永州市九年级数学上册第三单元《旋转》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．观察下列“风车”的平面图案，其中既是轴对称又是中心对称图形的有（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图，OAB 绕点O 逆时针旋转80°到OCD 的位置，已知45AOB ∠=︒，则AOD ∠等于（ ）
A ．45°
B ．35°
C ．25°
D ．15°
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 4．以原点为中心，将点P （3，4）旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第二象限 B ．第三象限 C ．第四象限 D ．第二或第四象限 5．如图所示，把ABC 绕C 点旋转35︒，得到A B C '''，A B ''交AC 于点D ，若90A DC '∠=︒，则A ∠等于（ ）
A ．35︒
B ．65︒
C ．55︒
D ．45︒
6．如图所示，ABC 中，65C =︒∠，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转后，得到AB C ''∆，且C '在边BC 上，则B C B ''∠的度数是（ ）
A．46°B．48°C．50°D．52°
7．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90º，则旋转后点D的对应点D的坐标是( )
A．(-2，0) B．(-2，10) C．(2，10)或(-2，0) D．(10，2)或( -2，10) 8．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕A逆时针转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是 ( )
A．2 B．23C．4 D．不能确定
9．如图，将△ABC绕点C（0，－1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（－3，－4）则点A′的坐标为
A．（3，2）B．（3，3）C．（3，4）D．（3，1）
10．如图：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为（）
A3B．2 C．1 D2
11．已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°
得到△ACQ ，点D 是AC 边的中点，连接DQ ，则DQ 的最小值是( )
A ．22
B ．4
C ．23
D ．不能确定 12．如图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12
，如图②，移动正方形A 的位置，使正方形B 的一个顶点与正方形A 的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B 面积的（ ）
A ．12
B ．14
C ．16
D ．18
二、填空题
13．如图，将边长为6的正方形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转30︒后得到正方形A B C D ''''，则图中阴影部分面积为____________．
14．已知点()2,3A x -与点()4,5B y -关于原点对称，则xy 的值等于______． 15．如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转得到△A′OB′，若∠A′=40°，则∠B′= °，∠AOB= ．
16．在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是_____．
17．如图，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得
点B 、A 、C ′在同一直线上，则α=______．
18．若点()3,5B n +与点()4,A m 关于原点O 中心对称，则m n +=______________． 19．如图，在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，如果ABC 绕点B 旋转，使点C 落在AB 边上的点D 处得到EBD △，则点A 到BE 的距离是__________．
20．如图，在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ．将Rt ABC 绕点A 逆时针旋转得到Rt AB C ''△，使点C '落在AB 边上，连结BB '，则BB '的长度为_________．
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （2，4）、B （1，2）、C （5，3），如图：
（1）以点（0，0）为旋转中心，将△ABC 顺时针转动90°，得到△A 1B 1C 1，在坐标系中画出△A 1B 1C 1，写出A 1、B 1、C 1的坐标；
（2）在（1）中，若△ABC 上有一点P （m ，n ），直接写出对应点P 1的坐标． （3）作出△ABC 关于点O 的中心对称图形△A 2B 2C 2．
22．把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG 叠放在一起（如图①），两直角三角板的直角边长均为4，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现
将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：090α︒<<︒），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系：________．
（2）四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论．
（3）连接HK ，在上述旋转过程中，设BH x =，GKH △的面积为y ，求y 与x 之间的关系，并通过“配方法”求出GKH △面积的最小值．
23．将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张全等的三角形胶片△ABC 和△DEF ，将这两张三角形胶片的顶点B 与顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O ．
（1）当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ），C ，D 在同一直线上时，AF 与CD 的数量关系是_______；
（2）当△DEF 继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
24．已知在平面直角坐标系中，A （﹣2，0）、B （3，﹣1）、C （2，2），格中每一格表示一个单位长度，请解答以下问题：
（1）求作出△ABC ；
（2）将△ABC 平移，使得平移后点C 的对应点为原点，A 、B 的对应点分别为A 1，B 1，请作出平移后的△A 1B 1O ，并直接写出平移的距离为 ；
（3）将△ABC 绕点A 逆时针旋转90°，得到△AB 2C 2，B 、C 的对应点分别为B 2、C 2，请作出△AB 2C 2，并求出B 2、C 2点的坐标．
25．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△DOC是等边三角形；
（2）当AO＝5，BO＝4，α＝150°时，求CO的长；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
26．江都大润发超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克．经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题：
（1）填空：每千克水产品获利元，月销售量减少千克；
（2）要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的两个概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、既是轴对称又是中心对称图形，故此项正确；
B、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误；
C、不是轴对称，是中心对称图形，故此项错误；
D、是轴对称，不是中心对称图形，故此项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．B
解析：B
【分析】
本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解．
【详解】
解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，
所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°．
故选：B．
【点睛】
本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
3．D
解析：D
【分析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【详解】
解：A、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【解答】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（3，4）旋转90°，分两种情况讨论即可得到点Q 所在的象限．
【详解】
如图，点P （3，4）按逆时针方向旋转90°，得到点1Q ，
按顺时针方向旋转90°，得到点2Q ，
得点Q 所在的象限为第二、四象限．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．注意分类讨论． 5．C
解析：C
【分析】
先根据旋转的性质可得,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，再根据三角形的内角和定理可得A '∠的度数，由此即可得．
【详解】
由旋转的性质得：,35A A ACA ''∠=∠∠=︒，
90A DC '∠=︒，
18055A A DC ACA '''∴∠=︒-∠-∠=︒，
55A A '∴∠=∠=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 6．C
解析：C
【分析】
根据旋转的性质和∠C ＝65°，从而可以求得∠AC′B′和∠AC′C 的度数，从而可以求得∠B′C′B 的度数．
【详解】
∵将△ABC 绕点A 顺时针旋转后，可以得到△AB′C′，且C′在边BC 上，
∴AC ＝AC′，∠C ＝∠AC′B′，
∴∠C＝∠AC′C，
∵∠C＝65°，
∴∠AC′B′＝65°，∠AC′C＝65°，
∴∠B′C′B＝180°−∠AC′B′−∠AC′C＝50°，
故选：C．
【点睛】
本题考查旋转的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．C
解析：C
【分析】
根据题意，分顺时针和逆时针旋转两种情况解答即可．
【详解】
解：由题意，AB=BC=5，BD=5﹣3=2，∠B=90°，
若把△CDB顺时针旋转90º，
则点D在x轴的负半轴上，O D=BD=2，
所以点D坐标为（﹣2，0）；
若把△CDB逆时针旋转90º，
则点D到x轴的距离是5+5=10，到y轴的距离是2，
∴点D的坐标为（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D的坐标是(2，10)或(-2，0)，
故选：C．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化-旋转、正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，分顺时针和逆时针旋转两种情况是解答的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据旋转的性质，即可得到∠ACQ=∠60
B=°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】
解:由旋转可得∠ACQ=∠60
B=°．
因为点D是AC的中点，所以CD=4．
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，此时∠CDQ＝30︒．
所以
1
2
2
CQ CD
==，
DQ==
所以DQ的最小值是故选B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
9．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据A 与A′关于C 点对称，设A′的坐标为（a ，b ），可知302a -+=，412
b -+=-，解得a=3，b=2，因此可知A′点的坐标为（3，2）. 故选A
考点：中心对称
10．A
解析：A
【解析】
试题分析：由题意可知：∠A=60°，AC=EC ，所以△ACE 是等边三角形，所以
∠CEA=∠ECA=60°，由旋转可知，∠CEF=∠A=60°，所以∠FEB=60°，因为
∠ECF=∠ACB=90°，所以∠BCF=∠ACE=60°，因为CB=CF ，所以△CBF 是等边三角形，所以∠CBF=60°， ∠FBE=60°+30°=90°， △BEF 是30度角直角三角形，因为AE=AC=1，AB=2AC=2，所以BE=1，EF=2，BF=21213-=，故选A ．
考点：1．旋转性质；2．直角三角形性质．
11．C
解析：C
【分析】
依据旋转的性质，即可得到∠BCQ=120°，当DQ ⊥CQ 时，DQ 的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ 的最小值．
【详解】
如图，由旋转可得∠ACQ=∠B=60°，
又∵∠ACB=60°，
∴∠BCQ=120°，
∵点D 是AC 边的中点，
∴CD=4，
当DQ ⊥CQ 时，DQ 的长最小，
此时，∠CDQ=30°，
∴CQ=12
CD=2， ∴
=，
∴DQ
的最小值是
故选：C ．
【点睛】
此题考查旋转的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
12．D
解析：D
【分析】
设正方形B 的面积为S ，正方形B 对角线的交点为O ，标注字母并过点O 作边的垂线，根据正方形的性质可得OE=OM ，∠EOM=90°，再根据同角的余角相等求出∠EOF=∠MON ，然后利用“角边角”证明△OEF 和△OMN 全等，根据全等三角形的面积相等可得阴影部分的面积等于正方形B 的面积的
14
，再求出正方形B 的面积=2正方形A 的面积，即可得出答案．
【详解】
解：设正方形B 对角线的交点为O ，如图1，
设正方过点O 作边的垂线，则OE ＝OM ，∠EOM ＝90°，
∵∠EOF+∠EON ＝90°，∠MON+∠EON ＝90°，
∴∠EOF ＝∠MON ，
在△OEF 和△OMN 中 EOF MON OE 0M
OEF OMN 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
， ∴△OEF ≌△OMN （ASA ），
∴阴影部分的面积＝S 四边形NOEP +S △OEF ＝S 四边形NOEP +S △OMN ＝S 四边形MOEP ＝
14S 正方形CTKW ， 即图1中阴影部分的面积＝正方形B 的面积的四分之一，
同理图2中阴影部分烦人面积＝正方形A 的面积的四分之一，
∵图①，正方形A 的一个顶点与正方形B 的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A 面积的12
， ∴正方形B 的面积＝正方形A 的面积的2倍，
∴图2中重叠部分面积是正方形B 面积的18
， 故选D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
二、填空题
13．【分析】由旋转角∠BAB′=30°可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED 计算面积即可【详解】如图连接根据旋转角为可知在与中在中故答案为：【点
解析：36123-【分析】
由旋转角∠BAB′=30°，可知∠DAB′=90°﹣30°=60°；构造全等三角形，用S 阴影部分=S 正方形﹣S 四边形AB′ED ，计算面积即可．
【详解】
如图，连接AE ，根据旋转角为30，可知，30BAB '∠=︒，
9060DAB ∴∠=︒-30︒='︒， 在Rt ADE △与Rt AB E '中，
AD AB AE AE '=⎧⎨=⎩
()Rt ADE Rt AB E HL '∴△△≌，
1302
EAD B AD DAB '∴∠=∠=∠='︒， ∴在Rt ADE △中，6AD =，23ED =
112623632
ADE AD E S D ⋅∴=⨯=⨯=△ 1223ADEB ADE S S '=∴=△，
2636ABCD S ==正方形，
36123ADEB ABCD S S S '∴-==阴影正方形-，
故答案为：36123-．
【点睛】
本题考查了正方形的性质及旋转的性质，熟练添加辅助线，证明全等，灵活计算阴影面积是解题关键．
14．-4【分析】利用关于原点对称点的性质求出xy 的值进而求出答案【详解】解：∵点与点关于原点对称∴x-2=-4y-5=-3∴x=-2y=2∴xy=（-2）×2=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了关于原
解析：-4
【分析】
利用关于原点对称点的性质求出x ，y 的值，进而求出答案．
【详解】
解：∵点()2,3A x -与点()4,5B y -关于原点对称，
∴x-2=-4，y-5=-3，
∴x=-2，y=2，
∴xy=（-2）×2=-4．
故答案为：-4
【点睛】
本题考查了关于原点对称点的性质，根据与原点对称的点的坐标特点（纵坐标，横坐标都互为相反数）得出x ，y 的值是解题关键．
15．30°110°【分析】根据旋转的性质得到利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可【详解】∵△AOB 中∠B=30°将△AOB 绕点O 顺时针旋转得到△A′OB′∠A′=40°∴∠B=∠B′=
解析：30°， 110°
【分析】
根据旋转的性质得到，利用∠AOB=∠A′OB′以及三角形内角和定理计算即可．
【详解】
∵△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转得到△A′OB′，∠A′=40°， ∴∠B=∠B′=30°，∠A′=∠A=40°，
则∠B′=30°，∠AOB=180°-∠A-∠B=110°．
故答案为30，110．
考点：旋转的变换
16．（1﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（xy）关于原点的对称点是（﹣x﹣y）可得答案【详解】解：在直角坐标系中点（﹣12）关于原点对称点的坐标是（1﹣2）故答案为（1﹣2）【点睛】本题考查
解析：（1，﹣2）
【分析】
根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），可得答案．
【详解】
解：在直角坐标系中，点（﹣1，2）关于原点对称点的坐标是（1，﹣2），
故答案为（1，﹣2）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．17．150°【分析】根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=30°求出∠BAB′即可【详解】解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°）使得点BAC′在同一直线上∴
解析：150°
【分析】
根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=30°，求出∠BAB′即可．
【详解】
解：∵将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），使得点B、A、C′在同一直线上，
∴∠BAC=∠B′AC′=30°，
∴∠BAB′=180°-∠B′AC′=180°-30°=150°，
即α=150°，
故答案为150°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质和邻补角的定义，能根据旋转的性质求出∠B′AC′的度数是解此题的关键．
18．-12【分析】两个点关于原点对称时它们的横坐标互为相反数纵坐标也互为相反数直接利用关于原点对称点的性质得出mn的值进而得出答案【详解】∵点B（5）与点A（4）关于原点成中心对称∴∴∴故答案为：【点睛
解析：-12
【分析】
两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，进而得出答案．
【详解】
∵点B （3n +，5）与点A （4，m ）关于原点成中心对称，
∴34n +=-，5m =-，
∴5m =-，7n =-，
∴()5712m n +=-+-=-．
故答案为：12-．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆关于原点对称点的坐标性质是解题关键．
19．3【分析】连接AE 作AH ⊥BE 于H 根据勾股定理求出AC 的值根据旋转的性质可知BE=AB=5DE=AC=3然后根据等面积法求解即可【详解】解：连接AE 作AH ⊥BE 于H ∵在中∴AC=由旋转的性质得BE=
解析：3
【分析】
连接AE ，作AH ⊥BE 于H ，根据勾股定理求出AC 的值，根据旋转的性质可知BE=AB=5，DE=AC=3，然后根据等面积法求解即可．
【详解】
解：连接AE ，作AH ⊥BE 于H ，
∵在Rt ABC 中，5AB =，4BC =，
∴AC=2254=3-，
由旋转的性质得
BE=AB=5，DE=AC=3，
∵
1122
BE AH AB DE ⋅=⋅， ∴5AH=5×3，
∴AH=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了勾股定理，旋转的性质，等面积法求线段的长，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
20．4【分析】由勾股定理得到AB=10然后根据旋转的性质求出△BB′C′的边长最后根据勾股定理求出BB′即可【详解】∵在Rt △ABC 中∠C=90°AC ＝6cmBC ＝8cm ∴又由旋转的性质知AC′=AC=
解析：45
【分析】
由勾股定理得到AB=10，然后根据旋转的性质求出△BB′C′的边长，最后根据勾股定理求出BB′即可．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝6cm，BC＝8cm，
∴2210
=+=．
AB AC BC
又由旋转的性质知，AC′=AC=6，B′C′=BC=8
∴BC′= AB-AC′=4
∵B′C′⊥AB，
∴在Rt△BB′C′中，2245
''．
''=
=+
BB B C BC
故答案为45．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质和勾股定理，此题实际上是利用直角三角形的性质和旋转的性质将所求线段BB'与已知线段AC、BC的长度联系起来求解的．
三、解答题
21．（1）图见解析，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；（2）P1的坐标为（n，﹣m）；（3）见解析
【分析】
（1）依据点（0，0）为旋转中心，将△ABC顺时针转动90°，即可得到△A1B1C1；
（2）依据旋转前后坐标的变化规律，即可得到对应点P1的坐标；
（3）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于点O的中心对称图形△A2B2C2．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（4，﹣2）、B1（2，﹣1）、C1（3，﹣5）；
（2）若△ABC上有一点P（m，n），则对应点P1的坐标为（n，﹣m）．
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求．
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段
也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22．（1）BH CK =；（2）不变，证明见解析；（3）2
482
x x y -+=；2 【分析】
（1）连接CG ，可通过证明KCG HBG ≅△△则可证得BH=CK ；
（2）由KCG HBG ≅△△可得它们的面积相等，进而得出四边形CHGK 的面积不变； （3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，利用等腰三角形的性质和勾股定理可求得
222248GH GQ QH x x =+=-+，再利用KCG HBG ≅△△证得KGH 为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式可得到y 与x 之间的关系式，然后利用二次函数的最值求法即可解答．
【详解】
（1）连接CG ，如图：
∵
ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，
∴CG BG =，45ACG CBG ∠=∠=︒，
90CGB ∠=︒， ∵90KGC CGF ∠+∠=︒，
90CGF FGB ∠+∠=︒，
∴KGC FGB ∠=∠，
∴在KCG △与HBG 中，
KCG HBG CG BG
CGK BGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴()KCG HBG ASA ≅△△，
∴BH CK =，
故答案为：BH=CK ．
（2）∵KCG HBG ≅△△，
∴CGK S △=GHB S
∴CHGK CGK CGH S S S =+△△四边形
CGH GHB S S =+△△
CGB S =△
12
ABC S =
△ 4=． 故四边形CHGK 面积不变，为4．
（3）过点G 作GQ BC ⊥于点Q ，
∵ABC 为等腰直角三角形，G 为AB 中点，
∴2GQ =，2BQ =， ∴2QH x =-．
故222248GH GQ QH x x =+=-+．
由（1）可知GH KG =，
又∵90KGH ∠=︒，
∴GKH △为等腰直角三角形， ∴212
GKH S GH =⨯△， ∴2482
x x y -+=． ∵旋转角度为090α<<︒，
∴x 的取值范围为02x <≤．
又GKH △的面积：
2482
x x y -+= 2(2)42
x -+= 2
(2)2(02)2
x x -=+<≤ ∵()2
20x -≥， ∴022y ≥+=（当x=2时取等号）．
故GKH △面积最小值为2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质，通过全等三角形将面积进行转换是解答的关键，综合性很强，平时应加强对各知识的综合运用．
23．（1）AF ＝CD ；（2）成立，理由见解析．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和图形得出AB=DE ，DF=AC ，∠ABC=∠DEF ，根据SAS 证△ABC ≌△DEF ，推出BF=EC 即可；
（2）根据全等三角形的性质推出AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，求出∠ABF=∠DEC ，根据SAS 证△ABF ≌△DEC ，即可推出答案．
【详解】
解：（1）AF=CD ，
理由是：∵四边形是平行四边形，
∴∠ABC=∠DEF ，BF=EC ，
在△ABC 和△DEF 中
AB DE ABC DEF BF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△DEF （SAS ），
∴BF=EC ，
∵AB=DE ，
∴AF=CD ，
故答案为：AF=CD ．
（2）成立，
理由是：∵△ABC ≌△DEF ，
∴AB=DE ，BC=EF ，∠ABC=∠DEF ，
∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC ，
∴∠ABF=∠DEC ，
∵在△ABF 和△DEC 中
AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABF ≌△DEC （SAS ），
∴AF=CD ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，主要考查学生的推理能力，题目比较好，难度适中．
24．（1）作图见解析；（2）22
；（3）作图见解析；B 2（﹣4，4），C 2（﹣1，5）
【分析】
（1）根据点的坐标作出三角形即可；
（2）分别作出A ，B 的对应点A 1，B 1即可；
（3）分别作出B ，C 的对应点B 2、C 2即可．
【详解】
解：（1）如图，△ABC 即为所求；
（2）如图△A 1B 1O 即为所求，平移的距离为22；
故答案为22．
（3）如图△A B 2C 2即为所求B 2、C 2点的坐标分别为（﹣4，4），（﹣1，5）
【点睛】
本题考查了作图-旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（1）见解析；（2）CO=3；（3）α＝125°、α＝110°或α＝140°
【分析】
（1）由△BOC ≌△ADC ，得出CO ＝CD ，再由∠OCD ＝60°，得出结论；
（2）利用等边三角形的性质以及直角三角形的定义，即可判断△AOD 为直角三角形，利用勾股定理即可得出CO 的长；
（3）因为△AOD 是等腰三角形，可得①∠AOD ＝∠ADO 、②∠ODA ＝∠OAD 、③∠AOD ＝∠DAO ；若∠AOB ＝110°，∠COD ＝60°，∠BOC ＝190°−∠AOD ，∠BOC ＝∠ADC ＝∠ADO ＋∠CDO 由①∠AOD ＝∠ADO 可得α＝125°，由②∠ODA ＝∠OAD 可得α＝110°，由③∠AOD ＝∠DAO 可得α＝140°．
【详解】
（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，
∴CO＝CD．
∴△COD是等边三角形；
（2）∵△ADC≌△BOC，
∴DA＝OB＝4，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO＝60°，又∠ADC＝∠α＝150°，
∴∠ADO＝∠ADC﹣∠CDO＝90°，
∴△AOD为直角三角形．
又AO＝5，AD＝4，
∴OD＝3，
∴CO＝OD＝3；
（3）若△AOD是等腰三角形，
所以分三种情况：①∠AOD＝∠ADO②∠ODA＝∠OAD③∠AOD＝∠DAO，∵∠AOB＝110°，∠COD＝60°，
∴∠BOC＝360°﹣110°﹣60°﹣∠AOD＝190°﹣∠AOD，
而∠BOC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，
由①∠AOD＝∠ADO可得∠BOC＝∠AOD+60°，
求得α＝125°；
由②∠ODA＝∠OAD可得∠BOC＝150°
1
2
∠AOD
求得α＝110°；
由③∠AOD＝∠DAO可得∠BOC＝240°﹣2∠AOD，
求得α＝140°；
综上可知α＝125°、α＝110°或α＝140°．
【点睛】
此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理等知识，掌握分类讨论的思想是解题关键．
26．（1）（10+x）；10x；（2）10
【分析】
（1）根据获利=原利润+涨价即可得出答案；根据销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克即可得出月销售量减少的数量；
（2）利用“每千克水产品获利×月销售量=总利润”列出方程，解方程即可求出结果.
【详解】
解：（1）（10+x），10x；
（2）由题意，得：（10+x）（500﹣10x）=8000；
化简为：x2﹣40x+300=0；解得：x1=10，x2=30．
∵“薄利多销”，∴x=30不符合题意，舍去．
答：销售单价应涨价10元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确表示出月销售量是解题的关键.。