小学四年级奥数笔记之幻方

第一讲 幻方

【知识要点】

在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方。

如果在44×（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44×方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在n×n（n 行n 列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n 个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n 个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n 叫做阶，这样排成的数的图形叫做n 阶幻方。

中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。

任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！ 幻方的幻和等于 n (n 2 +1) ÷2 。 幻和=总和÷阶数

幻积=中间数的3次方。

二、幻方的特征：

1、对称性

2、轮换性

三、幻方的种类：

按照纵横各有数字的个数，可以分为：

三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方… … 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 1、奇数阶幻方 2、偶数阶幻方

（1）单偶数阶幻方，阶数是2的倍数，形如：2n+2 （2）双偶数阶幻方，阶数是4的倍数，形如：2n+4

四、幻方的构造方法

1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方）

早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：

九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出

戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足

2、罗伯法

适用于奇数阶幻方，适合于连续自然数或者等差数列的奇数阶幻方。

口诀：

1居下行正中央，依次斜填切莫忘；

下出框时往上写，左出框时往右放；

排重便往上格填，左下排重一个样。

3、巴舍法(平移补空法)（适合奇数阶幻方）

要点，构造五阶具体操作：

(1)画图:构造楼梯

(2)按顺序填数（数字按顺序斜排）

(3)平移补空:把幻方外的数字平移进幻方——上到下，下到上，左到右，右到左，注意：几阶幻

方就平移几个格。

4、对称交换法（对角线法）——适用于四阶幻方

总体来说，偶数阶的幻方构造比奇数阶要复杂。但因为四阶阶数

不大，作为拓展， 补充一下四阶的一种简单构造方法——对角线法。

【典型例题】

例题1：请编出一个三阶幻方，使其幻和为２４。

基本型三阶幻方的幻和是１５。幻和增加了２４－１５＝９，

每个数应该增加９÷３＝３。

三阶幻方的基本型的拓展：

每个数都加上１，依然是一个幻方，幻和增加了３。

幻方的基本型可以拓展出更多的幻方！

例题2：在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都等于18.

2

5

例题3：请用１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７编制一个三阶幻方。

这是一个等差数列，将它与基本型中的１－９对应好：

１１、１３、１５、１７、１９、２１、２３、２５、２７

１、 ２、 ３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９

（１）先写出基本型

（２）再对应的数填在对应的位置。

例题4：小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2、3、6三个数（右图），那么小华的乘积魔方构造完毕后，x等于________。

方法一：老师讲过幻和，也讲过幻积，但幻积不是重点，如果知道幻积和中间数的关系，题目就简单了，幻积=中间数的3次方。

方法二：我再给出一种不用列方程的方法，不用求出来右边竖列的3个数，

中间竖列的3个数是可求的。（下图）

从B看对角线和横行，有：2×6=3×j，j=4。

从A看对角线和横行，有：3×6=2×i，i=9。

如图所示。

这样，就有2·x·3 = 9×6×4，所以x=36。

【习题：】

1、把７—１５这九个数构成一个三阶幻方。

2、把３、４、５、８、９、１０、１３、１４、１５编成一个三阶幻方，并求出幻和是多少？

3、构成一个三阶幻方，使其幻和是１８。

（1） （2） （3）

4、把５－２０这１６个数构成一个四阶幻方。

5、用罗伯法把５－２９这２５个数编成一个五阶幻方，。

（4） （5）

6、小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2、4、8三个数（如下图），那么小华的乘积魔方构造完毕后，x等于________。