天津市南开大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次阶段检测数学试题

天津市南开大学附属中学2024-2025学年高三上学期第三次阶
段检测数学试题
一、单选题
1．已知集合{}2
|230M x x x =∈--≤N ，{}|04N x x =≤≤，则M N = （）
A ．{}0,1,2,3
B ．{}1,2,3
C ．{}
|03x x ≤≤D ．{}
|13x x ≤≤2．“()0,4b ∈”是“R x ∀∈，210bx bx -+>成立”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不
充分也不必要条件3．已知0.8
12a -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，1
2
2
log 3
b =，0.34
c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a
<<4．函数()2e e x x
x
f x -=
+的大致图象是（）
A ．B
．
C
．D ．
5．将函数πsin 3y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将
所得的图象向左平移π
3
个单位，得到的图象对应的解析式是（）
A ．1sin
2
y x =B ．1
πsin 2
6y x ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
C ．1
πsin 2
2y x ⎛⎫=- ⎪
⎝⎭
D ．πsin 26y x ⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭6．a ，b 是两个非零向量，且a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角为（）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
7．若等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2312a a a =，5
4
为4a 与72a 的等差中项，则4S =（）
A ．29
B ．33
C ．31
D ．30
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -
的表面积为积为（）A
．B
C
．D
．9．已知函数()22e ,1
e ,1x x x x
f x x x
⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，函数()()()240f x af x a ⎡⎤-=∈⎣⎦
R 有两个不等实根，则a 的取值范围是（）A ．221e ,e 16⎛⎫ ⎪
⎝⎭B ．221e e ,e 162⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ C ．e ,2⎛⎫+∞ ⎪
⎝⎭
D ．221e e ,,e 164
⎛⎫⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭ 二、填空题10．已知复数1i
2i
z -=
-，i 为虚数单位，则z 的虚部是．
11．已知ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α
，且sin cos αα+=tan α的值为
．
12．设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B
两点，若AB =，则圆C 的面积为
13．已知数列{}n a 的前n 项和2
9n S n n =-，若第k 项满足58k a <<，则k 等于
．
14．已知0a >，0b >，1a b +=，则
23ab
a b
+的最大值为
．
15．已知扇形AOB 半径为1，60AOB ∠=︒，弧 AB 上的点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R
，
则λμ+的最大值是
；PA PB ⋅
最小值是
．
三、解答题
16．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin 3sin b A c B =，3a =，3cos 5
B =
．(1)求b 的值；
(2)求πsin 23B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值．
17．
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，2PA AB ==，在棱PD 上取点Q ，使得PB ∥平面ACQ .
(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；
(2)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值；(3)求直线PB 到平面ACQ 的距离.18．已知圆22:(2)1C x y -+=．
(1)圆22:30D x y x y +--=与圆C 交于A B 、两点，求公共弦长AB ；(2)直线l 过点()3,2P 且与圆C 相切，求直线l 的方程．
19．已知等差数列{}n a 满足212a a =，
459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+．(1)求{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)设23
,4
1,n n n n
a b n c n a ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：123136n c c c c +++⋅⋅⋅+<．
20．已知函数()()21e 1x
f x x a x ⎡⎤=-++⋅⎣⎦，a ∈R ．
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若1a =-，对任意()12,0,x x ∈+∞，当12x x >时，不等式()()()122212e e x x
f x f x m -<-恒成
立，求实数m 的取值范围．。