高中数学第三章基本初等函数Ⅰ3.2对数与对数函数3同步练习新人教B版必修4

学 习 资 料 专 题
3.2.3 指数函数与对数函数的关系
1．将函数y ＝3x －2
的图象向左平移两个单位，再将所得图象关于直线y ＝x 对称后所得图象的函数解析式为( )
A ．y ＝4＋log 3x
B ．y ＝log 3(x －4)
C ．y ＝log 3x
D ．y ＝2＋log 3x
2．已知函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝f －1(x)，则函数y ＝f －1
(1－x)的图象是( )
3．函数y ＝log 1
2
x(x>2)的反函数是( )
A ．y ＝2x
(x<－1)
B ．y ＝(12)x
(x>－1)
C ．y ＝2－x
(x<－1)
D ．y ＝(12
)－x
(x>－1)
4．若函数f(x)＝a x
(a ＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝__________.
5．如果函数f(x)＝(3－a)x
，g(x)＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．
1．给出下列四个命题：
①函数y ＝f －1
(x)的反函数是y ＝f(x)；
②若点M(a ，b)在y ＝f(x)的图象上，且其反函数存在，则点M 1(b ，a)一定在y ＝f －1
(x)的图象上；
③关于直线y ＝x 成轴对称的两个图形一定是互为反函数的一对函数的图象；
④因为函数y ＝f(x)和其反函数y ＝f －1
(x)的图象关于直线y ＝x 对称，所以y ＝f(x)与y ＝f －1
(x)的图象不能相交．其中错误的有…( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．函数y ＝1－x
x
(x≠0)的反函数的图象大致是…( )
3．函数f(x)＝log a (3x －1)(a>0且a≠1)的反函数的图象过定点( )
A ．(1,0)
B ．(0,1)
C ．(0，23)
D ．(2
3，0)
4．已知函数f(x)＝log 3(4x ＋2)，则方程f －1
(x)＝4的解x ＝________.
5．已知函数f(x)＝a x －k 的图象过点(1,3)，其反函数f －1
(x)的图象过(2,0)点，则f(x)的表达式为________．
6．已知函数f(x)＝a mx (a>0，且a≠1)(m∈R ，m≠0)，求f －1
[f(－x)]的表达式．
7．函数f(x)与g(x)＝(12
)x 的图象关于直线y ＝x 对称，求f(4－x 2
)的单调递增区间．
1．已知函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)的图象如图所示，函数y ＝g(x)的图象与y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝g(x)的解析式为( )
2．已知函数f(x)＝log a (2x
＋b －1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系
是( )
A ．0<a －1
<b<1
B ．0<b<a －1
<1
C ．0<b －1
<a<1
D ．0<a －1<b －1
<1
3．已知函数f(x)＝lg(a x －b x
)(a>1>b>0)，若x ∈(1，＋∞)时f(x)>0恒成立，则( ) A ．a －b>1 B ．a －b≤1 C ．a －b<1 D ．a －b≥1
4．已知函数f(x)＝2log 12x 的值域是[－1,1]，则函数f －1
(x)的值域是( )
A ．[
2
2
，2] B ．[－1,1]
C ．[1
2，2]
D ．(－∞，
2
2
]∪[2，＋∞) 5．函数y ＝f(x)的图象过(0,1)点，则函数g(x)＝f(4－x)的反函数图象过点________．
6．设函数f(x)的图象关于点(1,2)对称，且存在反函数f －1(x)，f(4)＝0，则f －1
(4)＝________.
7．已知α是方程x ＋lgx ＝3的根，β是方程x ＋10x
＝3的根，则α＋β＝________.
8．若函数f(x)＝lg 1＋2x ＋a·4
x
3
，若x∈(－∞，1]时有意义，求实数a 的取值范围．
9．若a∈R ，f(2x)＝a·4x
＋a －21＋4
x
，且f(x)为奇函数，求f(x)的反函数f －1
(x)及其定义域．
10．已知函数f(x)＝3x 2
－8(m －1)x ＋5在[－1，＋∞)上为增函数， (1)求实数m 的最大值M ；
(2)在(1)的条件下解关于x 的不等式：
(其中a>0，a≠1)．
答案与解析 课前预习
1．C 由题意，y ＝3x －2
的图象向左平移两个单位后，得到y ＝3x
的图象，再关于直线y ＝x 对称后得到y ＝log 3x 的图象．
2．C 函数y ＝log 2x 的反函数为y ＝2x
，
∴f(1－x)＝21－x
＝(12
)x －1，
即是由y ＝(12)x
的图象向右平移了1个单位所得到．
3．C y ＝log 1
2x ＝－log 2x ，∴log 2x ＝－y.
∴x＝2－y ，即y ＝2－x
.
∵x>2时，log 1
2
x<－1，
∴y＝2－x
(x<－1)． 4.12 由题意可知f(x)＝a x 的图象经过(－1,2)，即a －1
＝2，∴a＝12
. 5．(1,2) 由题意得⎩⎪⎨
⎪⎧
0<3－a<1，0<a<1
或⎩⎪⎨⎪
⎧
3－a>1，a>1.
解得1<a<2.
课堂巩固
1．B ③和④错误，③中关于直线y ＝x 成轴对称的两个图形不一定是函数图象；④中
若两函数为y ＝(12)x 和y ＝log 1
2x ，则两图象一定相交．
2．B 由y ＝1－x
x
(x≠0)，得xy ＝1－x ，
∴x＝11＋y .∴反函数为y ＝1x ＋1，其图象是由y ＝1
x
的图象向左平移一个单位得到的．
3．C ∵f(x)＝log a (3x －1)的图象过定点(23，0)，∴它的反函数过定点(0，2
3
)．
4．1 根据互为反函数的自变量和因变量的互换关系，得f(4)＝log 3(4
4
＋2)＝log 33＝1，
∴方程f －1
(x)＝4的解为x ＝1.
5．f(x)＝2x ＋1 ∵y＝f －1
(x)的图象过点(2,0)，∴y＝f(x)的图象经过(0,2)点，∴2＝a 0
－k.
∴k＝－1.
又∵y＝f(x)的图象过点(1,3)，∴3＝a ＋1.
∴a＝2.∴f(x)＝2x
＋1.
6．解：令f(x)＝a mx
＝y ，则mx ＝log a y ，
∴x＝1
m
log a y.
∴f －1
(x)＝1m ·log a x.
又f(－x)＝a －mx
，
∴f －1[f(－x)]＝1m ·log a a －mx
，
即f －1
[f(－x)]＝1m
·(－mx)＝－x.
点评：求函数y ＝f(x)的反函数的步骤：(1)确定y ＝f(x)的值域；(2)把函数y ＝f(x)看作一个方程，用y 把x 表示出来；(3)把x ，y 互换，写出原函数的反函数，并注意反函数的定义域．
7．解：∵函数f(x)与g(x)＝(12
)x
的图象关于直线y ＝x 对称，
∴函数f(x)与g(x)互为反函数．
∴f(x)＝log 1
2
x.
∴f(4－x 2)＝log 12
(4－x 2)，它是一个复合函数，令t ＝4－x 2，由4－x 2
>0得x∈(－2,2)，
又对称轴为x ＝0，∴t＝4－x 2
在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，又y ＝log 12
t 为
单调递减函数，由“同增异减”判断可得，函数y ＝log 12
(4－x 2
)在(－2,0)上单调递减，在
(0,2)上单调递增． 课后检测
1．C 由图象可知f(x)＝log a x(a>0，a≠1)过点(2，－1)，∴log a 2＝－1.∴a＝1
2
.
∴f(x)＝log 12x.∴g(x)＝(12)x
.
2．A 令u ＝2x
＋b －1，y ＝log a u ，由复合函数的单调性可判断a>1，又∵f(0)>－1，
∴log a b>－1.∴b>a －1.∴0<a －1
<b<1.
3．D 由lg(a x －b x )>0可得a x －b x >1在(1，＋∞)上恒成立，又u(x)＝a x －b x
(a>1>b>0)为单调递增函数，∴只需u(1)≥1即可，即a －b≥1.
4．A ∵互为反函数的两个函数的定义域与值域发生互换，∴要求f －1
(x)的值域，只需求f(x)的定义域．∵f(x)的值域为[－1,1]，
∴－1≤2log 12x≤1.∴x∈[2
2
，2]．
5．(1,4) ∵f(x)的图象过(0,1)，∴f(－x)的图象也过点(0,1)，∴f(4－x)的图象过点(4,1)，
∴g(x)的反函数的图象经过点(1,4)． 6．－2 ∵f(x)的图象关于点(1,2)对称，且f(4)＝0，(4,0)关于点(1,2)的对称点为(－2,4)，
∴其反函数必过点(4，－2)．
7．3 方程x ＋lgx ＝3，即为lgx ＝3－x ；方程x ＋10x
＝3即为10x
＝3－x ，又y ＝lgx
与y ＝10x 的图象关于y ＝x 对称，作出y ＝lgx ，y ＝10x
，y ＝3－x ，y ＝x 的图象易得x ＋y ＝3.
8．解：∵f(x)＝lg 1＋2x ＋a·4
x
3
在(－∞，1]上有意义，
∴1＋2x ＋a·4x
>0在(－∞，1]上恒成立．
∵4x
>0，∴a>－[(14)x ＋(12)x ]在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝－[(14)x ＋(12)x
]，x∈(－∞，1]，
则由－(14)x 与－(12
)x
在(－∞，1]上均为增函数，可知g(x)在(－∞，1]上也为增函数．
因为g(1)有意义，所以g(x)<g(1)＝－(14＋12)＝－3
4
.
因为a>－[(14)x ＋(12
)x
]在(－∞，1]上恒成立，
所以a≥g(1)，即a≥－3
4.
故a 的取值范围为[－3
4
，＋∞)．
点评：将问题转化为1＋2x ＋a·4x
>0在(－∞，1]上恒成立是解题关键，然后求变量a 的取值范围，常用方法是先将其分离出来，再利用单调性求最值．
9．解：令2x ＝t ，∵f(2x)＝a·22x
＋a －2
22x
＋1
， ∴f(t)＝a·2t
＋a －2
1＋2t
. ∴f(x)＝a·2x
＋a －2
1＋2
x
. ∵f(x)为奇函数，且f(x)的定义域为R ， ∴f(0)＝0，解得a ＝1.
∴f(x)＝2x
－12x ＋1，则2x
＝1＋y 1－y
>0.
∴－1<y<1.
∴f －1
(x)＝log 21＋x 1－x
，－1<x<1.
10.解：(1)由题意知8(m －1)
2×3
≤－1，
∴m≤14
.
∴m 的最大值M ＝1
4
.
(2)不等式可化为log 14[14(4－a x )]≤log 14(a x －1)2
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
14(4－a x
)≥(a x
－1)2
⇒a x
≤7
4.
⎭
⎪⎬⎪
⎫4－a x
>0a x
－1>0⇒1<a x
<4.
∴1<a x
≤74
.
∴当a>1时，不等式的解集为{x|0<x≤log a 7
4}；
当0<a<1时，不等式的解集为{x|log a 7
4
≤x<0}．。