新华师大版九年级下册初中数学 课时2 垂径定理 教学课件
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BD
AC BC
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平
分弦所对的另一条弧,即:如图,在⊙O中,
CD是直径
CD AE
AB BE
AD BD
AC BC
第二十页,共二十九页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示,AB,CD 是⊙ O 的弦,M,N 分别为AB,CD的中点, 且∠ AMN = ∠ CNM. 求证:AB=CD.
弦所对的弧.
第十八页,共二十九页。
新课讲解
推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分 弦所对的弧,即:如图,在⊙O中,
CD是直径 CD AB
AE BE
AD
BD
AB不是直径
AC
BC
第十九页,共二十九页。
新课讲解
即:如图,在⊙O中,
CD是直径
CD AB
CD平分AB
AD
第二十七章 圆
27.1 圆的认识
2. 圆的对称性
课时2 垂径定理
第一页,共二十九页。
目 录
CONTENTS
1 学习目标
3 新课讲解
5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
第二页,共二十九页。
学习目标
1.圆的轴对称性
2.垂径定理
3.垂径定理的推论. (重点、难点)
第三页,共二十九页。
离地面的距离是( )
B
A.2 m
B.2.5 m
C.2.4 m
D.2.1 m
第二十八页,共二十九页。
拓展与延伸
如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,CD⊥AB于点E,则下列
结论:①∠COE=∠DOE;②CE=DE;③BC=BD;④OE=BE.其中,
一定正确的有( )
C
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
其对称轴是 什么?
(2)你能发现图中有哪些等量关 系?说一说你的理由.
AB,垂
第八页,共二十九页。
新课讲解
定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. 用几何语言表述为: 如图,在⊙O中,
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
AC
BD BC
第九页,共二十九页。
新课讲解
下列哪些图形可以用垂径定理?你能说明理由吗?
A
图1
O E
C
D
B
D
图3 A E O B C
O
图2
AEB
A C
E 图4 B
O D
第十页,共二十九页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示,弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB,垂足为点H,
且CD=2 2 ,BD= 3 ,则AB 的长为( )B
A. 2
B. 3
C. 4
分析:连接OD,如图所示.
D. 5
∵ CD ⊥ AB,CD=2 ,2 ∴ CH=DH= . 2 在Rt △ BHD 中,由勾股定理,得BH=1.
第二十一页,共二十九页。
新课讲解
解:连接OM,ON,OA,OC. ∵ O 为圆心,且M,N 分别为AB,CD 的中点, ∴ AB=2AM,CD=2CN,OM ⊥ AB,ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM,
∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
所以,这段弯路的半径为545 m.
第二十四页,共二十九页。
新课讲解
练一练
如图,⊙O的直径CD=10 cm,AB是⊙O的弦,AM =BM,OM∶OC=3∶5,则AB的长为( )A A.8 cm
B. cm
91
C.6 cm
D.2 cm
第二十五页,共二十九页。
课堂小结
垂径定理: (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
的长为( A.3
)C
B.2.5
C.4
D.3.5练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门,小红到影视城游玩,
她了解到这扇门的相关数据:这扇圆弧形门所在的圆与水平地面
是相切的,AB=CD=0.25 m,BD=1.5 m,且AB,CD与水平地面都
是垂直的.根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为:一条直线,它具备以下五个性质: ①直线过圆心;
②直线垂直于弦;
③直线平分弦(不是直径);
④直线平分弦所对的优弧;
⑤直线平分弦所对的劣弧.
如果把其中的任意两条作为条件,其余三条作为结论,组成的命题都是真命题.
第二十六页,共二十九页。
当堂小练
1.如图,在半径为5的⊙O中,弦AB=6,OP⊥AB,垂足为点P,则OP
第十二页,共二十九页。
新课讲解
分析:构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明. 解:过点O 作OM ⊥ AB,垂足为M, ∵ OM ⊥ AB,∴ AM=BM. ∵ AC=BD,∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD,∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形.
第十三页,共二十九页。
新课讲解
第十六页,共二十九页。
新课讲解
知识点3 垂径定理的推论
如图, AB是⊙O的弦(不是直径),作一条平分AB的直 径CD), 交AB于点M. (1)图是轴对称图形吗?如果是,
其对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你的理由.
第十七页,共二十九页。
新课讲解
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分
在Rt△ODA中,
OD=(R-7.2) m,OA=R m,
∴R2=(R-7.2)2+18.72,
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
第十五页,共二十九页。
新课讲解
如图,已知⊙O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论中错 误的是( )B
A.CE=DE
B.AE=OE
C. BC BD
D.△OCE≌△ODE
新课导入
(1)圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
你能找到多少条对称轴?
(2)你是用什么方法解决上述问题的?与同伴进行交
流.
第四页,共二十九页。
新课讲解
知识点1 圆的轴对称性 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对折,
重复做几次,你发现了什么?由此你能得到什么 结论?
第五页,共二十九页。
新课讲解
第二十九页,共二十九页。
练一练
1400年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形,它的跨度 (即弧所 对的弦长)为37.4 m,拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m,求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
第十四页,共二十九页。
新课讲解
解:如图,∵OD⊥AB,
∴AD= 1AB= 1×37.4=18.7(m).
2
2
第二十三页,共二十九页。
新课讲解
解:连接OC.设弯路的半径为Rm,则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD,∴ CF =
1
CD =
2
×1 600 = 300 (m). 2
在Rt△OCF中,根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2,
即R2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程,得R=545.
圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,经过圆心的
每一条直线都是圆的对称轴.
第六页,共二十九页。
新课讲解
练一练
过圆内一点A可以作出( A.1条 B.2条 C.无数条 D.1条或无数条
)D圆的对称轴.
第七页,共二十九页。
新课讲解
知识点2 垂径定理
如图, AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD丄
足为M.
(1)图是轴对称图形吗?如果是,
设⊙ O 的半径为r,
在Rt △ OHD 中,OH2+HD2=OD2,即(r-1)2+(
解得r= 3 ∴ AB=3. 2
第十一页,共二十九页。
)2=r22.
新课讲解
典例分析
例 如图所示,在⊙ O 中,AB 为⊙ O 的弦,C,D 是直线 AB 上两点,且AC=BD. 求证:△ OCD 为等腰三角形.
又∵ OA=OC, ∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN(HL). ∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
第二十二页,共二十九页。
新课讲解
典例分析
例 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧(即 图中 ,点OC是D 所在圆CD的 圆心),其中CD= 600m, E为 上一点,CD且OE丄CD,垂足为F, EF=90m.求这段弯路的半径.