向量形式的四边形中位线公式

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1
向量形式的四边形中位线公式
一位中学老师求助他学生提出来的一个问题:为什么三角形和梯形有中位线,而一般四边形没有中位线?
我的解释是:中位线的前提容易满足,连接两个中点而已。

但同时也要看连接之后有没有意义。

三角形和梯形的中位线,与已有边平行,为研究图形边角关系架构了桥梁。

而连接一般四边形对边的两个中点,没有能够构成平行线,这样的中位线意义不大。

但凡事也不是绝对的。

引进向量之后,向量形式的四边形中位线公式作用很大。

四边形中位线的向量形式:任意四边形ABCD 中(这四点无需在同一平面上,所以推广
到空间也是很自然的),M ,N 分别是AD ,BC 中点,则2MN AB DC =+u u u u r u u u r u u u r 。

证明:如图1,2()()MN MD DC CN MA AB BN =+++++u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
()()()MD MA BN CN AB DC AB DC =+++++=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r
u u u r 。

图1 图2
此结论包括下面几种特例,这是大家所熟悉的。

(1)如果A ,D 两点重合,2AN AB AC =+u u u r u u u r u u u r
,此即三角形中线的向量形式; (2)如果C ,D 两点重合,2MN AB =u u u u r u u u r
,此即三角形中位线定理;
2
(3)如果//AB CD ,此时四边形为梯形,////AB CD MN ,
2MN
AB DC =+表示梯形的中位线定理。

(4)如果//AB CD ,且C 、D 两点错位(图2),此时四边形为梯形,////AB CD MN ,
2MN AB DC =-表示梯形两对角线的中点的连线平行于底边且等于两底差的一半。

下面我们举例说明。

例1:如图3,求证四边形中,两组对边中点的距离之和不大于四边形的半周长,当且仅当四边形是平行四边形时等号成立。


1973年南斯拉夫奥林匹克试题)
证明:由1()2
EF AD BC =+u u u r u u u r u u u r 得11()()22EF AD BC AD BC =+≤+u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ,同理
1()2GH AB DC ≤+u u u r u u u r u u u r

故1()2GH EF AB DC AD BC +≤+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,当且仅当AB CD P ,AD BC P 时等号成立。

图3 图4
例2:如图4,D 是Rt △ABC 斜边上AB 的中点,E 、F 分别在边BC 、AC 上,且ED FD ⊥,求证:2
2
2
EF AF BE =+。

图5
3
证明:如图5,设EF 中点为G ,则2
22
22
(2)()EF DG AF BE AF BE ==+=+u u u r u u u r u u u r 。

说明:此处作出中点G 是为了充分利用ED FD ⊥的条件,利用直角三角形斜边上中线
等于斜边的一半的性质,再利用向量形式的四边形中位线公式。

如果将FE u u u r
写成FA AB BE ++u u u r u u u r u u u r

平方后如何利用条件ED FD ⊥呢?下面的例3是例2的另一种表述形式。

例3:如图6,△ABC 中,90ABC ∠=o
,M 、N 分别是DE 、AC 中点,AD d =,CE e =,
MN x =,求证:221
2
x d e =
+。

证明:1()2MN DA EC =+u u u u r u u u r u u u r ,2
221()4x d e =+,2212
x d e =+。

当B 、D 、E 三点重合时,2211
22
NB AB CB AC AN NC =+===,即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

图6 图7
例4:如图7,四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、CD 的中点,AD 交BC 于G ,已知=AD a ,
=BC b ,α∠=AGB ,求EF 。



2=+u u u r u u u r u u u r
EF AD BC
,即
22242=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g EF AD BC AD BC
,则
2
212cos 2
α=
++EF a b ab 特别地,当//AD BC 时,0α=,221222
a b
EF a b ab +=++=
,这就是常见的梯形中位线公式。

4
例5:如图8,正方形PQRS 有三个顶点分别在△ABC 的三条边上,AP=7,PB=6,AR=9,RC=2,且BQ=QC ,求正方形PQRS 的面积。

图8 图9
解:如图9,设PR 的中点是O ,则O Q是四边形PBCR 的中位线,由2OQ PB RC =+u u u r u u u r u u u r

22242cos OQ PB RC PB RC A =++g ,即244024cos OQ A =+;在△APR 中,222242cos PR OQ AP AR AP AR A ==++g ,即24130126cos OQ A =+;解得
cos 0.6A =,2227.2PQRS S OQ ==。

注:此题多了条件,因为正方形在作图中提供了很强的限制条件。

例6:如图10,五边形ABCDE 中,点F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CD 、DE 的中点,点J 、K 分别是FH 、GI 的中点,求证:JK AE P 且1
4
JK AE =。

证明:1112()222
=+=++=u u u r u u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r JK HG FI DB BD AE AE 。

5
图10 图11
下面介绍立体几何方面的例子。

首先要强调的是,我们平时提到的四边形,通常都是指平面四边形;其实还有空间四边形的说法。

不在同一平面上的四条线段首尾相接,并且最后一条的尾端与最初一条的首端重合,这样的图形叫做空间四边形。

而使用向量形式的四边形中位线公式根本不分平面还是空间,直接应用即可。

例7:如图11,四边形ABCD 中,AB CD =、AD BC =;M 和N 分别是AC 、BD 中点,则MN AC ⊥,MN BD ⊥。

证明:2()()MN MA AB BN MC CD DN AB CD =+++++=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

222222
11()02(2)2
MN AC AB AC CD AC AB AC BC CD AC AD +--+-==+=u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r u u r u u u u u u r u u u r u u u r g u u u r g g r ,
所以MN AC ⊥;同理MN BD ⊥。

例8:如图12,在立方体ABCD-EFGH 中,I 、J 分别是EF 、BC 上的点,且EI BJ =,K 、L 分别是BE 、IJ 的中点,求证:
2
EI KL
EF AC
=。

证明:设EI mAB =u u r u u u r ,则BJ mBC =u u u r u u u r ;2()KL EI BJ m AB BC mAC =+=+=u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
,所以
2
EI KL
EF AC
=。

图12 图13
例9:如图13,设A 、B 、C 和1A 、1B 、1C 分别是两直线上的三点,M 、N 、P 、Q 分别
6
是1AA 、1BA 、1BB 、1CC 的中点,求证:M 、N 、P 、Q 四点共面。

证明:111111()()22
PQ BC B C mAC nA B mMN nNP =+=+=+u u u r u u u r u u u u r u u u
r u u u u r u u u u r u u u r ,所以M 、N 、P 、Q 四
点共面。

例10:如图14,已知正方体''''ABCD A B C D -中,点M ,N 分别是棱'BB 和对角线'CA 的中点,求证:'MN BB ⊥。

证法1:1'()'(('''))'2
MN BB MB BC CN BB MB CD DD D A BB =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r
g g g
1(')'02
MB DD BB =+=u u u r u u u u r u u u r
g ,所以'MN BB ⊥。

证法2:应用向量形式的四边形中位线公式可快速解题:
2'('')'0MN BB B A BC BB =+=u u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u u r
g g 。

图14 图15
例11:如图15,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E 、F 分别在DB 、1D C 上,且12
3
DE D F ==
EF 平行于平面11BB C C 。

证明:111111111()333
EF ED DD D F BD DD D C DD BD A B =++=++=++u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u r
7
1113
CC B C =+u u u u r u u u r
,所以EF 平行于平面11BB C C 。

我们可以将向量形式的四边形中位线公式,扩展到一般比例点。

另证:1121213333
EF DD BC BB BC =+=+u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 。

综上可得,引入向量之后,不但使一些公式变得统一,也使解几何题多了一把利器。

上海率先将向量引入初中数学,虽然教材上向量的篇幅不是很多,但由于向量的独特性,光是“绕来绕去”这一条独特性质,就够研究的了。

更多向量法的应用,参看作者与张景中先生的专著《绕来绕去的向量法》。

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