九年级数学上册 压轴解答题测试卷(含答案解析)

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九年级数学上册 压轴解答题测试卷(含答案解析)
一、压轴题
1.已知P 是⊙O 上一点,过点P 作不过圆心的弦PQ ,在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ,Q 重合),连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O 的半径;
(2)如图2,选接AB ,交PQ 于点M ,点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合),连接ON 、OP ,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB 与ON 的位置关系,并证明.
2.问题提出
(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.
问题探究
(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且
2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.
问题解决
(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.
3.如图,等边ABC 内接于
O ,P 是AB 上任一点(点P 不与点A 、B 重合),连接
AP 、BP ,过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M .
(1)求APC ∠和BPC ∠的度数; (2)求证:ACM BCP △≌△;
(3)若1PA =,2PB =,求四边形PBCM 的面积; (4)在(3)的条件下,求AB 的长度.
4.如图,在矩形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、AD 的中点,连接AC 、EC 、EF 、FC ,且EC EF ⊥.
(1)求证:AEF BCE ∽; (2)若23AC =,求AB 的长;
(3)在(2)的条件下,求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离? 5.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(﹣3,1),点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(1,﹣3),点D 在x 轴上,且点D 在点A 的右侧. (1)求菱形ABCD 的周长;
(2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与AD 相切,且切点为AD 的中点时,连接AC ,求t 的值及∠MAC 的度数;
(3)在(2)的条件下,当点M 与AC 所在的直线的距离为1时,求t 的值.
6.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AB =8,点C 在半径OA 上(点C 与点O 、A 不重合),过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ,连结OD ,过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F .
(1)若ED =BE ,求∠F 的度数:
(2)设线段OC =a ,求线段BE 和EF 的长(用含a 的代数式表示); (3)设点C 关于直线OD 的对称点为P ,若△PBE 为等腰三角形,求OC 的长. 7.如图,函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A (m ,0),B (0,n )两点,m ,n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根,且m <n .
(1)求m ,n 的值以及函数的解析式;
(2)设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ,顶点为点D ,连结BD 、BC 、CD ,求△BDC 面积;
(3)对于(1)中所求的函数y=-x 2+bx +c , ①当0≤x ≤3时,求函数y 的最大值和最小值;
②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ,最小值为q ,若p-q =3,求t 的值. 8.如图1(注:与图2完全相同)所示,抛物线2
12
y x bx c =-++经过B 、D 两点,与x 轴的另一个交点为A ,与y 轴相交于点C . (1)求抛物线的解析式.
(2)设抛物线的顶点为M ,求四边形ABMC 的面积(请在图1中探索)
(3)设点Q 在y 轴上,点P 在抛物线上.要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P 的坐标(请在图2中探索)
9.已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点,且抛物线的对称轴为直线
2x =.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线平移,使顶点与原点重合,已知点(,1)M m -,点A 、B 为抛物线上不重合的两点(B 在A 的左侧),且直线MA 与抛物线仅有一个公共点.
①如图1,当点M 在y 轴上时,过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ,BQ x ⊥轴于点
Q .若APM △与BQO △ 相似, 求直线AB 的解析式;
②如图2,当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时,记A 、B 两点的横坐标分别为a 、
b .当点M 在y 轴上时,直接写出
m a
m b
--的值为 ;当点M 不在y 轴上时,求证:m a
m b
--为一个定值,并求出这个值.
10.如图,在平面直角坐标系中,直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ,B ,∠BAO = 30°.抛物线y = ax 2 + bx + 1(a < 0)经过点A ,B ,过抛物线上一点C (点C 在直线l 上方)作CD ∥BO 交直线l 于点D ,四边形OBCD 是菱形.动点M 在x 轴上从点E (3,0)向终点A 匀速运动,同时,动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动,它们同时到达终点.
(1)求点D 的坐标和抛物线的函数表达式. (2)当点M 运动到点O 时,点N 恰好与点B 重合.
①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ,当点N 在线段FD 上时,设EM = m ,FN = n ,求n
关于m 的函数表达式.
②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值.
11.()1尺规作图1:
已知:如图,线段AB 和直线且点B 在直线上
求作:点C ,使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形. 作图要求:保留作图痕迹,不写作法,做出所有符合条件的点C .
()2特例思考:
如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有______个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用:
如图,AOB 45∠=,点M ,N 在射线OA 上,OM x =,ON x 2=+,点P 是射线OB 上的点.若使点P ,M ,N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个,求x 的值.
12.如图,PA 切⊙O 于点A ,射线PC 交⊙O 于C 、B 两点,半径OD ⊥BC 于E ,连接BD 、DC 和OA ,DA 交BP 于点F ; (1)求证:∠ADC+∠CBD =
1
2
∠AOD ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中相等的线段.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、压轴题
1.(1) ☉O 的半径是3
2
;(2)AB ∥ON ,证明见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连接AB ,根据题意可AB 为直径,再用勾股定理即可. (2) 连接OA , OB ,
OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠,从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠,再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解:(1)连接AB ,
在☉0中,
o APQ BPQ 45∠=∠=, o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴∆在中,22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明:连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.

APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ∆中,OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ,交AB 于点C 在☉0中,OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ,则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=,
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理,勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理,是一道综合题,灵活运用相关知识是解题的关键. 2.(1)12;(2)53;(3)202. 【解析】 【分析】
(1)如图1中,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,通过构造直角三角形,求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
(2)如图示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,确定点P 的位置,利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
(3)解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点
N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、,通过轴对称性质的转化,最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
(1)如解图1所示,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,
135BAC ∠=,
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=,
BD CA ⊥,交CA 延长线于点D , BAD ∴为等腰直角三角形,且90BDA ∠=,
BD AD ∴=,
在BAD 中,,90BD AD BDA =∠=,
222BD AD AB ∴+=,即222BD AB =,
42AB =,
2222(42)32BD AB ∴===,解得:4BD =,
6AC =,
11
641222
ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=.
(2)如解图2所示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,
D 关于AB 的对称点Q ,CQ 交AB 于点P ,
PD PQ ∴=,
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=,
点P 为AB 上的动点,
PC PD CQ ∴+≥,
∴当点P 处于解图2中的位置,PC PD +取最小值,且最小值为CQ 的长度,
点C 为半圆AB 的中点,
90COB ∴∠=,
90BOD COD COB ∠+∠=∠=,
11
903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=,
10AB =, 11
10522
OD AB ∴=
=⨯=, 在Rt ODH △中,由作图知,90OHD ∠=,且30HOD BOD ∠=∠=,
155
,222DH OD QH DH ∴==∴==,
2
22255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=
⎪⎝⎭
, 由作图知,四边形OMQH 为矩形,
553,2OM QH MQ OH ∴==
==
, 515
522
CM OM OC ∴=+=+
=, 2
2
22
15535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
, PC PD ∴+的最小值为53.
(3)如解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、, 点P 关于OA 的对称点S ,点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交
OB 于点F ,
PE SE ∴=,FP FN =,SOA POA ∠=∠,
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==,
.PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=,
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠, E 为OA 上的点,F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥,
∴当点E F 、处于解图3的位置时,PE EF FP ++的长度取最小值,最小值为SN 的长度,
45POA POB AOB ∠+∠=∠=, 45SOA NOB ∴∠+∠=,
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=.
扇形AOB 的半径为20,
20OS ON OP ∴===,
在Rt SON 中,90SON ∠=,20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202.
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容,理解题意,作出辅助线是做题的关键.
3.(1)∠APC=60°,∠BPC=60°;(2)见解析;(315344)219
π
【解析】 【分析】
(1)由△ABC 是等边三角形,可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,由圆周角定理可知∠APC=∠ABC=60°,∠BPC=∠BAC=60°;
(2)利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS 证得两三角形全等即可;
(3)根据CM ∥BP 说明四边形PBCM 是梯形,利用上题证得的两三角形全等判定△PCM 为等边三角形,进而求得PH 的长,利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可; (4)过点B 作BQ ⊥AP ,交AP 的延长线于点Q ,过点A 作AN ⊥BC 于点N ,连接OB ,利用勾股定理求出AB 的长,在△ABC 中,利用等边三角形的性质求出BN ,在△BON 中利用勾股定理求出OB ,最后根据弧长公式求出弧AB 的长. 【详解】
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,
∵=
BC BC,=
AC AC,
∴∠APC=∠ABC=60°,∠BPC=∠BAC=60°;
(2)证明:∵CM∥BP,
∴∠BPM+∠M=180°,
∠PCM=∠BPC,
∵∠BPC=∠BAC=60°,
∴∠PCM=∠BPC=60°,
∴∠M=180°-∠BPM=180°-(∠APC+∠BPC)=180°-120°=60°,∴∠M=∠BPC=60°,
又∵A、P、B、C四点共圆,
∴∠PAC+∠PBC=180°,
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC,
在△ACM和△BCP中,
M BPC
MAC PBC
AC BC
∠=∠


∠=∠

⎪=


∴△ACM≌△BCP(AAS);
(3)∵CM∥BP,
∴四边形PBCM为梯形,
作PH⊥CM于H,
∵△ACM≌△BCP,
∴CM=CP,AM=BP,
又∠M=60°,
∴△PCM为等边三角形,
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3,在Rt△PMH中,∠MPH=30°,

∴S四边形PBCM=1
2
(PB+CM)×PH=
1
2
(2+3)×
2
=
4

(4)过点B 作BQ ⊥AP ,交AP 的延长线于点Q ,过点A 作AN ⊥BC 于点N ,连接OB , ∵∠APC=∠BPC=60°,
∴∠BPQ=60°,
∴∠PBQ=30°, ∴PQ=12
PB=1, ∴在△BPQ 中,2221=3-
∴在△AQB 中,()()2
222=113=7AQ BQ +++ ∵△ABC 为等边三角形,
∴AN 经过圆心O ,
∴BN=12AB=72, ∴22212AB BN -, 在△BON 中,设BO=x ,则ON=
212x -, ∴222721=x x ⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭
, 解得:21 ∵∠BOA =2∠BCA =120°,
∴AB =211202213=1809
ππ⨯.
【点睛】
本题考查了圆周角定理,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定,四边形的面积,勾股定理,弧长公式,是一道比较复杂的几何综合题,解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识.
4.(1)详见解析;(2)23)
12
【解析】
【分析】
(1)由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒,再根据同角的余角相等,得到AFE BEC =∠∠,即可证明相似;
(2)根据矩形的性质和相似三角形的性质,得到222AB BC =,再利用勾股定理,即可求出AB 的长度;
(3)分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ,利用三角形中位线定理,即可求出MN 的长度.
【详解】
(1)证明:在矩形ABCD 中,有90EAF CBE ∠=∠=︒,
∴90AEF AFE ∠+∠=︒,
∵EC EF ⊥,
∴90FEC ∠=︒,
∴90AEF BEC ∠+∠=︒,
∴AFE BEC =∠∠,
∴AEF BCE ∽;
(2)在矩形ABCD 中,有AD=BC ,
∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点,
∴22,2AB AE BE AD AF ===;
∵AEF BCE ∽, ∴AE AF BC BE
=, ∴222AB BC =,
在Rt △ABC 中,由勾股定理得,
222AB BC AC +=,
∴221122
AB AB +=, 解得:22AB =;
(3)如图:
∵△ABC 是直角三角形,
∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处,
同理,△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处, ∴线段MN 为△ACF 的中位线,
∴1124MN AF AD ==, 由(2)知,22222AB BC AD ==, ∴22
AD AB =, ∴22122882MN AB =
==. 【点睛】 本题考查了求三角形外接圆的圆心距,矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理解直角三角形,三角形中位线定理,解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解. 5.(1)菱形的周长为8;(2)t=
65,∠MAC=105°;(3)当t=13或t=13圆M 与AC 相切.
【解析】
试题分析:(1)过点B 作BE ⊥AD ,垂足为E .由点A 和点B 的坐标可知:3AE=1,依据勾股定理可求得AB 的长,从而可求得菱形的周长;(2)记 M 与x 轴的切线为F ,AD 的中点为E .先求得EF 的长,然后根据路程=时间×速度列出方程即可;平移的图形如图3所示:过点B 作BE ⊥AD ,垂足为E ,连接MF ,F 为 M 与AD 的切点.由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°,依据菱形的性质可得到∠FAC=60°,然后证明
△AFM 是等腰直角三角形,从而可得到∠MAF 的度数,故此可求得∠MAC 的度数;(3)如图4所示:连接AM ,过点作MN ⊥AC ,垂足为N ,作ME ⊥AD ,垂足为E .先求得∠MAE=30°,依据特殊锐角三角函数值可得到AE 的长,然后依据3t+2t=5-AE 可求得t 的值;如图5所示:连接AM ,过点作MN ⊥AC ,垂足为N ,作ME ⊥AD ,垂足为E .依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°,然后依据特殊锐角三角函数值可得到
EA=33
,最后依据3t+2t=5+AE .列方程求解即可. 试题解析:(1)如图1所示:过点B 作BE AD ⊥,垂足为E ,
∵()B 1,3-,()A 2,0, ∴BE 3=,AE 1=,
∴22AB AE BE 2=+=,
∵四边形ABCD 为菱形,
∴AB BC CD AD ===,
∴菱形的周长248=⨯=.
(2)如图2所示,⊙M 与x 轴的切线为F ,AD 中点为E ,
∵()M 3,1-,
∴()F 3,0-,
∵AD 2=,且E 为AD 中点,
∴()E 30,
,EF 6=, ∴2t 3t 6+=,
解得6t 5
=. 平移的图形如图3所示:过点B 作BE AD ⊥,
垂足为E ,连接MF ,F 为⊙M 与AD 切点,
∵由(1)可知,AE 1=,BE 3=,
∴tan EAB 3∠=,
∴EAB 60∠=︒,
∴FAB 120∠=︒,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴11FAC FAB 1206022
∠∠=
=⨯︒=︒, ∵AD 为M 切线,
∴MF AD ⊥, ∵F 为AD 的中点,
∴AF MF 1==,
∴AFM 是等腰直角三角形,
∴MAF 45∠=︒,
∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒.
(3)如图4所示:连接AM ,过点作MN AC ⊥,垂足为N ,作ME AD ⊥,垂足为E ,
∵四边形ABCD 为菱形,DAB 120∠=︒,
∴DAC 60∠=︒.
∵AC 、AD 是圆M 的切线
∴MAE 30∠=︒,
∵ME MN 1==.
∴EA 3=, ∴3t 2t 53+=-,
∴3t 15
=-. 如图5所示:连接AM ,过点作MN AC ⊥,垂足为N ,作ME AD ⊥,垂足为E ,
∵四边形ABCD 为菱形,DAB 120∠=︒,
∴DAC 60∠=︒,
∴NAE 120∠=︒,
∵AC 、AD 是圆M 的切线,
∴MAE 60∠=︒,
∵ME MN 1==,
∴3EA =, ∴33t 2t 5+=+
, ∴3t 1=+. 综上所述,当3t 15=-
或3t 115=+时,圆M 与AC 相切. 点睛:此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结:1、分类讨论思想:研究点、直线和圆的位置关系时,就要从不同的位置关系去考虑,即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想:(1)化“曲面”为“平面”(2)化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想:再与圆有关的计算题中,除了直接运用公式进行计算外,有时根据图形的特点,列方程解答,思路清楚,过程简捷.
6.(1)30°;(2)EF=
;(3)CO 的长为或时,△PEB 为等腰三
角形.
【解析】
试题分析:(1)利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可;
(2)首先证明△HBO≌△COD(AAS),进而利用△COD∽△CBF,得出比例式求出EF的长;
(3)分别利用①当PB=PE,不合题意舍去;②当BE=EP,③当BE=BP,求出即可.
试题解析:(1)如图1,连接EO,

∴∠BOE=∠EOD,
∵DO∥BF,
∴∠DOE=∠BEO,
∵BO=EO,
∴∠OBE=∠OEB,
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°,
∵CF⊥AB,
∴∠FCB=90°,
∴∠F=30°;
(2)如图1,作HO⊥BE,垂足为H,
∵在△HBO和△COD中

∴△HBO≌△COD(AAS),
∴CO=BH=a,
∴BE=2a,
∵DO∥BF,
∴△COD∽△CBF,

∴,
∴EF=;
(3)∵∠COD=∠OBE,∠OBE=∠OEB,∠DOE=∠OEB,
∴∠COD=∠DOE,
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上,
若△PEB 为等腰三角形,设CO=x ,∴OP=OC=x ,则PE=EO-OP=4-x ,
由(2)得:BE=2x ,
①当PB=PE ,不合题意舍去;
②当BE=EP ,2x=4-x ,解得:x=,
③当BE=BP ,作BM ⊥EO ,垂足为M ,
∴EM=PE=,
∴∠OEB=∠COD ,∠BME=∠DCO=90°, ∴△BEM ∽△DOC ,
∴,
∴,
整理得:x 2+x-4=0,
解得:x=(负数舍去),
综上所述:当CO 的长为或
时,△PEB 为等腰三角形. 考点:圆的综合题.
7.(1)m =﹣1,n =3,y =﹣x 2+2x +3;(2)S=3;(3)①y 最大值=4;当x =3时,y 最小值=0;②t =﹣1或t =2
【解析】
【分析】
(1)首先解方程求得A 、B 两点的坐标,然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可;
(2)根据解方程直接写出点C 的坐标,然后确定顶点D 的坐标,根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长,根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒,据此求出 △BDC 面积; (3)①确定抛物线的对称轴是1x =,根据增减性可知:1x =时,y 有最大值,当3x =时, y 有最小值;
②分5种情况:1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧;2、当11t +=时;3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧;4、当1t =时,5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧;分别根据增减性可解答.
【详解】
解:(1)m ,n 分别是方程2230x x --=的两个实数根,且 m n <, 用因式分解法解方程:(1)(3)0x x +-=,
11x ∴=-,23x =,
1m ∴=-,3n =,
(1,0)A ∴-,(0,3)B ,
把(1,0)-,(0,3)代入得, 103b c c --+=⎧⎨=⎩,解得23b c =⎧⎨=⎩
, ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++.
(2)令2230y x x =-++=,即2230x x --=,
解得11x =-,23x =,
∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -,(3,0)C ,
1OA ∴=,3OC =,
∴对称轴为1312
x -+==,顶点(1,123)D -++,即 (1,4)D ,

BC = BD ==DC == 222CD DB CB =+,
BCD ∴∆是直角三角形,且90DBC ∠=︒,
∴112322
S BCD BD BC ==⨯⨯=; (3)∵抛物线y =﹣x 2+2x +3的对称轴为x =1,顶点为D (1,4),
①在0≤x ≤3范围内,
当x =1时,y 最大值=4;当x =3时,y 最小值=0;
②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧,当x t =时取得最小值 223q t t =-++,最大值2(1)2(1)3p t t =-++++,
令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=,即 213t -+=,解得1t =-.
2、当11t +=时,此时4p =,3q =,不合题意,舍去;
3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧,
此时4p =,令24(23)3p q t t -=--++=,即 2220t t --=解得:11t =),
21t = );
或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=,即 t =
4、当1t =时,此时4p =,3q =,不合题意,舍去;
5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧,当x t =时取得最大值 223p t t =-++,最小值2(1)2(1)3q t t =-++++,
令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=,解得 2t =.
综上,1t =-或
2t =. 【点睛】
本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式,抛物线的顶点公式,直角三角形的性质和判定,勾股定理的逆定理,最值问题等知识,注意运用分类讨论的思想解决问题.
8.(1)21322y x x =-
++;(2)92;(3)点P 的坐标为:3(2,)2或(4,52-)或(4-,212-
). 【解析】
【分析】
(1)由图可知点B 、点D 的坐标,利用待定系数法,即可求出抛物线的解析式;
(2)过点M 作ME ⊥AB 于点E ,由二次函数的性质,分别求出点A 、C 、M 的坐标,然后得到OE 、BE 的长度,再利用切割法求出四边形的面积即可;
(3)由点Q 在y 轴上,设Q (0,y ),由平行四边形的性质,根据题意可分为:①当AB 为对角线时;②当BQ 2为对角线时;③当AQ 3为对角线时;分别求出三种情况的点P 的坐标,即可得到答案.
【详解】
解:(1)根据题意,抛物线212y x bx c =-
++经过B 、D 两点, 点D 为(2-,52
-),点B 为(3,0),
则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩
, 解得:132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩

∴抛物线的解析式为21322y x x =-++; (2)∵22131(1)2222
y x x x =-++=--+, ∴点M 的坐标为(1,2) 令213022
x x -++=, 解得:11x =-,23x =,
∴点A 为(1-,0);
令0x =,则32y =
, ∴点C 为(0,
32); ∴OA=1,OC=32
, 过点M 作ME ⊥AB 于点E ,如图:
∴2ME =,1OE =,2BE =,
∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =
•++•+•四边形, ∴131313791(2)122222222442
ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形; (3)根据题意,点Q 在y 轴上,则设点Q 为(0,y ),
∵点P 在抛物线上,且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,
如图所示,可分为三种情况进行分析:
①AB 为对角线时,则11PQ 为对角线;
由平行四边形的性质,
∴点E 为AB 和11PQ 的中点,
∵E 为(1,0),
∵点Q 1为(0,y ),
∴点P 1的横坐标为2;
当2x =时,代入21
3
22y x x =-++, ∴3
2y =,
∴点13
(2,)2P ;
②当BQ 2是对角线时,AP 也是对角线,
∵点B (3,0),点Q 2(0,y ),
∴BQ 2中点的横坐标为3
2,
∵点A 为(1-,0),
∴点P 2的横坐标为4,
当4x =时,代入21322y x x =-
++, ∴52
y =-, ∴点P 2的坐标为(4,52
-); ③当AQ 3为对角线时,BP 3也是对角线;
∵点A 为(1-,0),点Q 3(0,y ),
∴AQ 3的中点的横坐标为12-
, ∵点B (3,0),
∴点P 3的横坐标为4-,
当4x =-时,代入21322y x x =-
++, ∴212
y =-, ∴点P 3的坐标为(4-,212
-); 综合上述,点P 的坐标为:3
(2,)2或(4,52-
)或(4-,212-). 【点睛】
本题考查了二次函数的性质,平行四边形的性质,解一元二次方程,以及坐标与图形等知识,解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题,注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析.
9.(1)214y x x =
-;(2)①122
y x =-+,②1,见解析,定值为1 【解析】
【分析】
(1)利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式,再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组,解方程组即可.
(2)①先求出平移后的抛物线解析式,设出直线MA 的解析式1y kx =-,再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,得到21104x kx -+=,令210k ∆=-=,求出k 的值,得出APM ∆为等腰直角三角形,运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=,故AB :
y mx n =+,则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩
即可求出AB 函数关系式. ②当M 在y 轴上时,m=0,再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称,得出a ,b 的
关系,即可求出答案;当M 不在与轴上时,设MA :111y k x k m =--,联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩
,得出2114440x k x k m -++=,令212=16(1)0k k m ∆--=,同理设出MB ,令22216(1)0k k m ∆=--=,故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数
根,得出12k k m +=,即可求出答案.
【详解】
解:(1)设2y=ax +bx+c a (≠0)
,把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2 ∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩
解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩
∴抛物线解析式214
y x x =-. (2)①(0,1)M -,平移后抛物线214y x =
设MA :1y kx =- 则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩,21104x kx -+= 210k ∆=-=
1k ∴=±
又由图,A 在y 轴右侧
故1k =,(2,1)A
2AP PM ∴==,APM ∆为等腰直角三角形
又APM ∆与BQO ∆相似
∴△BQO 为等腰直角三角形,设B (﹣x ,x ),带入抛物线解析式得:
214
x x = 解得x=4或x=0(舍去)
∴B (﹣4,4)
设AB :y mx n =+,把(2,1)A ,B (﹣4,4)带入得:
则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩,122
m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴AB 解析式为:122y x =-
+. ②(i )∵214
y x =关于y 轴对称,M 在y 轴上,且MA ,MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称,
∴a=﹣b ∴m a m b --=0+b 0b
-=1, 故答案是:1;
(ii )设MA :111y k x k m =--, 则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩
, 2114440x k x k m -++=,
此方程仅一个根, 故11422
k a k ==, 且212=16(1)0k k m ∆--=,
同理设MB :221y k x k m =--,
亦有22b k =,
22216(1)0k k m ∆=--=,
故1k ,2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根,
12k k m +=, ()111122122m k m k m a m b m m k k m
---∴===----, 即m a m b
--为一定值1, ∴当点M 不在y 轴上时,
m a m b --为一个定值1. 【点睛】
本题考查的是二次函数综合题型,二次函数待定系数法求函数解析式,二次函数与一元二次方程的综合应用,二次函数与相似三角形的综合应用,解题关键在于理解题意,正确分
析题目,运用数形结合思想进行解题. 10.(1)点D 的坐标为(3,12),抛物线的解析式为24 3?1?3y x x =-++;(2)①31n m =+;②2334
S m m =-+,S 的最大值为93 【解析】
【分析】
(1)由抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1,得到OB=1,根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A 、D 、C 的坐标,再利用待定系数法即可求解;
(2)①在Rt △FEA 中,FB=12
FA=2,FD=FB+BD=3,根据题意设此一次函数解析式为:n km b =+,求得3m =时,2n FB ==,23m =时,3n FD ==,代入
n km b =+,即可求解;
②求得NA 333m =-,过N 作NQ ⊥EA ,得到NQ=12NA=3326
m -,利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式,再利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
(1)∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1,
∴OB=1,
∵∠BAO=30︒,∠BOA=90︒,
∴AB=2OB=2,OA=2222AB OB 213-=-=,∠ABO=60︒,
∴点A 的坐标为(3,0),
又∵四边形OBCD 是菱形,且∠ABO=60︒,
∴OD=CD=OB=1,
∴△DOB 为等边三角形,
∴∠BOD=60︒,∠DOA=30︒,BD=BO=OD=DA=1,
延长CD 交OA 于H ,则CH ⊥OA ,
∴DH=12OD=12,
OH=2
,CH=CD+DH=32, ∴点D 的坐标为
12),点C 的坐标为
32), 将A
0) , C 的坐标为
32)代入抛物线的解析式y = ax 2 + bx + 1,
得:3103314
2a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,
解得:43a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

∴抛物线的解析式为24 ?1?3
y x =-+; (2)①在Rt △FEA 中,∠FAE=30︒,
FA=2AB=4,
∴FB=12
FA=2,FD=FB+BD=3, ∵动点M 、N 同时作匀速直线运动,
∴n 关于m 成一次函数,故设此一次函数解析式为:n km b =+,
当点M 运动到点O 时,点N 恰好与点B 重合,
∴m =2n FB ==,
当点M 运动到点A 时,点N 恰好与点D 重合,
∴m =3n FD ==,
代入n km b =+
,得:23b b
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩,
解得:31k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩

∴此一次函数解析式为:13n m =
+; ②NA=FA
-FN=4- 33n m =-
, 过N 作NQ ⊥EA ,
则NQ=12
NA=32,
∴2
13333224S m m m m ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭, ∵30-<, 当3334
32m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时,在023m ≤≤范围内,
∴133********S ⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
最大. 【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用,涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等.本题涉及知识点较多,综合性较强,难度较大.
11.(1) 见解析;(2) 2,2 ;(3)0或222-或222x <<.
【解析】
【分析】
()1根据等腰三角形的定义,用分类讨论的思想解决问题即可;
()2通过画图分析可得,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;
()3分三种情形讨论求解即可.
【详解】
解:()1如图1中,点1C ,2C ,3C ,4C 即为所求.
()2如图一,当190∠=时,符合()1中条件的点C 有2个;如图二,当160∠=时,符合()1中条件的点C 有2个,
当∠1=90°或∠1=60°时,符合条件的点C 都是在点B 左右各一个,当∠1=60°时,符合条件的点C 如图所示:
故答案为2,2.
()3①如图31-中,当x 0=时,当PM PN =时,有点1P ,当ON OP =时,有点2P ,当NO NP =时,有点3P ,此时有3个P 点.
②如图32-中,当N 与OB 相切于点1P 时,
1OP N 是等腰直角三角形,
1ON 2NP 22∴==,
OM ON MN 222∴=-=,此时有3个P 点. ③如图33-中,当M 经过点O 时,此时只有2个P 点, 如图34-中,M 与OB 相交时,此时有3个P 点,
如图35-中,当M 与OB 相切时,只有2个P 点.
此时OM 22=, 综上所述,当2x 22<<3个P 点.
∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质,尺规作图,直线与圆的位置关系等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
12.(1)详见解析;(2)详见解析;
【解析】
【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD =,根据等腰三角形的性质得到()
111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠,即可得到结论; ()2根据垂径定理得到BE CE =,BD CD =,根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠,根据切线的性质得到90PAO ∠=,求得90OAD DAP ∠+∠=,推出PAF PFA ∠=∠,根据等腰三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】
()1证明:OD BC ⊥,
BD CD ∴=,
CBD DCB ∴∠=∠,
90DFE EDF ∠+∠=,
90EDF DFE ∴∠=-∠,
OD OA =,
()111809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠, 190902
DFE AOD ∴-∠=-∠, 12
DEF AOD ∴∠=∠, DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠,
12
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠; ()2解:OD BC ⊥,
BE CE ∴=,BD CD =,
BD CD ∴=,
OA OD =,
ADO OAD ∴∠=∠,
PA 切O 于点A ,
90PAO ∴∠=, 90OAD DAP ∴∠+∠=, PFA DFE ∠=∠,
90PFA ADO ∴∠+∠=,
PAF PFA ∴∠=∠,
PA PF ∴=.
【点睛】
本题考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,正确的识别图形是解题的关键.。

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