数学百大经典例题

典型例题一

例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3

分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：

答案：D ．

说明：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．

典型例题二

例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．

分析：先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面α，另两条确定平面β，再证平面α，β重合．

已知：c b a ////，A a l = ，B b l = ，C c l = ． 求证：直线a ，b ，c ，l 共面． 证明： ∵ b a //，

∴ a ，b 确定一个平面α． ∵ A a l = ，B b l = ， ∴ α∈A ，α∈B ，故α⊂l ．

又 ∵ c a //， ∴ a ，c 确定一个平面β． 同理可证β⊂l ．

∴ a =βα ，且l =βα ．

∵ 过两条相交直线a ，l 有且只有一个平面，故α与β重合

即直线a ，b ，c ，l 共面．

说明：本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明α⊂c 时，也可以用如下反证法证明：

假设直线α⊄c ，则c 一定与α相交，此时直线c 与a 内的所有直线都不会平行，这显然

与c a //矛盾．故α⊂c ．

典型例题三

例3 已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P ，Q ，R 三点，

证明P ，Q ，R 三点在同一条直线上．

分析：如图所示，欲证P ，Q ，R 三点共线，只须证P ，

Q ，R 在平面α和平面ABC ∆的交线上，由P ，Q ，R 都是

两平面的公共点而得证．

证明：∵ P AB =α ，Q BC =α ， ∴ PQ 是平面α与平面ABC 的交线． 又 ∵ R AC =α ，

∴ α∈R 且∈R 平面ABC ， ∴ PQ R ∈，

∴ P ，Q ，R 三点共线．

说明：证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．

典型例题四

例4 如图所示，ABC ∆与111C B A ∆不在同一个平面内，如果三直线1AA 、1BB 、1CC 两

两相交，证明：三直线1AA 、1BB 、1CC 交于一点． 分析：证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．

证明：由推论2，可设1BB 与1CC ，1CC 与1AA ，1

AA 与1BB 分别确定平面α，β，γ．

取P BB AA =11 ，则1AA P ∈，1BB P ∈． 又因1CC =βα ，则1CC P ∈（公理2）， 于是P CC BB AA =111 ，

故三直线1AA 、1BB 、1CC 共点．

说明：空间中证三线共点有如下两种方法：

（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．

（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合．从而得三线共点．

典型例题五

（1）不共面的四点可以确定几个平面？

（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ （3）共点的三条直线可以确定几个平面？ 分析：（1）可利用公里3判定。 （2）可利用公里3的推论3判定。 （3）需进行分类讨论判定。 解：（1）不共面的四点可以确定四个平面。

（2）三条直线两两平行但不共面，它们可以确定3个平面。 （3）共点的三条直线可以确定1个或3个平面。

说明：判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，要做到不重不漏。

平面的确定问题

主要是根据已知条件和公里3及其3个推论来判定平面的个数。

典型例题六

例6 A 、B 、C 为空间三点，经过这三点：

A ．能确定一个平面

B ．能确定无数个平面

C ．能确定一个或无数个平面

D ．能确定一个平面或不能确定平面 分析：本题考查空间确定平面的方法，解题的主要依据是公理3及三个推论． 解：由于题设中所给的三点A 、B 、C 并没有指明这三点之间的位置关系， 所以在应用公理3时要注意条件“不共线的三点”．

当A 、B 、C 三点共线时，经过这三点就不能确定平面，

当A 、B 、C 三点不共线时，经过这三点就可以确定一个平面，故选D ．

说明：空间确定一平面的方法有多种，既可以根据不共线的三点来确定一个平面，又可以根据空间两相交直线或两平行直线来确定一个平面．

典型例题七

例7 判断题（答案正确的在括号内打“√”号，不正确的在括号内打“×”号）．

(1)两条直线确定一个平面；（ ）

(2)经过一点的三条直线可以确定一个平面；（ ） (3)两两相交的三条直线不共面；（ ）

(4)不共面的四点中，任何三点不共线．（ ）

分析：(1)两条直线能否确定平面，应注意这两条直线的位置关系，不给出位置关系则要分情况讨论，才可得出结论．两条相交直线可确定一个平面，两条平行直线可确定一个平面，

除此以外的任何两条直线不能确定平面；

(2)经过一点的两条直线可确定一个平面，三条直线不一定能确定平面； (3)三条直线两两相交，若不共点时这三条直线必共面；

(4)如果有三点共线，则此三点所在直线与第四点必同在某一平面内，即四点共面． 解：(1)× (2)× (3)× (4)√．

说明：由(3)题的分析过程可知：两两相交的三条直线有时共面有时不共面．那么对于空间四条直线何时共面何时不共面呢？

典型例题八

例8 如图，在正方体1111D C B A ABCD 中，点E 、F 分别是棱1AA 、1CC 的中点，试画出过点1D 、E 、F 三点的截面．

分析：本题考查作多面体截面的能力，主要依据是公理1和公理2欲画出所要求的截面与正方体各个侧面的交线．

解：连F D 1并延长F D 1与DC 的延长线交于点H ，连结E D 1与DA 的延长线交于点G ，连结GH 与AB 、BC 两条棱交于点B ，连结BE 、BF ，则F BED 1就是过点1D 、E 、F 三点的截面．

说明：本题亦可以证明点B 、E 、1D 、F 四点共面．若E 、F 不是棱A A 1与C C 1的中点，则作图过程中GH 不一定过点B ，所画的截面多边形可能是五边形．

典型例题九

例9 判断下列说法是否正确？并说明理由．

(1)平行四边形是一个平面．

(2)任何一个平面图形都是一个平面．

(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．

解：(1)不正确．平行四边形它仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延伸的． 说明：在立体几何中，我们通常用平行四边形表示平面，但绝不是说平行四边形就是平面．

(2)不正确．平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小，它是不可能无限延展的．

说明：要严格区分“平面图形”和“平面”这两个概念．