4.6利用相似三角形测高
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6 利用相似三角形测高
【议一议】
如何利用相似三角形的有关知识测量旗
杆(或路灯,或树,或烟囱)的高度 ?
利用阳光下的影子
方法1:利用阳光下的影子
1.图中两个三角形是否相似?
为什么?
2.利用阳光下的影子，
测量旗杆高度，需要
测出哪些数据才能计 算出高度？
D
∵△ABC∽△DEF ∴ 即 AC＝ BC DF EF 人高＝人影 物高 物影
5＝ CDCABiblioteka ?AB5 ＝1
2
所以AB＝10.
答：Ａ，Ｂ两点间的距离是１０m.
例：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自 己的位置，当楼的顶部 M、颖颖的头顶 B 及亮亮的眼睛 A 恰在一条 直线上时，两人分别标定自己的位置 C、D.然后测出两人之间的距 CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离 DN＝30 m，颖颖的身高 BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 AC＝0.8m．你能根据以上测 量数据帮助他们求出该住宅楼的高度吗？
下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则这棵树的 高度为______m. 【解析】设这棵树的高度为xm，则 1.6∶x=0.8∶4.8， 解得x=9.6，即这棵树的高度为9.6m. 答案：9.6
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用阳光下的影子、标杆和镜子的反射，测量旗杆的高 度. 2.当被测物体不能直接测量时，我们往往利用相似三角形
解：过 A 作 CN 的平行线交 BD 于 E，交 MN 于 F. 由已知可得 FN＝ED＝AC＝0.8 m，AE＝CD＝1.25 m， EF＝DN＝30 m，∠AEB＝∠AFM＝90° . 又∠BAE＝∠MAF， ∴△ABE∽△AMF. BE AE ∴MF＝AF. 1.6－0.8 1.25 即 MF ＝ . 1.25＋30 解得 MF＝20. ∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8(m)． 所以该住宅楼的高度为 20.8 m.
的性质测量物体.
3.利用这三种测量方法，测量的结果允许有误差.
伤心，是一种最堪咀嚼的滋味.如果不经过
这份疼痛——度日如年般地经过，不可能玩
味其他人生的欣喜.
——三毛
答：树高1２m.
2.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳子 测量A,B两点之间的距离,但绳子的长度不够,一位同学 帮她想了一个主意,先在地上取一个可以直接到达A,B两点的
点C,找到AC,BC的中点D,E,若DE的长为5m,则A,B两点的距离
是多少？ 解：由题意知△CDE∽△CAB， ∴ 即 AB 5米
E
A
C
应用：若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m, 镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度.
1. 在实际生活中, 我们面对不易直接测量的 物体的时， 可以把它们转化为数学问题,建 立相似三角形模型,再利用相似三角形的性 质来达到求解的目的。 2. 我们应该掌握并应用一些简单的相似三 角形模型。 3.测高的方法 4. 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用 “在同一时刻物高与影长的比例”的原理解 决
【跟踪训练】
1.如图，在距离AB 18m的地面上平放着一面镜子E,人退
后到距镜子2.1m的D处，在镜子里恰看见树顶,若人眼距
地面1.4m，求树高. 解：设树高xm. 由题意知△ABE∽△CDE， A
∴
∴
AB＝ BE CD DE
X ＝ 18 1.4 2.1
C
1.4m
1
2
18m
D 2.1m E
B
x=12.
1.(内江·中考）如图，为了测量某棵树的高度，小明 用长为2m的竹竿作为测量工具，移动竹竿，使竹竿、树 的顶端的影子终点恰好落在地面的同一点，此时，竹竿 与这点相距6m，与树相距15m，则树的高度为_______m.
【解析】设树的高度为xm，利用两个三角形相似可 得x=7. 答案：7
2.(甘肃·中考）在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光
应用：若学生眼睛距地面高度是1.6m,标杆是2m，学生距
标杆1m,标杆底部距旗杆底部是5m,求旗杆高度.
【议一议】
方法3:利用镜子 1.图中的两个三角形是否相似?为什么？ 2.利用镜子反射测量旗杆高度，需要 测出哪些数据才能计算出高度？
【做一做】
B 因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ D 所以 ＡＥ ＤＥ ＝ ＡＣ ＢＣ
A
应用：若学生身高是1.6m, B C E F 其影长是2m,旗杆影长5m,求 旗杆高度.
方法2:利用标杆
1.讨论:如何在图中通过添辅助线
转化为相似三角形的问题?
2.利用标杆测量旗杆高度，需要测 出哪些数据才能计算出高度？
【做一做】
B
因为△ＡＢＣ∽△AＥＦ
E A F ＡＦ ＥＦ 所以 ＡＣ＝ＢＣ C
【议一议】
如何利用相似三角形的有关知识测量旗
杆(或路灯,或树,或烟囱)的高度 ?
利用阳光下的影子
方法1:利用阳光下的影子
1.图中两个三角形是否相似?
为什么?
2.利用阳光下的影子，
测量旗杆高度，需要
测出哪些数据才能计 算出高度？
D
∵△ABC∽△DEF ∴ 即 AC＝ BC DF EF 人高＝人影 物高 物影
5＝ CDCABiblioteka ?AB5 ＝1
2
所以AB＝10.
答：Ａ，Ｂ两点间的距离是１０m.
例：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自 己的位置，当楼的顶部 M、颖颖的头顶 B 及亮亮的眼睛 A 恰在一条 直线上时，两人分别标定自己的位置 C、D.然后测出两人之间的距 CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离 DN＝30 m，颖颖的身高 BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离 AC＝0.8m．你能根据以上测 量数据帮助他们求出该住宅楼的高度吗？
下的影长为0.8m，一棵大树的影长为4.8m，则这棵树的 高度为______m. 【解析】设这棵树的高度为xm，则 1.6∶x=0.8∶4.8， 解得x=9.6，即这棵树的高度为9.6m. 答案：9.6
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.利用阳光下的影子、标杆和镜子的反射，测量旗杆的高 度. 2.当被测物体不能直接测量时，我们往往利用相似三角形
解：过 A 作 CN 的平行线交 BD 于 E，交 MN 于 F. 由已知可得 FN＝ED＝AC＝0.8 m，AE＝CD＝1.25 m， EF＝DN＝30 m，∠AEB＝∠AFM＝90° . 又∠BAE＝∠MAF， ∴△ABE∽△AMF. BE AE ∴MF＝AF. 1.6－0.8 1.25 即 MF ＝ . 1.25＋30 解得 MF＝20. ∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8(m)． 所以该住宅楼的高度为 20.8 m.
的性质测量物体.
3.利用这三种测量方法，测量的结果允许有误差.
伤心，是一种最堪咀嚼的滋味.如果不经过
这份疼痛——度日如年般地经过，不可能玩
味其他人生的欣喜.
——三毛
答：树高1２m.
2.如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小芳想用绳子 测量A,B两点之间的距离,但绳子的长度不够,一位同学 帮她想了一个主意,先在地上取一个可以直接到达A,B两点的
点C,找到AC,BC的中点D,E,若DE的长为5m,则A,B两点的距离
是多少？ 解：由题意知△CDE∽△CAB， ∴ 即 AB 5米
E
A
C
应用：若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m, 镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度.
1. 在实际生活中, 我们面对不易直接测量的 物体的时， 可以把它们转化为数学问题,建 立相似三角形模型,再利用相似三角形的性 质来达到求解的目的。 2. 我们应该掌握并应用一些简单的相似三 角形模型。 3.测高的方法 4. 测量不能到达顶部的物体的高度,通常用 “在同一时刻物高与影长的比例”的原理解 决
【跟踪训练】
1.如图，在距离AB 18m的地面上平放着一面镜子E,人退
后到距镜子2.1m的D处，在镜子里恰看见树顶,若人眼距
地面1.4m，求树高. 解：设树高xm. 由题意知△ABE∽△CDE， A
∴
∴
AB＝ BE CD DE
X ＝ 18 1.4 2.1
C
1.4m
1
2
18m
D 2.1m E
B
x=12.
1.(内江·中考）如图，为了测量某棵树的高度，小明 用长为2m的竹竿作为测量工具，移动竹竿，使竹竿、树 的顶端的影子终点恰好落在地面的同一点，此时，竹竿 与这点相距6m，与树相距15m，则树的高度为_______m.
【解析】设树的高度为xm，利用两个三角形相似可 得x=7. 答案：7
2.(甘肃·中考）在同一时刻，身高1.6m的小强在阳光
应用：若学生眼睛距地面高度是1.6m,标杆是2m，学生距
标杆1m,标杆底部距旗杆底部是5m,求旗杆高度.
【议一议】
方法3:利用镜子 1.图中的两个三角形是否相似?为什么？ 2.利用镜子反射测量旗杆高度，需要 测出哪些数据才能计算出高度？
【做一做】
B 因为△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ D 所以 ＡＥ ＤＥ ＝ ＡＣ ＢＣ
A
应用：若学生身高是1.6m, B C E F 其影长是2m,旗杆影长5m,求 旗杆高度.
方法2:利用标杆
1.讨论:如何在图中通过添辅助线
转化为相似三角形的问题?
2.利用标杆测量旗杆高度，需要测 出哪些数据才能计算出高度？
【做一做】
B
因为△ＡＢＣ∽△AＥＦ
E A F ＡＦ ＥＦ 所以 ＡＣ＝ＢＣ C