向量形式的四边形中位线公式

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向量形式的四边形中位线公式
一位中学老师求助他学生提出来的一个问题：为什么三角形和梯形有中位线，而一般四边形没有中位线？
我的解释是：中位线的前提容易满足，连接两个中点而已。

但同时也要看连接之后有没有意义。

三角形和梯形的中位线，与已有边平行，为研究图形边角关系架构了桥梁。

而连接一般四边形对边的两个中点，没有能够构成平行线，这样的中位线意义不大。

但凡事也不是绝对的。

引进向量之后，向量形式的四边形中位线公式作用很大。

四边形中位线的向量形式：任意四边形ABCD 中（这四点无需在同一平面上，所以推广
到空间也是很自然的），M ，N 分别是AD ，BC 中点，则2MN AB DC =+u u u u r u u u r u u u r 。

证明：如图1，2()()MN MD DC CN MA AB BN =+++++u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()()MD MA BN CN AB DC AB DC =+++++=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r
u u u r 。

图1 图2
此结论包括下面几种特例，这是大家所熟悉的。

（1）如果A ，D 两点重合，2AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r
，此即三角形中线的向量形式； （2）如果C ，D 两点重合，2MN AB =u u u u r u u u r
，此即三角形中位线定理；
2
（3）如果//AB CD ，此时四边形为梯形，////AB CD MN ，
2MN
AB DC =+表示梯形的中位线定理。

（4）如果//AB CD ，且C 、D 两点错位（图2），此时四边形为梯形，////AB CD MN ，
2MN AB DC =-表示梯形两对角线的中点的连线平行于底边且等于两底差的一半。

下面我们举例说明。

例1：如图3，求证四边形中，两组对边中点的距离之和不大于四边形的半周长，当且仅当四边形是平行四边形时等号成立。

（
1973年南斯拉夫奥林匹克试题）
证明：由1()2
EF AD BC =+u u u r u u u r u u u r 得11()()22EF AD BC AD BC =+≤+u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，同理
1()2GH AB DC ≤+u u u r u u u r u u u r
，
故1()2GH EF AB DC AD BC +≤+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，当且仅当AB CD P ，AD BC P 时等号成立。

图3 图4
例2：如图4，D 是Rt △ABC 斜边上AB 的中点，E 、F 分别在边BC 、AC 上，且ED FD ⊥，求证：2
2
2
EF AF BE =+。

图5
3
证明：如图5，设EF 中点为G ，则2
22
22
(2)()EF DG AF BE AF BE ==+=+u u u r u u u r u u u r 。

说明：此处作出中点G 是为了充分利用ED FD ⊥的条件，利用直角三角形斜边上中线
等于斜边的一半的性质，再利用向量形式的四边形中位线公式。

如果将FE u u u r
写成FA AB BE ++u u u r u u u r u u u r
，
平方后如何利用条件ED FD ⊥呢？下面的例3是例2的另一种表述形式。

例3：如图6，△ABC 中，90ABC ∠=o
，M 、N 分别是DE 、AC 中点，AD d =，CE e =，
MN x =，求证：221
2
x d e =
+。

证明：1()2MN DA EC =+u u u u r u u u r u u u r ，2
221()4x d e =+，2212
x d e =+。

当B 、D 、E 三点重合时，2211
22
NB AB CB AC AN NC =+===，即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

图6 图7
例4：如图7，四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD 交BC 于G ，已知=AD a ，
=BC b ，α∠=AGB ，求EF 。

解
：
2=+u u u r u u u r u u u r
EF AD BC
，即
22242=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g EF AD BC AD BC
，则
2
212cos 2
α=
++EF a b ab 特别地，当//AD BC 时，0α=，221222
a b
EF a b ab +=++=
，这就是常见的梯形中位线公式。

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例5：如图8，正方形PQRS 有三个顶点分别在△ABC 的三条边上，AP=7，PB=6，AR=9，RC=2，且BQ=QC ，求正方形PQRS 的面积。

图8 图9
解：如图9，设PR 的中点是O ，则O Ｑ是四边形PBCR 的中位线，由2OQ PB RC =+u u u r u u u r u u u r
得
22242cos OQ PB RC PB RC A =++g ，即244024cos OQ A =+；在△APR 中，222242cos PR OQ AP AR AP AR A ==++g ，即24130126cos OQ A =+；解得
cos 0.6A =，2227.2PQRS S OQ ==。

注：此题多了条件，因为正方形在作图中提供了很强的限制条件。

例6：如图10，五边形ABCDE 中，点F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CD 、DE 的中点，点J 、K 分别是FH 、GI 的中点，求证：JK AE P 且1
4
JK AE =。

证明：1112()222
=+=++=u u u r u u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r JK HG FI DB BD AE AE 。

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图10 图11
下面介绍立体几何方面的例子。

首先要强调的是，我们平时提到的四边形，通常都是指平面四边形；其实还有空间四边形的说法。

不在同一平面上的四条线段首尾相接，并且最后一条的尾端与最初一条的首端重合，这样的图形叫做空间四边形。

而使用向量形式的四边形中位线公式根本不分平面还是空间，直接应用即可。

例7：如图11，四边形ABCD 中，AB CD =、AD BC =；M 和N 分别是AC 、BD 中点,则MN AC ⊥，MN BD ⊥。

证明：2()()MN MA AB BN MC CD DN AB CD =+++++=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
；
222222
11()02(2)2
MN AC AB AC CD AC AB AC BC CD AC AD +--+-==+=u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u r u u u u u u r u u u r u u u r g u u u r g g r ，
所以MN AC ⊥；同理MN BD ⊥。

例8：如图12，在立方体ABCD-EFGH 中，I 、J 分别是EF 、BC 上的点，且EI BJ =，K 、L 分别是BE 、IJ 的中点，求证：
2
EI KL
EF AC
=。

证明：设EI mAB =u u r u u u r ，则BJ mBC =u u u r u u u r ；2()KL EI BJ m AB BC mAC =+=+=u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，所以
2
EI KL
EF AC
=。

图12 图13
例9：如图13，设A 、B 、C 和1A 、1B 、1C 分别是两直线上的三点，M 、N 、P 、Q 分别
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是1AA 、1BA 、1BB 、1CC 的中点，求证：M 、N 、P 、Q 四点共面。

证明：111111()()22
PQ BC B C mAC nA B mMN nNP =+=+=+u u u r u u u r u u u u r u u u
r u u u u r u u u u r u u u r ，所以M 、N 、P 、Q 四
点共面。

例10：如图14，已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是棱'BB 和对角线'CA 的中点，求证：'MN BB ⊥。

证法1：1'()'(('''))'2
MN BB MB BC CN BB MB CD DD D A BB =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r
g g g
1(')'02
MB DD BB =+=u u u r u u u u r u u u r
g ，所以'MN BB ⊥。

证法2：应用向量形式的四边形中位线公式可快速解题：
2'('')'0MN BB B A BC BB =+=u u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r
g g 。

图14 图15
例11：如图15，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 、F 分别在DB 、1D C 上，且12
3
DE D F ==
EF 平行于平面11BB C C 。

证明：111111111()333
EF ED DD D F BD DD D C DD BD A B =++=++=++u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r
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1113
CC B C =+u u u u r u u u r
，所以EF 平行于平面11BB C C 。

我们可以将向量形式的四边形中位线公式，扩展到一般比例点。

另证：1121213333
EF DD BC BB BC =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 。

综上可得，引入向量之后，不但使一些公式变得统一，也使解几何题多了一把利器。

上海率先将向量引入初中数学，虽然教材上向量的篇幅不是很多，但由于向量的独特性，光是“绕来绕去”这一条独特性质，就够研究的了。

更多向量法的应用，参看作者与张景中先生的专著《绕来绕去的向量法》。