江苏省宿迁市马陵中学高三数学复习第15讲 解析几何的综合问题

一．知识梳理
1．定义
思考1：圆锥曲线的统一定义是什么？ 2．直线与椭圆的位置关系
思考2：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 3．定点、定值、最值问题
思考3：定点问题的证明方法是什么？定值、最值的求解方法有哪些？ 4．存在性问题
思考4：解决存在性问题的一般思路是什么？ 二．预习练习
1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．
2．如图所示，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ，b >0)的左，右焦点，B 是虚轴
的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是________．
3．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．
4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是6
3，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 交
椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1k 2的值为________．
三．典型例题
类型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0，1)在C 1
上．
(1)求椭圆C 1的方程；
(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．
变式训练1 如图，点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的
垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2
c 于点
Q .
(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程； (2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．
类型二 解析几何中的范围问题
例2 如图，设P 为圆O ：x 2＋y 2＝1上位于第一象限内的一点，圆O 与x 轴的交点分别为A ，B ，椭圆C 以A ，B 为两焦点，且经过点P .
(1)求证：椭圆C 的离心率e ＞
22
； (2)设圆O 过点P 的切线为l ，过A ，B 分别作l 的垂线，垂足分别为M ，N ，若四边形AMNB 的面积为1，求点P 的坐标，并求此时椭圆的方程．
变式训练2 如图，设F 为椭圆x 2
＋y 2
b
2＝1(0＜b ＜1)的右焦点，它的短轴的两个端点分别为A ，B ，以F 为
圆心，AF 为半径作圆，P 是椭圆上位于圆F 外的一点，过P 作圆F 的两条切线，切点分别为M ，N . (1)当△AOF 的面积最大时，求椭圆的方程；
(2)若存在点P ，使PM ⊥PN 求椭圆离心率的取值范围．
类型三 圆锥曲线中的定点或定值问题
例3 在直角坐标系xOy 中，椭圆x 2
9＋y 2
4＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A
为椭圆的左顶点．椭圆上的点P 在第一象限，PF 1⊥PF 2，⊙O 的方程为x 2＋y 2＝4.
(1)求点P 坐标，并判断直线PF 2与⊙O 的位置关系；
(2)是否存在不同于点A 的定点B ，对于⊙O 上任意一点M ，都有MB
MA 为常数，若
存在，求所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，说明理由．
变式训练3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)．已
知点(1，e )和⎝
⎛⎭
⎫
e ，
32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． (1)求椭圆的方程．
(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P . (ⅰ)若|AF 1|－|BF 2|＝
6
2
，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：|PF 1|＋|PF 2|是定值．
类型四 圆锥曲线中的定值、最值问题
例3 如图，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫1，1
2到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离
为5
4
.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分．
(1)求p ，t 的值；
(2)求△ABP 的面积的最大值．
四．课后练习
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直， l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．
2．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________．
3．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P .设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于________．
4．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是________．
5．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 的斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的
射影恰好为右焦点F ，若13<k <1
2
，则椭圆离心率的取值范围是________．
6．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2
面积最大时，PF 1→·PF 2→
的值等于________．
7．椭圆x 24＋y 2
3＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积
是________．
8．设O 为坐标原点，F 1，F 2是x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1PF 2＝60°，
|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为________________．
二、解答题(每小题12分，共36分)
9．已知直线(1＋4k )x －(2－3k )y －(3＋12k )＝0(k ∈R )所经过的定点恰好是椭圆C 的一个焦点F ，且椭圆C 上的点到点F 的最小距离为2. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1.试证明：当点P (m ，n )在椭圆C 上时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．
10．已知B 2，B 1分别是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的上、下顶点，F 是C 的右焦点，FB 1＝2，F 到C 的左准线的距离是73
3
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P 是C 上与B 1，B 2不重合的动点，直线B 1P ，B 2P 与x 轴分别交于点M ，N .求证：OM →·ON →
是定值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的中心在原点O ，椭圆与y 轴交于A ，B 两点，其右准线l 与x 轴交于T 点，直线BF 交椭圆于C 点，P 为椭圆上弧AC 上一点．
(1)求证：A ，C ，T 三点共线；
(2)如果BF →＝3FC →，四边形APCB 的面积的最大值为6＋23
，求此时椭圆的方程．。