初二数学：下册5.1.1相交线导学案新版新人教版2

5.1.1 相交线
一、目标导学
1.了解两条直线相交所构成的角，理解并掌握对顶角、邻补角的概念和性质。

2.理解对顶角性质的推导过程，并会用这个性质进行简单的计算。

3.通过辨别对顶角与邻补角，培养识图的能力。

重点：邻补角和对顶角的概念及对顶角相等的性质。

难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角。

二、自学质疑
1.阅读课本P 1图片及文字，了解本章要学习哪些知识?应学会哪些数学方法?培养哪些良好学习习惯？ ,
2.准备一张纸片和一把剪刀，用剪刀将纸片剪开,观察剪纸过程,握紧把手时, 随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀两刀刃之间的角引发了什么变化? . 如果改变用力方向,将两个把手之间的角逐渐变大,剪刀两刀刃之间的角又发生什么了变化? .
3.如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线, 剪纸过程就关系到两条相交直线所成的角的问题, 阅
读课本P 2内容,探讨两条相交线所成的角有哪些?各有什么特征? 三、互助探究
1.画直线AB 、CD 相交于点O,并说出图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置怎么将它们分类? 例如:
（1）∠AOC 和∠BOC 有一条公共边．．．．．OC ，它们的另一边互为 ，称这两个角互为 。

用
量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是
（2）∠AOC 和∠BOD （有或没有）公共边，但∠AOC 的两边分别是∠BOD 两边的 ，称这两个角互为 。

用量角器量一量这两个角的度数，会发现它们的数量关系是 。

2.根据观察和度量完成下表:
两直线相交
所形成的角
分类 位置关系 数量关系 43
2
1O
D
C B
A
3.用语言概括邻补角、对顶角概念.
_O
_D _C
_B
_A
的两个角叫邻补角。

的两个角叫对顶角 4.探究对顶角性质.
在图1中,∠AOC 的邻补角有两个，是 和 ,根据“同角的补角相等”,可以得出 = ,而这两个角又是对顶角，由此得到对顶角性质:对顶角相等．．．．．
. 注意：对顶角概念与对顶角性质不能混淆，对顶角的概念是确定两角的位置关系,对顶角性质是确定为对顶角的两角的数量关系.
你能利用“对顶角相等”这条性质解释剪刀剪纸过程中所看到的现象吗？ 四、展示点评（学生展示成果，学生点评，教师引导） 五、达标巩固（1、2、3、4题必做，5题选做） 1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( )
1
21
2
1
2
2
1
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图(1),三条直线AB,CD,EF 相交于一点O, ∠AOD 的对顶角是_____,∠AOC 的邻补角是_______，若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_______，∠AOE+∠DOB+∠COF=_____。

O
F
E D C
B A (2) O
E D C
B
A
(3) c
b
a
3
4
1
2(4)
3.如图，直线AB,CD 相交于O,OE 平分∠AOC,若∠AOD -∠DOB=50°, 求∠EOB 的度数.
4.如图,直线a,b,c 两两相交,∠1=2∠3,∠2=68°,求∠4的度数
5.若4条不同的直线相交于一点,共有几对对顶角?若n 条不同的直线相交于一点呢?
六、归结反思
通过学习这节课，我的收获和困惑分别是：
七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若方程组
213
22
x y k
x y
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
的解满足0
x y
+=，则k的值为（）
A．0 B．1-C．1 D．不能确定【答案】C
【解析】根据等式的性质，可得答案．
【详解】
213
22
x y k x y
+=-
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
①+②，得
3(x+y)=3−3k，
由x+y=0，得
3−3k=0，
解得k=1，
故选C
【点睛】
此题考查二元一次方程组的解，掌握运算法则是解题关键
2．如图，已知AB AC
=，E是角平分线AD上任意一点，则图中全等三角形有（）
A．4对B．3对C．2对D．1对
【答案】B
【解析】分析: 根据题意可知:AB=AC,E是角平分线AD上任意一点,根据三角形全等的判定方法可知全等的三角形有:△ABD≌△ACD,△ABE≌△ACE,△BDE≌△CDE．
详解: ∵E是角平分线AD上任意一点,
∴∠BAD=∠CAD,
∵AB=AC,AE=AE,
∴△ABE≌△ACE,BE=EC,
∵AD=AD,
∴△ABD ≌△ACD,BD=DC, ∵BE=EC,BD=DC,DE=DE , ∴△BDE ≌△CDE ． 故选B ．
点睛: 本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质,注意:AAA,SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角,做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找. 3．已知a ＞b ，c≠0，则下列关系一定成立的是（ ）． A ．ac ＞bc B ．
a b
c c
> C ．c-a ＞c-b D ．c+a ＞c+b
【答案】D
【解析】根据不等式的基本性质一一判断可得答案.
【详解】解：A 、当c ＜0时，不等式a ＞b 的两边同时乘以负数c ，则不等号的方向发生改变，即ac ＜bc ．故本选项错误；
B 、当c ＜0时，不等式a ＞b 的两边同时除以负数c ，则不等号的方向发生改变，即a b
c c
<．故本选项错误；
C 、在不等式a ＞b 的两边同时乘以负数-1，则不等号的方向发生改变，即-a ＜-b ；然后再在不等式的两边同时加上c ，不等号的方向不变，即c-a ＜c-b ．故本选项错误；
D 、在不等式a ＞b 的两边同时加上c ，不等式仍然成立，即a+c ＞b+c ；故本选项正确. 故选D. 【点睛】
本题主要考查的是不等式的基本性质.
不等式的性质1: 不等式两边加(或减)同一个数(或式子), 不等号的方向不变.即如果a>b, 那么a ±c>b ±c; 不等式的性质2: 不等式两边乘(或除)以同一个正数, 不等号的方向不变.即如果a>b, c>0, 那么ac>bc 或(
a c >
b
c ); 不等式的性质3: 不等式两边乘(或除)以同一个负数,不等号的方向改变.即如果a>b,c<0,那么ac<bc 或(
a c <
b c
). 4．若()2017
1a b +=-，()
2018
1a b -=，则20192019a b +=（ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．1-
【答案】D
【解析】先根据已知条件求得1a b +=-，1a b -=±，再分两种情况即得到关于a 、b 的两个方程组，分别求得a 、b 的值，然后分别代入所求式子进行计算即可得解． 【详解】解：∵()
2017
1a b +=-，()
2018
1a b -=
∴1a b +=-，1a b -=±
∴①当1,1a b a b +=-⎧⎨-=⎩
时
∴0
1a b =⎧⎨=-⎩
∴201920191a b +=-；
②当1,1a b a b +=-⎧⎨-=-⎩
时
∴1
a b =-⎧⎨
=⎩
∴201920191a b +=-．
∴综上所述，201920191a b +=-． 故选：D
点评：本题需分类讨论1a b -=±两种情况． 【点睛】
本题考查了乘方运算以及利用整体代入法求代数式的值，对1a b -=±进行分类讨论是解本题的关键． 5．若点P 在x 轴上，且到y 轴的距离为2，则点P 的坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，2）或（0，﹣2） C ．（2，0） D ．（2，0）或（﹣2，0）
【答案】D
【解析】根据x 轴上点的纵坐标为0，到y 轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵点P 在x 轴上，且到y 轴的距离为2， ∴点P 的坐标为（2，0）或（﹣2，0）． 故选：D ． 【点睛】
本题考查点的坐标，熟记x 轴上点的纵坐标为0，到y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
6．若5a b +=，6ab =-．则22a b +的值等于（ ） A ．30 B ．33 C ．36 D ．37
【答案】D
【解析】根据完全平方公式2
2
2
()2a b a ab b +=++对进行变形，然后整体代入即可得出答案． 【详解】∵2
2
2()2a b a ab b +=++
222()2a b a b ab ∴+=+-
∵5a b +=，6ab =-，
∴原式=252(6)251237-⨯-=+=
故选：D ． 【点睛】
本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键． 7．下列分解因式正确的是（ ） A ．－a ＋a 3=－a(1＋a 2) B ．2a －4b ＋2=2(a －2b) C ．a 2－4=(a －2)2 D ．a 2－2a ＋1=(a －1)2
【答案】D
【解析】根据因式分解的定义进行分析.
【详解】A 、-a+a 3=-a （1-a 2）=-a （1+a ）（1-a ），故本选项错误； B 、2a-4b+2=2（a-2b+1），故本选项错误； C 、a 2-4=（a-2）（a+2），故本选项错误； D 、a 2-2a+1=（a-1）2，故本选项正确． 故选D ． 【点睛】
考核知识点：因式分解.
8．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何。

”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问木条长多少尺”，设绳子长x 尺，木条长y 尺，根据题意所列方程组正确的是（ ）
A ． 4.5
1
12x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
B ． 4.5
1
12x y y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩ C ． 4.5
112x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
D ． 4.5
1
12x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩
【答案】A
【解析】本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-12
×绳长=1，据此列方程组即可求解． 【详解】设绳子长x 尺，木条长y 尺，依题意有
4.51
12x y y x -=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
． 故选A ． 【点睛】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． 9．下列调查活动中适合使用全面调查的是（ ） A ．某种品牌手机的使用寿命 B ．全国植树节中栽植树苗的成活率
C ．了解某班同学课外阅读经典情况
D ．调查“厉害了，我的国”大型电视记录片的收视率
【答案】C
【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行一一判断解答．
【详解】A. 某种品牌手机的使用寿命，适合抽样调查，故A 选项错误； B.全国植树节中栽植树苗的成活率，适合抽样调查，故B 选项错误； C.了解某班同学的课外阅读经典情况，适合使用全面调查，故C 选项正确； D.调查“厉害了，我的国”大型记录电影在线收视率，适于抽样调查，故D 选项错误． 故选C ． 【点睛】
本题考查抽样调查和全面调查的区别，难度不大 10．一个正多边形的内角和是，则这个正多边形的边数是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】B
【解析】根据多边形的内角和公式列式进行计算即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是，则
，
解得
．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 二、填空题题
11．计算：a （a ﹣1）＝_____． 【答案】a 2﹣a ．
【解析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式＝a 2﹣a ． 故答案为：a 2﹣a ． 【点睛】
此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．若多项式a 2+2ka+1是一个完全平方式，则k 的值是_____． 【答案】±1
【解析】分析：完全平方式有两个：222a ab b ++和222a ab b -+，根据以上内容得出221ka a =±⋅， 求出即可．
详解：∵221a ka ++ 是一个完全平方式， ∴2ka=±2a ⋅1， 解得：k=±1， 故答案是：±
1. 点睛：考查完全平方公式，熟记公式是解题的关键.
13．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,5.-若线段//AB x 轴，且AB 的长为4，则点B 的坐标为______．
【答案】()2,5--或()6,5-
【解析】根据平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同求出点B 的纵坐标，再分点B 在点A 的左边与右边两种情况列式求出点B 的横坐标，即可得解. 【详解】
点A 的坐标为()2,5-，线段//AB x 轴，
∴点B 的纵坐标为5-，
若点B 在点A 的左边。

则点A 的横坐标为242-=-， 若点B 在点A 的右边。

则点A 的横坐标为246+=，
∴点B 的坐标为()2,5--或()6,5-.
故答案为：()2,5--或()6,5-. 【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于x 轴的直线上的点的纵坐标相同，难点在于要分情况讨论. 14．某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元）之间的关系如下表：
如果卖出的香蕉数量用x （千克）表示，售价用y （元）表示，则y 与x 的关系式为_________； 【答案】y=3x
【解析】观察表中数据可知y 与x 之间是一次函数关系,设y=kx+b(k≠0) 将x=0.5,y=1.5和x=1,y=3代入y=kx+b(k≠0)中,得
1.50.5{3k b k b =+=+， 解得=3{=0
k b 故y 与x 的关系式为y=3x;
点睛：根据实际问题确定一次函数关系式关键是读懂题意，建立一次函数的数学模型来解决问题.描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象再判断时一次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题.
15．若 (x+2)( x 2+mx+4) 的展开式中不含有 x 的二次项，则 m 的值为_________． 【答案】m=-2.
【解析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含x 2项，求出m 的值． 【详解】()()
()()2
3
2
242248x x mx x m x m x +++=+++++，
由展开式中不含2x 项，得到m+2=0， 则m=−2. 故答案为−2. 【点睛】
本题主要考查多项式乘以多项式法则，熟悉掌握法则是关键.
16．点()11,12A 与点()11,12B -关于_________对称.（填“x 轴”或“y 轴”）
【答案】y 轴
【解析】两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，那么过这两点的直线平行于x 轴，两点到y 轴的距离均为11，由此即可得出答案.
【详解】∵两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，
∴点A(11，12)与点B(-11，12)关于y 轴对称，
故答案为：y 轴.
【点睛】
本题考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标，熟知“横坐标相等，纵坐标互为相反数的两点关于x 轴对称；横坐标互为相反数，纵坐标相等的两点关于y 轴对称”是解题的关键.
17．分解因式：a 4－1=______________
【答案】（a 2＋1）（a ＋1）（a －1）
【解析】略
三、解答题
18．已知二元一次方程x+2y=-1．当x 取什么值时，y 的值是大于-1的负数？
【答案】当-1＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数
【解析】先用x 表示y ，从而得到-1＜-
12x-52＜0，然后解不等式组即可． 【详解】∵x+2y=-1．
∴y=-12x-52
， 而-1＜y ＜0，
∴-1＜-12x-52
＜0，解得-1＜x ＜-3， ∴当-1＜x ＜-3时，y 的值是大于-1的负数．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤． 19．为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团（要求人人参与社团，每人只能选择一项）．为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查．根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）此次共调查了多少人？
（2）求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校有1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？【答案】（1）200；（2）108°；（3）答案见解析；（4）600
【解析】试题分析：（1）根据体育人数80人，占40%，可以求出总人数．（2）根据圆心角=百分比×360°即可解决问题．
（3）求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图．
（4）用样本百分比估计总体百分比即可解决问题．
试题解析：（1）80÷40%=200（人）．
∴此次共调查200人．
（2）60
200
×360°=108°．
∴文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度数为108°．
（3）补全如图，
（4）1500×40%=600（人）．
∴估计该校喜欢体育类社团的学生有600人．
【点睛】此题主要考查了条形图与统计表以及扇形图的综合应用，由条形图与扇形图结合得出调查的总人数是解决问题的关键，学会用样本估计总体的思想，属于中考常考题型．
20．如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D．∠A与∠F有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】A F
∠=∠
【解析】因为∠1=∠2，由同位角相等证明BD∥CE，则有∠C=∠B，又因为∠C=∠D，所以有∠B=∠D，由内错角相等证明DF∥AC，故可证得∠A=∠F．
【详解】A F
∠=∠，证明如下：
因为12
∠=∠
所以BD//CE
所以C DBA
∠=∠
又因为C D
∠=∠
所以DBA D
∠=∠
故DF//AC
所以A F
∠=∠
21．填写证明的理由：
已知，如图AB∥CD，EF、CG分别是∠ABC、∠ECD的角平分线．
求证：EF∥CG
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠AEC＝∠ECD（）
又EF平分∠AEC、CG平分∠ECD（已知）
∴∠1＝1
2
∠，∠2＝
1
2
∠（角平分线的定义）
∴∠1＝∠2（）
∴EF∥CG（）
【答案】两直线平行，内错角相等，AEC，角平分线定义，ECD，内错角相等，两直线平行.
【解析】根据平行线的性质得出∠AEC=∠DCE，根据角平分线定义得出
11
12
22
AEC ECD ∠=∠∠=∠
，，
求出∠1=∠2，根据平行线的判定得出即可．【详解】证明：∵AB∥CD(已知)，
∴∠AEC=∠DCE(两直线平行,内错角相等)，又∵EF平分∠AEC(已知)，
∴∠1=1
2
∠AEC(角平分线定义)，
同理∠2=1
2
∠ECD，
∴∠1=∠2，
∴EF∥CG(内错角相等,两直线平行)，
故答案为两直线平行，内错角相等，AEC，角平分线定义，ECD，内错角相等，两直线平行.
【点睛】
考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键.
22．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
【答案】（1）见解析；（2）12.
【解析】（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．作BM⊥直线l于点M，并延长到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形.
（2）由图得四边形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可. 【详解】（1）如图，△A1B1C1是△ABC关于直线l的对称图形.
（2）由图得四边形BB 1C 1C 是等腰梯形，BB 1=4，CC 1=2，高是4.
∴S 四边形BB1C1C =
()()1111BB +CC 4=4+2=1222⨯⨯⨯. 【点睛】
此题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
23．因式分解
（1）()()2294a x y b y x -+-； （2）()222416a a +-.
【答案】 (1) ()()()3232x y a b a b -+-;(2) ()()2222a a +-.
【解析】（1）直接提取公因式（x−y ），进而利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】（1）()()2294a x y b y x -+-
()()2294a x y b x y =---
()()2294x y a b =--
()()()3232x y a b a b =-+-；
（2）()222416a a +-
()()224444a a a a ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦
()()22
22a a =+-.
【点睛】
此题主要考查了公式法以及提公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
24．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著.某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.
（1）请列方程组，并求出该店有客房多少间？房客多少人？
（2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房.每间客房收费30钱，且每间客房最多人住3人，一次性定客房25间以上（含25间），房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？
【答案】（1）客房8间，房客63人；（2）25间
【解析】（1）设该店有客房x 间，房客y 人，根据题中数量关系列出方程组求解可得；
（2）根据题意计算：若每间客房住3人，则63名客人至少需客房21间，求出所需付费；若一次性订客房25间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论．
【详解】解：（1）设该店有客房x 间，房客y 人. 根据题意，得()77,91.x y x y +=⎧⎨-=⎩
解，得8,63.x y =⎧⎨=⎩
答：该店有客房8间，房客63人.
（2）若每件客房住3人，则63名客人至少需要客房21间，需付费3021630⨯=（钱）.
若一次性定客房25间，则需付费30250.8600⨯⨯=（钱）.
∵600630<，
∴一次性定客房25间更合算.
答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房25间更合算.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键．
25．如图，已知点E ，F 在直线AB 上，点G 在线段CD 上，ED 与FG 交于点H ，∠C=∠EFG ，∠CED=∠GHD ． （1）求证：CE ∥GF ；
（2）试判断∠AED 与∠D 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数．
【答案】(1)证明见解析；(2)∠AED+∠D＝180°；(3)∠AEM=100°.
【解析】(1)根据同位角相等，两直线平行，可证CE∥GF；
(2)根据平行线的性质可得∠C＝∠FGD，根据等量关系可得∠FGD＝∠EFG，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠AED与∠D之间的数量关系；
(3)根据对顶角相等可求∠DHG，根据三角形外角的性质可求∠CGF，根据平行线的性质可得∠C，∠AEC，再根据平角的定义可求∠AEM的度数．
【详解】(1)∵∠CED＝∠GHD，
∴CE∥GF；
(2)∵CE∥GF，
∴∠C＝∠FGD，
∵∠C＝∠EFG，
∴∠FGD＝∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D＝180°；
(3)∵∠DHG＝∠EHF＝70°，∠D＝30°，
∴∠CGF＝70°+30°＝100°，
∵CE∥GF，
∴∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC＝80°，
∴∠AEM＝180°﹣80°＝100°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，平角的定义的综合运用，属于中等难度题目.
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，点P 在直线AB 上，点C ，D 在直线AB 的上方，且PC⊥PD，∠APC=28°，则∠BPD 的度数为（ ）
A ．28°
B ．60°
C ．62°
D ．152°
【答案】C
【解析】根据垂直的定义和余角的性质即可得到结论．
解：∵PC ⊥PD ，
∴∠CPD=90°，
∵∠APC=28°，
∴∠BPD=90°﹣∠APC=62°，
故选C ．
2．若5a b +=，6ab =-．则22a b +的值等于（ ）
A ．30
B ．33
C ．36
D ．37
【答案】D
【解析】根据完全平方公式222()2a b a ab b +=++对进行变形，然后整体代入即可得出答案．
【详解】∵222()2a b a ab b +=++
222()2a b a b ab ∴+=+-
∵5a b +=，6ab =-，
∴原式=252(6)251237-⨯-=+=
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．
3．已知2()11m n +=，2mn =；则22m n +的值为（ ）
A ．15
B ．11
C ．7
D ．3
【答案】C
【解析】原式利用完全平方公式化简即可求出值．
【详解】解：222(147m )21m n n mn =+-=-=+，
故选：C.
【点睛】
此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
4．如图，直角△ADB 中，∠D=90°，C 为AD 上一点，且∠ACB 的度数为()510x -︒，则x 的值可能是（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
【答案】C 【解析】∠ACB=∠90°
+∠CBD ∴(5x −10)°
=∠90°+∠CBD 化简得：x=20+15
∠DBC ∵0°
<∠DBC<90° ∴20°<x<38°，
故选C
点睛：此题考查了一元一次不等式的应用, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，就可以得到x 与∠CBD 的关系，根据∠CBD 是锐角，就可以得到一个关于x 的不等式组，就可以求出x 的范围．
5．如图，∠1=70°，直线a 平移后得到直线b ，则∠2-∠3（ ）
A ．70°
B ．180°
C ．110°
D ．80°
【答案】C 【解析】作AB ∥a,先证AB ∥a ∥b ，由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3，变形可得结果.
【详解】作AB ∥a,由直线a 平移后得到直线b ，
所以，AB∥a∥b
所以，∠2=180°-∠1+∠3，
所以，∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.
故选：C
【点睛】本题考核知识点：平行线性质.解题关键点：熟记平行线性质.
6．下列图中∠1和∠2是同位角的是( )
A．（1）、（2）、（3）B．（2）、（3）、（4）
C．（3）、（4）、（5）D．（1）、（2）、（5）
【答案】D
【解析】根据同位角的定义，对每个图进行判断即可．
【详解】（1）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意；
（2）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意；
（3）图中∠1和∠2不是同位角；故本项不符合题意；
（4）图中∠1和∠2不是同位角；故本项不符合题意；
（5）图中∠1和∠2是同位角；故本项符合题意．
图中是同位角的是（1）、（2）、（5）．
故选D．
【点睛】
本题考查了同位角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
7．一家商店将某款衬衫的进价提高40%作为标价，又以八折卖出，结果每件衬衫仍可获利15元，则这款衬衫每件的进价是（）
A．120元B．135元C．125元D．140元
【答案】C
【解析】设这款衬衫每件的进价是x 元，则标价为（1+40%）x 元，根据售价-进价=15元，列出方程解方程即可．
【详解】设这款衬衫每件的进价是x 元，则标价为（1+40%）x 元，根据题意得：
140%0.815x x
解得：x=125
故选：C
【点睛】
本题考查的是一元一次方程的应用-利润问题，把握进价、标价、售价及利润的关系是关键．
8．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分EAC ∠、ABC ∠和ACF ∠。

以下结
论:①//AD BC ;②2ACB ADB ∠=∠;③BDC BAC ∠=∠;④90ADC ABD ∠=︒-∠. 其中正确的结论是
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②④
【答案】D 【解析】由AD 平分△ABC 的外角∠EAC ，求出∠EAD=∠DAC ，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC ，且∠ABC=∠ACB ，得出∠EAD=∠ABC ，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；
由AD ∥BC ，得出∠ADB=∠DBC ，再由BD 平分∠ABC ，所以∠ABD=∠DBC ，∠ABC=2∠ADB ，进而可判断出②是否正确；
由∠BAC+∠ABC=∠ACF ，得出
12∠BAC+12∠ABC=12∠ACF ，再与∠BDC+∠DBC=12∠ACF 相结合，得出12
∠BAC=∠BDC ，进而可判断出③是否正确. 在△ADC 中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得
∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，进而可判断出④是否正确；
【详解】①∵AD 平分△ABC 的外角∠EAC ，
∴∠EAD=∠DAC ，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正确.
②由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
故②正确.
③∵∠BAC+∠ABC=∠ACF，
∴1
2
∠BAC+
1
2
∠ABC=
1
2
∠ACF，
∵∠BDC+∠DBC=1
2
∠ACF，
∴1
2
∠BAC+
1
2
∠ABC=∠BDC+∠DBC，
∵∠DBC=1
2
∠ABC，
∴1
2
∠BAC=∠BDC，即∠BDC=
1
2
∠BAC．
故③错误.
④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故④正确；
故选D
【点睛】
此题考查三角形的外角性质，解题关键在于掌握外角性质
9．已知，则的大小关系是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先根据幂的运算法则进行计算，再比较实数的大小即可.
【详解】，
，
，
.
故选：.
【点睛】
此题主要考查幂的运算，准确进行计算是解题的关键.
10．P（m，n）是第二象限内一点，则P′（m﹣2，n+1）位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】分析：根据P（m，n）是第二象限内一点，可知m，n的正负，从而得出m﹣2，n+1的正负性即可.
详解：∵P（m，n）是第二象限内一点，
∴m0,n0,
-+,
∴m20,n10
∴P′（m﹣2，n+1）在第二象限，
故选：B.
点睛：本题考查了象限内点的坐标.正确掌握各象限内点的横纵坐标的正负性是解题的关键.
二、填空题题
11．若21x y =⎧⎨=⎩
是关于x ，y 的方程kx ﹣y ＝3的解，则k 的值是_____． 【答案】1
【解析】根据二元一次方程解的定义，直接把21
x y =⎧⎨
=⎩代入方程kx ﹣y ＝3，得到1k ﹣1＝3，进一步求得k 值． 【详解】解：将21x y =⎧⎨=⎩
代入方程kx ﹣y ＝3，得：1k ﹣1＝3， 解得：k ＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的解，解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数k 为未知数的方程．
12．当x ≠_______时，分式
33
x x +-有意义. 【答案】3
【解析】根据分式有意义的条件可得x-3≠0，再解即可．
【详解】由题意得：x-3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：3.
【点睛】
此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义. 13．已知关于x ，y 的方程111222m x n y a m x n y a +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩
则方程组1112222323m x n y a m x n y a +=⎧⎨+=⎩ 的解为________.
【答案】33
x y =⎧⎨=⎩ 【解析】把12x y =⎧⎨=⎩
代入111222m x n y a m x n y a +=⎧⎨+=⎩得11122222m n a m n a +=⎧⎨+=⎩，把12a a 、代入方程组1112222323m x n y a m x n y a +=⎧⎨+=⎩可得方程组11112222232232m x n y m n m x n y m n +=+⎧⎨+=+⎩（）（），化简可得1122x 32y 60x 32y 60m n m n -+-=⎧⎨-+-=⎩
，即可得x-3=0，2y-6=0，解这
两个方程即可.
【详解】∵关于x ，y 的方程111222m x n y a m x n y a +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩
， ∴1112
2222m n a m n a +=⎧⎨+=⎩， ∴1112222323m x n y a m x n y a +=⎧⎨+=⎩可化为方程组11112
222232232m x n y m n m x n y m n +=+⎧⎨+=+⎩（）（）， 移项，合并得1122x 32y 60x 32y 60
m n m n -+-=⎧⎨-+-=⎩ ， ∴x 3-=0 , 2y 6-=0
解得x=3 , y=3 ,
∴方程组1112222323m x n y a m x n y a +=⎧⎨+=⎩的解为33
x y =⎧⎨=⎩ . 故答案为：33x y =⎧⎨=⎩
. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的解.
14．今年“端午”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图所示），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向1或3就中二等奖，指向2或4或6就中纪念奖，指向其余数字不中奖.则转动转盘中奖的概率是______.（转盘被等分成8个扇形）
【答案】34
【解析】找到8，2，4，6，1，3份数之和占总份数的多少即为中奖的概率，
【详解】∵8，2，4，6，1，3份数之和为6， ∴转动圆盘中奖的概率为：6
384
＝.
故答案是：34
. 【点睛】 考查了求概率，如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）=m n
. 15．一个等腰三角形的两边分别是4和9，则这个等腰三角形的周长是_________.
【答案】22
【解析】等腰三角形两边的长为4cm 和9cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】①当腰是4，底边是9时：不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是4，腰长是9时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22.
故答案为22.
【点睛】
考查等腰三角形的性质以及三边关系，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
16．对于给定的两点,M N ，若存在点P ，使得三角形PMN 的面积等于1，则称点P 为线段MN 的“单位面积点”. 已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，
点()()()1,0,0,2,1,3P A B . 若将线段OP 沿y 轴正方向平移()0t t >个单位长度，使得线段AB 上存在线段OP 的“单位面积点”，则t 的取值范围是_____.
【答案】01t <≤或45t ≤≤
【解析】设线段AB 上存在线段OP 的“单位面积点”是Q ，分两种进行讨论情况：①线段OP 在AB 的下方；②线段OP 在AB 的上方．
【详解】。