上海市闵行区五校高二数学下学期期终联考

上海市闵行区五校08-09学年高二下学期期终联考（数学）
1、关于x 的方程2
40x x k ++=有一个根为23i -+(i 为虚数单位)，则实数
k = ．
2、复数
i
i -+
11
23的虚部是 ． 3、已知复数z 1=3+4i, z 2=t+i ，且z 1·2z 是实数,则实数t 等于 ．. 4、设复数z =cos θ+isin θ, ω= -1+i, 则|z-ω|的最大值是 ．
5、若复数z =_________
6、 若直线0=++c by ax 的一个法向量(3,1)n =, 则这条直线的倾斜角为 ．
7、直线1:2(1)40l x m y +++=与直线2:320l mx y +-=平行，则m 的值为 ． 8、直线l 过点（0，2）且被圆224x y +=所截得的弦长为2，则直线l 的方程为 ． 9、已知P 是抛物线x y 42=上的动点，F 是抛物线的焦点，则线段PF 的中点轨迹方程是 ．
10、以椭圆
221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线22
1916
x y -=的两条渐近线都相切的圆方程_________________。

11、抛物线x y 22=关于直线01=+-y x 对称的抛物线方程是 ．
12、平面直角坐标系xoy 中，不等式1x y -≤≤所表示的区域的面积为 ．
二、选择题（每题3分，共12分） 13、已知复数z=x+yi (x,y ∈R, x ≥
2
1
), 满足|z-1|= x , 那么z 在复平面上对应的点(x,y)的轨迹
是 ( )
A ． 圆
B ． 椭圆
C ． 双曲线
D ． 抛物线
14、设z 1, z 2是复数, 则下列结论中正确的是( )
A ． 若z 12+ z 22>0,则z 12>- z 22
B ． |z 1-z 2|=212214z z z z -+）（
C ． z 12
+ z 22
=0⇔ z 1=z 2=0 D ． |z 12
|=|1z |2
15、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程
13
322
=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) A ．充分不必要条件; B ．必要不充分条件;
C ．充要条件;
D ．既不充分也不必要条件。

16、在三角形ABC 中，已知,sin 2sin sin ),0,1(),0,1(B C A C A =+-且动点B 的轨迹方程（ ）
A.)0(14322<=+x y x ；
B. )0(14
32
2≠=+y y x ； C. )0(13422≠=+y y x ； D. )0(13
42
2<=+x y x 。

三、解答题（共52分）
17、（本题8分）在复数范围内解方程i
i
i z z z +-=
++23)(2
(i 为虚数单位).
18、（本题满分8分）已知关于x 的方程2
(21)380x i x m i --+-=有实根，求实数m 的值及方程的两根.
19、（本题满分12分）已知直线m x y l +=：与抛物线x y 82=交于B A 、两点， (1)若10=AB ，求m 的值； (2)若OB OA ⊥，求m 的值.
20．（本题满分12分）已知抛物线24y x =,椭圆经过点M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。

（1）求椭圆的方程；
（2）若P 是椭圆上的点，设T 的坐标为(,0)t （t 是已知正实数），求P 与T 之间的最短距离。

21、（本题12分）已知(,0)a x =，(1,)b y =，且(3)(3)a b a b +⊥-。

(1)求点),(y x P 的轨迹C 的方程，且画出轨迹C 的草图；
(2)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与上述曲线C 交于不同的两点A 、B ，求实 数k 和m 所满足的条件；
(3)在(2)的条件下，若另有定点D(0,-1)，使|AD|=|BD|，试求实数m 的取值范围。

闵行二中、闵行三中必做部分（30分钟）
（共20分 其中1—4每题3分，第5题8分)
1、已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题： ①若c a c b b a //,,则⊥⊥；
②若c a c b b a ⊥⊥则,,//； ③若b a b a //,,//则ββ⊂；
④若a 与b 异面，且ββ与则b a ,//相交；
⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2、 四边形ABCD 中, AD ∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°. 将△ADB 沿BD 折起, 使平
面ABD ⊥平面BCD, 构成三棱锥A-BCD. 则在三棱锥A-BCD 中, 下列命题正确的是 ( )
x
y
O A B
C
D A
B
C
D
A ． 平面ABD ⊥平面ABC
B ． 平面AD
C ⊥平面BDC C ． 平面ABC ⊥平面BDC
D ．平面ADC ⊥平面ABC
3 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为
4、在长方体1111ABCD A B C D -中，若12,1,3AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成的角θ可用反三角函数值表示为θ=___
5、如图，⊥A P 平面ABCD ，ABCD 为正方形，o PAD 90=∠，且F E AD,PA 、=分别是线段CD PA 、的中点．
（1）求EF 和平面ABCD 所成的角α； （2）求异面直线EF 与BD 所成的角β．
闵行区2008学年高二第二学期期终五校联考数学卷参考答案
一、填空题（每小题3分，共30分）
1、13
2、 2
3、
4
3
41 5、100 6、
32π 7、 -3或2 8、23
3
+±=x y 9、122-=x y 10、()16522
=+-y x 11、)1(2)1(2-=+y x 12、22
π
+
二、选择题（每题3分，共12分）
13、D 14、D 15、A 16、C
三、解答题（共58分）
17、（本题8分）在复数范围内解方程i
i
i z z z +-=
++23)(2
(i 为虚数单位). 解: 原方程化简为i i z z z
-=++1)(2
,
设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2
+y 2
+2xi=1-i, ……………4分 ∴x 2
+y 2
=1且2x=-1,解得x=-21且y=±2
3, ………………7分 ∴原方程的解是z=-21±2
3
i. ……… ……8分
18、（本题满分8分）已知关于x 的方程)(0
83)12(2
R m i m x i x ∈=-+--有实根，求m
的值及方程的两根.
解：设实根
为
a --------------------------------------------------------------------1分
083)12(2=-+--i m a i a
()08232=+-++i a m a a ------------------------------------------------3分
⎩⎨⎧-=-=⇒⎩⎨
⎧=+=++44
82032m a a m a a ----------------------------------------------5分 124221-=+-=+i x x x ，i x 232+=∴-------------------------------7分 i x x m 23,4,421+=-=-=∴------------------------------------------8分
19、（本题满分12分）已知直线m x y l +=：与抛物线x y 82=交于B A 、两点， (1)若10=AB ，求m 的值； (2)若OB OA ⊥，求m 的值. 解：设()()2211,y x B y x A ，、 (1)⇒⎩⎨
⎧=+=x
y m
x y 82
()08222=+-+m x m x ------------------------------1分
()⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+>--=∆⇒2212122280482m x x m
x x m m ------------------------------------- ----------3分 104)(2||22122121=-+=-=x x x x x x AB ，16
7
=m ----5分 2<m ，16
7
=
∴m ---------------------------------------------------------6分
(2) OB OA ⊥ ，02121=+∴y y x x ------------------------------------7分
()()02121=+++m x m x x x ，
()0222121=+++m x x m x x -----------------------------------------9分 ()028222=+-+m m m m ，
082=+m m ，80-==m or m ，---------------------------------11分
经检验8-=m ------------------------------------------------------------12分
20．（本题满分12分）已知抛物线2
4y x =,
椭圆经过点M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。

（1）求椭圆的方程；
（2）若P 是椭圆上的点，设T 的坐标为(,0)t （t 是已知正实数），求P 与T 之间的最短距离。

解：（1）抛物线的焦点为（1，0），设椭圆方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，
则221,a b b -==
所以椭圆方程为22
143
x y +=。

-----------4分
（2）设(,)P x y
，则PT ==
=
(22)x -≤≤。

- ----------7分
① 当102
t <≤
时，4x t =，
即(4,P t
时，min
PT =-----------9
分 ② 当1
2
t >
时，2x =，即(2,0)P 时，min 2PT t =-； -----------11分
综上，min
1212,2
t PT
t t <≤=⎨⎪->
⎪⎩。

-----------12
分
21、（本题12分）已知(,0)a x =，(1,)b y =，且(3)(3)a b a b +⊥-。

(1)求点),(y x P 的轨迹C 的方程，且画出轨迹C 的草图；
(2)若直线)0(:≠+=k m kx y l 与上述曲线C 交于不同的两点A 、B ，求实数k 和m 所满足的条件；
(3)在(2)的条件下，若另有定点D(0,-1)，使
|AD|=|BD|，试求实数m 的取值范围。

解：
(1) ((
-⊥
+⇒0((=-⋅+
-----------1分
⇒2
2
3b a
=⇒
)1(322+=y x - ---------2分
∴),(y x P 的轨迹C 的方程为13
22
=-y x -----------3 其草图如右。

（注：不画渐近线，不得分）．．．．．．．．．．．．．
---------4分 (2)0336)31(0
332
222
2=----⇒⎩⎨⎧=--+=m kmx x k y x m kx y -----------5分 ⎪⎩
⎪⎨⎧⎩⎨⎧+<≠≠⇒>∆≠-13)0(1300312
2
22m k k k k (*) -----------8分
(3)设),(11y x A 、),(22y x B ，A 、B 中点为),(00y x H ，
则2
2
13132
0k km x x x -
+==
，
2
3100k m
m kx y -=+=， -----------9分
由题意，有AB ⊥DH ⇒1-=⋅DH AB k k
⇒11
31331-=+⋅
--k km k m k
---------10分
⇒1432
+=m k ，
代入(*)，得⎪⎩
⎪⎨⎧+<+>+≠+1140141142m m m m -----------11分 ⇒04
1
<<-
m 或4>m 。

-----------12分 闵行二中、闵行三中必做部分（30分钟）
（共20分 其中1—4每题3分，第5题8分)
1、A
2、 D
3、4
2
4
、
5、如图，⊥A P 平面ABCD ，ABCD 为正方形，
o PAD 90=∠，且F E AD,PA 、=分别是 线段CD PA 、的中点．
（1）求EF 和平面ABCD 所成的角α； （2）求异面直线EF 与BD 所成的角β．
答案：解（1）连接AF ，则AFE ∠即为α，……………………………………………2分 在AFE ∆中，可求得5
5
arctan
=α………………… …………………………………4分 （2）取BC 的中点M ，连结EM 、FM ，则FM//BD ，
∴∠EFM （或其补角）就是异面直线EF 与BD 所成的角。

………………………………5分 可求得622=+=
AM EA EM ，同理6=EF ，又22
1
==
BD FM ， ∴在Rt △MFE 中，63
2cos 222=⋅-+=∠FM EF ME FM EF EFM ，…………… ………7分
故异面直线EF 与BD 所成角为6
3
arccos ．……………………………………………8分。