九年级数学上册 压轴解答题测试卷(含答案解析)

九年级数学上册 压轴解答题测试卷（含答案解析）
一、压轴题
1．已知P 是⊙O 上一点，过点P 作不过圆心的弦PQ ，在劣弧PQ 和优弧PQ 上分别有动点A 、B(不与P ，Q 重合)，连接AP 、BP . 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O 的半径；
(2)如图2，选接AB ，交PQ 于点M ，点N 在线段PM 上(不与P 、M 重合)，连接ON 、OP ，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB 与ON 的位置关系，并证明.
2．问题提出
（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．
问题探究
（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且
2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．
问题解决
（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．
3．如图，等边ABC 内接于
O ，P 是AB 上任一点（点P 不与点A 、B 重合），连接
AP 、BP ，过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M ．
（1）求APC ∠和BPC ∠的度数； （2）求证：ACM BCP △≌△；
（3）若1PA =，2PB =，求四边形PBCM 的面积； （4）在（3）的条件下，求AB 的长度．
4．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.
（1）求证：AEF BCE ∽； （2）若23AC =，求AB 的长；
（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？ 5．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（﹣3，1），点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（1，﹣3），点D 在x 轴上，且点D 在点A 的右侧． （1）求菱形ABCD 的周长；
（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与AD 相切，且切点为AD 的中点时，连接AC ，求t 的值及∠MAC 的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M 与AC 所在的直线的距离为1时，求t 的值．
6．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．
（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：
（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）； （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 7．如图，函数y=-x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ）两点，m ，n 分别是方程x 2-2x -3=0的两个实数根，且m ＜n ．
（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；
（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；
②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值． 8．如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线2
12
y x bx c =-++经过B 、D 两点，与x 轴的另一个交点为A ，与y 轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积（请在图1中探索）
（3）设点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上．要使以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标（请在图2中探索）
9．已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点，且抛物线的对称轴为直线
2x =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线平移，使顶点与原点重合，已知点(,1)M m -，点A 、B 为抛物线上不重合的两点（B 在A 的左侧），且直线MA 与抛物线仅有一个公共点．
①如图1，当点M 在y 轴上时，过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ，BQ x ⊥轴于点
Q ．若APM △与BQO △ 相似， 求直线AB 的解析式；
②如图2，当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时，记A 、B 两点的横坐标分别为a 、
b ．当点M 在y 轴上时，直接写出
m a
m b
--的值为 ；当点M 不在y 轴上时，求证：m a
m b
--为一个定值，并求出这个值．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l 分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，∠BAO = 30°．抛物线y = ax 2 + bx + 1（a < 0）经过点A ，B ，过抛物线上一点C （点C 在直线l 上方）作CD ∥BO 交直线l 于点D ，四边形OBCD 是菱形．动点M 在x 轴上从点E （3，0）向终点A 匀速运动，同时，动点N 在直线l 上从某一点G 向终点D 匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点D 的坐标和抛物线的函数表达式． （2）当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合．
①过点E 作x 轴的垂线交直线l 于点F ，当点N 在线段FD 上时，设EM = m ，FN = n ，求n
关于m 的函数表达式．
②求△NEM 面积S 关于m 的函数表达式以及S 的最大值．
11．()1尺规作图1：
已知：如图，线段AB 和直线且点B 在直线上
求作：点C ，使点C 在直线上并且使ABC 为等腰三角形． 作图要求：保留作图痕迹，不写作法，做出所有符合条件的点C ．
()2特例思考：
如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有______个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有______个.
()3拓展应用：
如图，AOB 45∠=，点M ，N 在射线OA 上，OM x =，ON x 2=+，点P 是射线OB 上的点.若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 有且只有三个，求x 的值．
12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝
1
2
∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
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一、压轴题
1．(1) ☉O 的半径是3
2
；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】 【分析】
(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可． (2) 连接OA , OB ,
OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证. 【详解】 解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=， o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ , 在☉0中,
AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又
APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C 在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴ 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键． 2．（1）12；（2）53；（3）202． 【解析】 【分析】
（1）如图1中，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，通过构造直角三角形，求出BD 利用三角形面积公式求解即可.
（2）如图示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，确定点P 的位置，利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案.
（3）解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点
N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、，通过轴对称性质的转化，最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】
（1）如解图1所示，过点B 作BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ，
135BAC ∠=，
180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=，
BD CA ⊥，交CA 延长线于点D ， BAD ∴为等腰直角三角形，且90BDA ∠=，
BD AD ∴=，
在BAD 中，,90BD AD BDA =∠=，
222BD AD AB ∴+=，即222BD AB =，
42AB =，
2222(42)32BD AB ∴===，解得：4BD =，
6AC =，
11
641222
ABC S AC BD ∴=⋅=⨯⨯=．
（2）如解图2所示，作点D 关于AB 的对称点Q ，交AB 于点H ，连接CQ ，交AB 于点P ，连接PD 、OD 、OC ，过点Q 作QM CO ⊥，交CO 延长线于点M ，
D 关于AB 的对称点Q ，CQ 交AB 于点P ，
PD PQ ∴=，
PC PD PC PQ CQ ∴+=+=，
点P 为AB 上的动点，
PC PD CQ ∴+≥，
∴当点P 处于解图2中的位置，PC PD +取最小值，且最小值为CQ 的长度，
点C 为半圆AB 的中点，
90COB ∴∠=，
90BOD COD COB ∠+∠=∠=，
11
903033
BOD COB ∴∠=∠=⨯=，
10AB =， 11
10522
OD AB ∴=
=⨯=， 在Rt ODH △中，由作图知，90OHD ∠=，且30HOD BOD ∠=∠=，
155
,222DH OD QH DH ∴==∴==，
2
22255352OH OD DH ⎛⎫∴=-=-=
⎪⎝⎭
， 由作图知，四边形OMQH 为矩形，
553,2OM QH MQ OH ∴==
==
， 515
522
CM OM OC ∴=+=+
=， 2
2
22
15535322CQ CM MQ ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， PC PD ∴+的最小值为53．
（3）如解图3所示，在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ，作点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，连接OS ON OP EP FP 、、、、， 点P 关于OA 的对称点S ，点P 关于OB 的对称点N ，连接SN ，交OA 于点E ，交
OB 于点F ，
PE SE ∴=，FP FN =，SOA POA ∠=∠，
,NOB POB OS OP ON ∠=∠==，
．PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=，
SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠， E 为OA 上的点，F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥，
∴当点E F 、处于解图3的位置时，PE EF FP ++的长度取最小值，最小值为SN 的长度，
45POA POB AOB ∠+∠=∠=， 45SOA NOB ∴∠+∠=，
454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=．
扇形AOB 的半径为20，
20OS ON OP ∴===，
在Rt SON 中，90SON ∠=，20,90OS ON SON ==∠=
PE EF FP ∴++的长度的最小值为202．
【点睛】
本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容，理解题意，作出辅助线是做题的关键.
3．（1）∠APC=60°，∠BPC=60°；（2）见解析；（315344）219
π
【解析】 【分析】
（1）由△ABC 是等边三角形，可知∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，由圆周角定理可知∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段利用AAS 证得两三角形全等即可；
（3）根据CM ∥BP 说明四边形PBCM 是梯形，利用上题证得的两三角形全等判定△PCM 为等边三角形，进而求得PH 的长，利用梯形的面积公式计算四边形的面积即可； （4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，连接OB ，利用勾股定理求出AB 的长，在△ABC 中，利用等边三角形的性质求出BN ，在△BON 中利用勾股定理求出OB ，最后根据弧长公式求出弧AB 的长. 【详解】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵=
BC BC，=
AC AC，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）证明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四点共圆，
∴∠PAC+∠PBC=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°
∴∠MAC=∠PBC
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，
M BPC
MAC PBC
AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）∵CM∥BP，
∴四边形PBCM为梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM为等边三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴
∴S四边形PBCM=1
2
（PB+CM）×PH=
1
2
(2+3)×
2
=
4
；
（4）过点B 作BQ ⊥AP ，交AP 的延长线于点Q ，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，连接OB ， ∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°， ∴PQ=12
PB=1， ∴在△BPQ 中，2221=3-
∴在△AQB 中，()()2
222=113=7AQ BQ +++ ∵△ABC 为等边三角形，
∴AN 经过圆心O ，
∴BN=12AB=72， ∴22212AB BN -， 在△BON 中，设BO=x ，则ON=
212x -， ∴222721=x x ⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 解得：21 ∵∠BOA ＝2∠BCA ＝120°，
∴AB =211202213=1809
ππ⨯.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，四边形的面积，勾股定理，弧长公式，是一道比较复杂的几何综合题，解题关键是能够掌握并灵活运用全等三角形的判定与性质等知识．
4．（1）详见解析；（2）23）
12
【解析】
【分析】
（1）由矩形的性质得到90EAF CBE ∠=∠=︒，再根据同角的余角相等，得到AFE BEC =∠∠，即可证明相似；
（2）根据矩形的性质和相似三角形的性质，得到222AB BC =，再利用勾股定理，即可求出AB 的长度；
（3）分别找出两个三角形外接圆的圆心M 、N ，利用三角形中位线定理，即可求出MN 的长度.
【详解】
（1）证明：在矩形ABCD 中，有90EAF CBE ∠=∠=︒，
∴90AEF AFE ∠+∠=︒，
∵EC EF ⊥，
∴90FEC ∠=︒，
∴90AEF BEC ∠+∠=︒，
∴AFE BEC =∠∠，
∴AEF BCE ∽；
（2）在矩形ABCD 中，有AD=BC ，
∵E 、F 分别是AB 、AD 的中点，
∴22,2AB AE BE AD AF ===；
∵AEF BCE ∽， ∴AE AF BC BE
=， ∴222AB BC =，
在Rt △ABC 中，由勾股定理得，
222AB BC AC +=，
∴221122
AB AB +=， 解得：22AB =；
（3）如图：
∵△ABC 是直角三角形，
∴△ABC 的外接圆的圆心在AC 中点M 处，
同理，△CEF 的外接圆的圆心在CF 的中点N 处， ∴线段MN 为△ACF 的中位线，
∴1124MN AF AD ==， 由（2）知，22222AB BC AD ==， ∴22
AD AB =， ∴22122882MN AB =
==. 【点睛】 本题考查了求三角形外接圆的圆心距，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形中位线定理，解题的关键是熟练利用所学性质进行证明和求解. 5．（1）菱形的周长为8；（2）t=
65，∠MAC=105°；（3）当t=13或t=13圆M 与AC 相切．
【解析】
试题分析：（1）过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ．由点A 和点B 的坐标可知：3AE=1，依据勾股定理可求得AB 的长，从而可求得菱形的周长；（2）记 M 与x 轴的切线为F ，AD 的中点为E ．先求得EF 的长，然后根据路程=时间×速度列出方程即可；平移的图形如图3所示：过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接MF ，F 为 M 与AD 的切点．由特殊锐角三角函数值可求得∠EAB=60°，依据菱形的性质可得到∠FAC=60°，然后证明
△AFM 是等腰直角三角形，从而可得到∠MAF 的度数，故此可求得∠MAC 的度数；（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．先求得∠MAE=30°，依据特殊锐角三角函数值可得到AE 的长，然后依据3t+2t=5-AE 可求得t 的值；如图5所示：连接AM ，过点作MN ⊥AC ，垂足为N ，作ME ⊥AD ，垂足为E ．依据菱形的性质和切线长定理可求得∠MAE=60°，然后依据特殊锐角三角函数值可得到
EA=33
，最后依据3t+2t=5+AE ．列方程求解即可． 试题解析：（1）如图1所示：过点B 作BE AD ⊥，垂足为E ，
∵()B 1,3-，()A 2,0， ∴BE 3=，AE 1=，
∴22AB AE BE 2=+=，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB BC CD AD ===，
∴菱形的周长248=⨯=．
（2）如图2所示，⊙M 与x 轴的切线为F ，AD 中点为E ，
∵()M 3,1-，
∴()F 3,0-，
∵AD 2=，且E 为AD 中点，
∴()E 30，
，EF 6=， ∴2t 3t 6+=，
解得6t 5
=． 平移的图形如图3所示：过点B 作BE AD ⊥，
垂足为E ，连接MF ，F 为⊙M 与AD 切点，
∵由（1）可知，AE 1=，BE 3=，
∴tan EAB 3∠=，
∴EAB 60∠=︒，
∴FAB 120∠=︒，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴11FAC FAB 1206022
∠∠=
=⨯︒=︒， ∵AD 为M 切线，
∴MF AD ⊥， ∵F 为AD 的中点，
∴AF MF 1==，
∴AFM 是等腰直角三角形，
∴MAF 45∠=︒，
∴MAC MAF FAC 4560105∠∠∠=+=︒+︒=︒．
（3）如图4所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，
∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒，
∴DAC 60∠=︒．
∵AC 、AD 是圆M 的切线
∴MAE 30∠=︒，
∵ME MN 1==．
∴EA 3=， ∴3t 2t 53+=-，
∴3t 15
=-． 如图5所示：连接AM ，过点作MN AC ⊥，垂足为N ，作ME AD ⊥，垂足为E ，
∵四边形ABCD 为菱形，DAB 120∠=︒，
∴DAC 60∠=︒，
∴NAE 120∠=︒，
∵AC 、AD 是圆M 的切线，
∴MAE 60∠=︒，
∵ME MN 1==，
∴3EA =， ∴33t 2t 5+=+
， ∴3t 1=+． 综上所述，当3t 15=-
或3t 115=+时，圆M 与AC 相切． 点睛：此题是一道圆的综合题.圆中的方法规律总结：1、分类讨论思想：研究点、直线和圆的位置关系时，就要从不同的位置关系去考虑，即要全面揭示点、直线和元的各种可能的位置关系.这种位置关系的考虑与分析要用到分类讨论思想.1、转化思想：（1）化“曲面”为“平面”（2）化不规则图形面积为规则图形的面积求解.3、方程思想：再与圆有关的计算题中，除了直接运用公式进行计算外，有时根据图形的特点，列方程解答，思路清楚，过程简捷.
6．（1）30°；（2）EF=
；（3）CO 的长为或时，△PEB 为等腰三
角形．
【解析】
试题分析：（1）利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出即可；
（2）首先证明△HBO≌△COD（AAS），进而利用△COD∽△CBF，得出比例式求出EF的长；
（3）分别利用①当PB=PE，不合题意舍去；②当BE=EP，③当BE=BP，求出即可．
试题解析：（1）如图1，连接EO，
∵
∴∠BOE=∠EOD，
∵DO∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵BO=EO，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）如图1，作HO⊥BE，垂足为H，
∵在△HBO和△COD中
，
∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=a，
∴BE=2a，
∵DO∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴
∴，
∴EF=；
（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PEB 为等腰三角形，设CO=x ，∴OP=OC=x ，则PE=EO-OP=4-x ，
由（2）得：BE=2x ，
①当PB=PE ，不合题意舍去；
②当BE=EP ，2x=4-x ，解得：x=，
③当BE=BP ，作BM ⊥EO ，垂足为M ，
∴EM=PE=，
∴∠OEB=∠COD ，∠BME=∠DCO=90°， ∴△BEM ∽△DOC ，
∴，
∴，
整理得：x 2+x-4=0，
解得：x=（负数舍去），
综上所述：当CO 的长为或
时，△PEB 为等腰三角形． 考点：圆的综合题．
7．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2
【解析】
【分析】
（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；
②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【详解】
解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <， 用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，
11x ∴=-，23x =，
1m ∴=-，3n =，
(1,0)A ∴-，(0,3)B ，
把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，
解得11x =-，23x =，
∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，
1OA ∴=，3OC =，
∴对称轴为1312
x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，
∴
BC = BD ==DC == 222CD DB CB =+，
BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，
∴112322
S BCD BD BC ==⨯⨯=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），
①在0≤x ≤3范围内，
当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；
②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，
令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．
2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，
21t = )；
或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =
4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，
令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．
综上，1t =-或
2t =． 【点睛】
本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．
8．（1）21322y x x =-
++；（2）92；（3）点P 的坐标为：3(2,)2或（4，52-）或（4-，212-
）． 【解析】
【分析】
（1）由图可知点B 、点D 的坐标，利用待定系数法，即可求出抛物线的解析式；
（2）过点M 作ME ⊥AB 于点E ，由二次函数的性质，分别求出点A 、C 、M 的坐标，然后得到OE 、BE 的长度，再利用切割法求出四边形的面积即可；
（3）由点Q 在y 轴上，设Q （0，y ），由平行四边形的性质，根据题意可分为：①当AB 为对角线时；②当BQ 2为对角线时；③当AQ 3为对角线时；分别求出三种情况的点P 的坐标，即可得到答案．
【详解】
解：（1）根据题意，抛物线212y x bx c =-
++经过B 、D 两点， 点D 为（2-，52
-），点B 为（3，0），
则2215(2)22213302b c b c ⎧-⨯--+=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩
， 解得：132b c =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
∴抛物线的解析式为21322y x x =-++； （2）∵22131(1)2222
y x x x =-++=--+， ∴点M 的坐标为（1，2） 令213022
x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点A 为（1-，0）；
令0x =，则32y =
， ∴点C 为（0，
32）； ∴OA=1，OC=32
， 过点M 作ME ⊥AB 于点E ，如图：
∴2ME =，1OE =，2BE =，
∴111()222ABMC S OA OC OC ME OE BE ME =
•++•+•四边形， ∴131313791(2)122222222442
ABMC S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=++=四边形； （3）根据题意，点Q 在y 轴上，则设点Q 为（0，y ），
∵点P 在抛物线上，且以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
如图所示，可分为三种情况进行分析：
①AB 为对角线时，则11PQ 为对角线；
由平行四边形的性质，
∴点E 为AB 和11PQ 的中点，
∵E 为（1，0），
∵点Q 1为（0，y ），
∴点P 1的横坐标为2；
当2x =时，代入21
3
22y x x =-++， ∴3
2y =，
∴点13
(2,)2P ；
②当BQ 2是对角线时，AP 也是对角线，
∵点B （3，0），点Q 2（0，y ），
∴BQ 2中点的横坐标为3
2，
∵点A 为（1-，0），
∴点P 2的横坐标为4，
当4x =时，代入21322y x x =-
++， ∴52
y =-， ∴点P 2的坐标为（4，52
-）； ③当AQ 3为对角线时，BP 3也是对角线；
∵点A 为（1-，0），点Q 3（0，y ），
∴AQ 3的中点的横坐标为12-
， ∵点B （3，0），
∴点P 3的横坐标为4-，
当4x =-时，代入21322y x x =-
++， ∴212
y =-， ∴点P 3的坐标为（4-，212
-）； 综合上述，点P 的坐标为：3
(2,)2或（4，52-
）或（4-，212-）． 【点睛】
本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，以及坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行解题，注意利用分类讨论和数形结合的思想进行分析．
9．（1）214y x x =
-；（2）①122
y x =-+，②1，见解析，定值为1 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法把点(4,0)、(2,3)-代入解析式，再结合抛物线对称轴方程得到三元一次方程组，解方程组即可．
（2）①先求出平移后的抛物线解析式，设出直线MA 的解析式1y kx =-，再联立抛物线解析式2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，得到21104x kx -+=，令210k ∆=-=，求出k 的值，得出APM ∆为等腰直角三角形，运用APM ∆与BQO ∆相似得出90BQO APM ∠=∠=，故AB ：
y mx n =+，则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩
即可求出AB 函数关系式． ②当M 在y 轴上时，m=0，再根据图像对称性可得A 、B 两点关于y 轴对称，得出a ，b 的
关系，即可求出答案；当M 不在与轴上时，设MA ：111y k x k m =--，联立抛物线解析式112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩
，得出2114440x k x k m -++=，令212=16(1)0k k m ∆--=，同理设出MB ，令22216(1)0k k m ∆=--=，故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数
根，得出12k k m +=，即可求出答案．
【详解】
解：（1）设2y=ax +bx+c a （≠0）
，把点(4,0)、(2,3)-代入 ∵对称轴为x=2 ∴164042322a b c a b c b a ⎧⎪++=⎪-+=⎨⎪⎪-=⎩
解得1410a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩
∴抛物线解析式214
y x x =-． （2）①(0,1)M -，平移后抛物线214y x =
设MA ：1y kx =- 则联立2114y kx y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩，21104x kx -+= 210k ∆=-=
1k ∴=±
又由图，A 在y 轴右侧
故1k =，(2,1)A
2AP PM ∴==，APM ∆为等腰直角三角形
又APM ∆与BQO ∆相似
∴△BQO 为等腰直角三角形，设B （﹣x ，x ），带入抛物线解析式得：
214
x x = 解得x=4或x=0(舍去)
∴B （﹣4,4）
设AB ：y mx n =+，把(2,1)A ，B （﹣4,4）带入得：
则2144m n m n +=⎧⎨-+=⎩，122
m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴AB 解析式为：122y x =-
+． ②（i ）∵214
y x =关于y 轴对称，M 在y 轴上，且MA ，MB 与抛物线只有一个交点 ∴A 、B 两点关于y 轴对称，
∴a=﹣b ∴m a m b --=0+b 0b
-=1， 故答案是：1；
（ii ）设MA ：111y k x k m =--， 则联立112114y k x k m y x =--⎧⎪⎨=⎪⎩
， 2114440x k x k m -++=，
此方程仅一个根， 故11422
k a k ==， 且212=16(1)0k k m ∆--=，
同理设MB ：221y k x k m =--，
亦有22b k =，
22216(1)0k k m ∆=--=，
故1k ，2k 为方程210x mx --=不相等两个实数根，
12k k m +=， ()111122122m k m k m a m b m m k k m
---∴===----， 即m a m b
--为一定值1， ∴当点M 不在y 轴上时，
m a m b --为一个定值1． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合题型，二次函数待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的综合应用，二次函数与相似三角形的综合应用，解题关键在于理解题意，正确分
析题目，运用数形结合思想进行解题． 10．（1）点D 的坐标为(3，12)，抛物线的解析式为24 3?1?3y x x =-++；（2）①31n m =+；②2334
S m m =-+，S 的最大值为93 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，得到OB=1，根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A 、D 、C 的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）①在Rt △FEA 中，FB=12
FA=2，FD=FB+BD=3，根据题意设此一次函数解析式为：n km b =+，求得3m =时，2n FB ==，23m =时，3n FD ==，代入
n km b =+，即可求解；
②求得NA 333m =-，过N 作NQ ⊥EA ，得到NQ=12NA=3326
m -，利用面积公式得到S 关于m 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，
∴OB=1，
∵∠BAO=30︒，∠BOA=90︒，
∴AB=2OB=2，OA=2222AB OB 213-=-=，∠ABO=60︒，
∴点A 的坐标为(3，0)，
又∵四边形OBCD 是菱形，且∠ABO=60︒，
∴OD=CD=OB=1，
∴△DOB 为等边三角形，
∴∠BOD=60︒，∠DOA=30︒，BD=BO=OD=DA=1，
延长CD 交OA 于H ，则CH ⊥OA ，
∴DH=12OD=12，
OH=2
，CH=CD+DH=32， ∴点D 的坐标为
12)，点C 的坐标为
32)， 将A
0) ， C 的坐标为
32)代入抛物线的解析式y = ax 2 + bx + 1，
得：3103314
2a a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，
解得：43a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
，
∴抛物线的解析式为24 ?1?3
y x =-+； （2）①在Rt △FEA 中，∠FAE=30︒，
FA=2AB=4，
∴FB=12
FA=2，FD=FB+BD=3， ∵动点M 、N 同时作匀速直线运动，
∴n 关于m 成一次函数，故设此一次函数解析式为：n km b =+，
当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合，
∴m =2n FB ==，
当点M 运动到点A 时，点N 恰好与点D 重合，
∴m =3n FD ==，
代入n km b =+
，得：23b b
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，
解得：31k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
，
∴此一次函数解析式为：13n m =
+； ②NA=FA
-FN=4- 33n m =-
， 过N 作NQ ⊥EA ，
则NQ=12
NA=32，
∴2
13333224S m m m m ⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， ∵30-<， 当3334
32m =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时，在023m ≤≤范围内，
∴133********S ⎛⎫=⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭
最大． 【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．
11．(1) 见解析；(2) 2，2 ；(3)0或222-或222x <<.
【解析】
【分析】
()1根据等腰三角形的定义，用分类讨论的思想解决问题即可；
()2通过画图分析可得，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；
()3分三种情形讨论求解即可．
【详解】
解：()1如图1中，点1C ，2C ，3C ，4C 即为所求．
()2如图一，当190∠=时，符合()1中条件的点C 有2个；如图二，当160∠=时，符合()1中条件的点C 有2个，
当∠1=90°或∠1=60°时，符合条件的点C 都是在点B 左右各一个，当∠1=60°时，符合条件的点C 如图所示：
故答案为2，2．
()3①如图31-中，当x 0=时，当PM PN =时，有点1P ，当ON OP =时，有点2P ，当NO NP =时，有点3P ，此时有3个P 点．
②如图32-中，当N 与OB 相切于点1P 时，
1OP N 是等腰直角三角形，
1ON 2NP 22∴==，
OM ON MN 222∴=-=，此时有3个P 点． ③如图33-中，当M 经过点O 时，此时只有2个P 点， 如图34-中，M 与OB 相交时，此时有3个P 点，
如图35-中，当M 与OB 相切时，只有2个P 点．
此时OM 22=， 综上所述，当2x 22<<3个P 点．
∴满足条件的x 的值为0或222或2x 22<<
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，尺规作图，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到()
111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
()1证明：OD BC ⊥，
BD CD ∴=，
CBD DCB ∴∠=∠，
90DFE EDF ∠+∠=，
90EDF DFE ∴∠=-∠，
OD OA =，
()111809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902
DFE AOD ∴-∠=-∠， 12
DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，
12
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，
BE CE ∴=，BD CD =，
BD CD ∴=，
OA OD =，
ADO OAD ∴∠=∠，
PA 切O 于点A ，
90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，
90PFA ADO ∴∠+∠=，
PAF PFA ∴∠=∠，
PA PF ∴=．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。