山西省太原市常青藤中学校、李林中学2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题

山西省太原市常青藤中学校、李林中学2024-2025学年高二上学
期10月联考数学试题
一、单选题
1．直线10x +=的倾斜角是（）
A ．30o
B ．60o
C ．120
D ．150
2．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，
点G 在线段MN 上，且2GN MG =，现用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG
，设OG = x y OA + OB z + OC
，则x ，y ，z 的值分别为（）
A ．111
,,333x y z ===
B ．111
,,336x y z ===
C ．111
,,366
x y z ===
D ．111
,,633
x y z ===
3．已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）
A ．()2
2118
x y ++=B ．()2
21x y +-=
C ．()22118
x y -+=D ．()2
21x y -+=4．已知点()2,1P 是圆222430x y x k ++-+=外的一点，则k 的取值范围是（）
A ．()
3,+∞B ．()
,3-∞C ．2⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
D ．1,32⎛⎫
⎪
⎝⎭
5．经过点(0,1)P -
作直线l ，若直线l 与连接(2,1),(1,1)A B --两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角α的取值范围为（）
A ．π[0,]
3
B ．[0,π)
C ．3[0,(,]
324πππ
D ．π3[0,][,π)
34
π
6．已知直线l 过点(2),3,1A ，且(1,1,1)a =
为其一个方向向量，则点(4,3,2)P 到直线l 的距离
为（）
A
B C ．
2
D ．
2
7．已知AC ，BD 为圆O ：22x y 4+=的两条相互垂直的弦，垂足为(M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为()A ．4
B ．
C ．5
D ．8．正四面体的棱长为3，MN 是它内切球的直径，P 为正四面体表面上的动点，PM PN ⋅
的
最大值为（）
A ．2
B ．
94
C ．
52
D ．3
二、多选题
9．已知圆()()2
2
114x y -+-=与直线20x my m +--=，下列选项正确的是（
）
A ．直线与圆必相交
B ．直线与圆不一定相交
C ．直线与圆相交且所截最短弦长为
D ．直线与圆可以相切10．下列结论正确的是（）
A ．已知向量()()9,4,4,1,2,2a b =-= ，则a 在b
上的投影向量为(1,2,2)
B ．若对空间中任意一点O ，有111632
OP OA OB OC =++
则P ，A ，B ，C 四点共面
C ．已知{},,a b c 是空间的一组基底，若m a c =+
，则{,,}a b m 也是空间的一组基底
D ．若直线l 的方向向量为(1,0,3),e = 平面α的法向量2
(2,0,)3
n =- ，则直线l α
⊥11．已知圆C ：22(2)4x y -+=，以下四个命题表述正确的是（）
A ．若圆221080x y x y m +--+=与圆C 恰有3条公切线，则16m =
B ．圆2220x y y =++与圆
C 的公共弦所在直线为20
x y +=
C ．直线()()2132530m x m y m +++--=与圆C 恒有两个公共点
D ．点P 为y 轴上一个动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，且,A B 的中点为M ，若定点()5,3N ，则MN 的最大值为6
三、填空题
12．已知直线1l ：310mx y +-=，2l ：()2110x m y +-+=，若12l l ∥，则实数m =
.
13．已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =-
，()112,0,0A D =- ，
则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为
.
14．在ABC V 中，顶点()2,3A ，点B 在直线:310l x y -+=上，点C 在x 轴上，则ABC V 周长的最小值为
.
四、解答题
15．已知()3,4,a x =
，()2,,2b y =- .
(1)若(2a b +
)∥(a b - )，求x ，y 的值；
(2)若()()
a b a b +⊥-
，且5b = ，求x 的值.
16．已知直线1:240l x y ++=与直线2:350l x y --=的交点为M ．(1)求点M 关于直线2310x y -+=的对称点N ；
(2)求点()4,0A 到经过点M 的直线l 距离的最大值，并求距离最大时的直线l 的方程．
17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，
AB AD ⊥，//AD BC ，且1PB AB BC ===，1
2
AD =
，M 为PA 中点.
(1)求点M 到直线PC 的距离；
(2)求平面PAD 与平面PBC 所成夹角的余弦值.
18．已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点(1,0)A ．(1)求圆C 的圆心坐标和半径；
(2)若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；
(3)若直线l 与圆C 相交于,P Q 两点，
求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 的方程.19．已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b == ，则AOB ∠叫做向量,a b
的夹角，记作,a b <> ．定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯
是一个向量，它与向量,a b 都垂直，它的模是||||sin ,a b a b a b ⨯=<>
｜｜.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥
底面ABCD ，24,DP DA AB ===E 为线段AD 上一点.
(1)求||BC BP ⨯
的值．
(2)若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的正弦值．(3)若M 为线段PB 上一点，且满足AD BP EM λ⨯=
，求λ．。