新华师大版九年级下册初中数学 课时2 垂径定理 教学课件

BD
AC BC
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平
分弦所对的另一条弧，即：如图，在⊙O中，
CD是直径
CD AE
AB BE
AD BD
AC BC
第二十页，共二十九页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示，AB，CD 是⊙ O 的弦，M，N 分别为AB，CD的中点， 且∠ AMN = ∠ CNM. 求证：AB=CD.
弦所对的弧.
第十八页，共二十九页。
新课讲解
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
CD是直径 CD AB
AE BE
AD
BD
AB不是直径
AC
BC
第十九页，共二十九页。
新课讲解
即：如图，在⊙O中，
CD是直径
CD AB
CD平分AB
AD
第二十七章 圆
27.1 圆的认识
2. 圆的对称性
课时2 垂径定理
第一页，共二十九页。
目 录
CONTENTS
1 学习目标
3 新课讲解
5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
第二页，共二十九页。
学习目标
1.圆的轴对称性
2.垂径定理
3.垂径定理的推论. （重点、难点）
第三页，共二十九页。
离地面的距离是( )
B
A．2 m
B．2.5 m
C．2.4 m
D．2.1 m
第二十八页，共二十九页。
拓展与延伸
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，则下列
结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③BC＝BD；④OE＝BE.其中，
一定正确的有( )
C
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
其对称轴是 什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关 系？说一说你的理由.
AB，垂
第八页，共二十九页。
新课讲解
定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 用几何语言表述为： 如图，在⊙O中，
AE BE
CD是直径
CD
AB于点E
AD
AC
BD BC
第九页，共二十九页。
新课讲解
下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？
A
图1
O E
C
D
B
D
图3 A E O B C
O
图2
AEB
A C
E 图4 B
O D
第十页，共二十九页。
新课讲解
典例分析
例 如图所示，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H，
且CD=2 2 ，BD= 3 ，则AB 的长为（ ）B
A. 2
B. 3
C. 4
分析：连接OD，如图所示.
D. 5
∵ CD ⊥ AB，CD=2 ，2 ∴ CH=DH= . 2 在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
第二十一页，共二十九页。
新课讲解
解：连接OM，ON，OA，OC. ∵ O 为圆心，且M，N 分别为AB，CD 的中点， ∴ AB=2AM，CD=2CN，OM ⊥ AB，ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM，
∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON.
所以，这段弯路的半径为545 m.
第二十四页，共二十九页。
新课讲解
练一练
如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM ＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( )A A．8 cm
B. cm
91
C．6 cm
D．2 cm
第二十五页，共二十九页。
课堂小结
垂径定理： (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
的长为( A．3
)C
B．2.5
C．4
D．3.5练
2.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，
她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面
是相切的，AB＝CD＝0.25 m，BD＝1.5 m，且AB，CD与水平地面都
是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点
(2)关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质： ①直线过圆心；
②直线垂直于弦；
③直线平分弦(不是直径)；
④直线平分弦所对的优弧；
⑤直线平分弦所对的劣弧．
如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题都是真命题．
第二十六页，共二十九页。
当堂小练
1.如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP
第十二页，共二十九页。
新课讲解
分析：构建垂径定理的基本图形结合线段垂直平分线性质证明. 解：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M， ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角形.
第十三页，共二十九页。
新课讲解
第十六页，共二十九页。
新课讲解
知识点3 垂径定理的推论
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD)， 交AB于点M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
第十七页，共二十九页。
新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分
在Rt△ODA中，
OD＝(R－7.2) m，OA＝R m，
∴R2＝(R－7.2)2＋18.72，
解得R≈27.9.
∴桥拱所在圆的半径约为27.9 m.
第十五页，共二十九页。
新课讲解
如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论中错 误的是( )B
A．CE＝DE
B．AE＝OE
C. BC BD
D．△OCE≌△ODE
新课导入
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交
流.
第四页，共二十九页。
新课讲解
知识点1 圆的轴对称性 用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，
重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么 结论？
第五页，共二十九页。
新课讲解
第二十九页，共二十九页。
练一练
1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的跨度 (即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
第十四页，共二十九页。
新课讲解
解：如图，∵OD⊥AB，
∴AD＝ 1AB＝ 1×37.4＝18.7(m)．
2
2
第二十三页，共二十九页。
新课讲解
解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD，∴ CF =
1
CD =
2
×1 600 = 300 (m). 2
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，
即R2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
圆是轴对称图形,圆有无数条对称轴,经过圆心的
每一条直线都是圆的对称轴.
第六页，共二十九页。
新课讲解
练一练
过圆内一点A可以作出( A．1条 B．2条 C．无数条 D．1条或无数条
)D圆的对称轴．
第七页，共二十九页。
新课讲解
知识点2 垂径定理
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄
足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
设⊙ O 的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，即（r-1）2+（
解得r= 3 ∴ AB=3. 2
第十一页，共二十九页。
）2=r22.
新课讲解
典例分析
例 如图所示，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线 AB 上两点，且AC=BD. 求证：△ OCD 为等腰三角形.
又∵ OA=OC， ∴ Rt △ OAM ≌ Rt △ OCN（HL）. ∴ AM=CN. ∴ AB=CD.
第二十二页，共二十九页。
新课讲解
典例分析
例 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 ,点OC是D 所在圆CD的 圆心），其中CD= 600m， E为 上一点，CD且OE丄CD，垂足为F， EF=90m.求这段弯路的半径.