D= ，11113a a a a D n nnn=， 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(. 证明 )det(ij a D =nnn n n n nnn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴=--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a111121)1()1()1(---=-- D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnnn n n a a a a D11112)1(2)1(--=D Dn n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-=D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(4.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaa x a a a x D n=;(3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a aD n n n nnnn ------=---+;提示：利用范德蒙行列式的结果．(4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(10000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n naaa(再按第一行展开)n n n nn a aa+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n aa )1(22-=-a an(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax xa a x xa a x x a a a a x D n ------=00000再将各列都加到第一列上，得ax a x a x a a a an x D n ----+=000000)1()(])1([1a x a n x n --+=-(3)从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nnnn n n n n n n a a a n a a ana a a D )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-∙-∙-=---=1121)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nnnnn d c d c b a b a D 0011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000011111111----展开按第一行00)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i i in D c b d aD 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i iin c b da D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det(--------==n n n n n n n n a D ij n,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++1524232102221002210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a a D +++=11111111121,,433221c c c c c c ---nnn n a a a a a a a a a a +-------10100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------0000000000000000000000022433221n n n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++nn n a a a a a a a a -------000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑+==ni in a a a a5.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x 解 (1)11213513241211111----=D 812735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---=112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=11235122412111512-----=D 811507312032701151-------=31390011230023101151-=28428401910023101151-=----= 42611135232422115113-=----=D14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DD x DD x DD x DD x(2)5165100065100065100065=D 展开按最后一行610510********5-'D D D ''-'=65D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 511651000651000650000611=D 展开按第一列651065100650006+'D46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列51651006500061-651065000610005-36551651065⨯-=1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列5165000610005165061000510065+61051065651650061+=703114619=⨯+= 5100601000051000651010654=D 展开按第四列6105100651006550610005100651--516516565--=395-= 11000051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+15100651006512122111=+=665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ．6.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？ 解 μλμμμλ-==12111113D ，齐次线性方程组有非零解，则03=D 即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.。