五岳高二下理

高二数学五岳联盟考试试卷
数学(理科)
命题：杭丽华 审核：曹勇兵
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．已知全集U ＝{1，2，3，4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{4}，则∁U
(A ∪B )＝ ▲ ．
2．设复数z 满足z (1＋i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的模是 ▲ ．
3．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了16 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ．
4．如图是甲、乙两名篮球运动员在六场比赛中所得分数的茎叶图，则甲、 乙两人在这六场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差 为 ▲ ．
5． 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ▲ ．
6．已知双曲线22
21(0)4
x y a a -=>的一条渐近线方程为0x y -=，则a 的值
为 ▲ ．
7．取一个边长为2的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子， 则豆子落入圆内的概率为 ▲ ．
8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形， 若中间一个小长方 形的面积等于其他8个小长方形的面积之和的1
3，且样本容量为120，则中
间一组的频数为 ▲ ．
9．某学校有两个阅览室，甲、乙、丙3名学生每人选择其中一个，且每人 选择每个阅览室的可能性相同，则甲、乙、丙不同在一阅览室的概率为 ▲ ．
10．若命题p ：2,10x R ax ax ∃∈-+≤是假命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
11．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 ▲ ．(请用数字作答) 12
．设()
7
2701272a a x a x a x =+++
，
则()()2
2
02461357+++a a a a a a a a +++-= ▲ ．
(第5题图)
1
3 5 7
9
11
13 15 17 19
……
13．将正奇数排列如右上表，其中第i 行第j 个数表示ij a ),(**N j N i ∈∈，例如932=a ，若2019ij a =，则=+j i ▲ ．
14、已知函数24()3x f x e x -=+-(e 为自然对数的底数)，2()(1)7g x x a x a =-+-+，若存在实数1x 、2x 、3x （23x x ≠），使得123()()()0f x g x g x ===，且121x x -≤和131x x -≤同时成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解
答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分14分)
在ABC ∆中，已知4,3,60AB AC A ===． （1）求BC 的长； （2）求sin C 的值．
16．(本小题满分14分)
在
n
x ⎛
⎝
()n N *
∈的展开式中，第4项和第5项的二项式系数相等．
（1）证明：展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有的有理项．
17．(本小题满分14分)
（1）求3333
3
459+C C C C +++的值；
（2）试用数学归纳法证明：C 22＋2C 23＋3C 24＋…＋nC 2n ＋1＝3n ＋14
C 3n ＋2．()
n N *
∈
18．(本小题满分16分)
李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有1L 、2L 两条路线（如图），
1L 路线上有1A 、2A 、3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1
2
；2L 路线上有1B 、2B 两个路口，
各路口遇到红灯的概率依次为
34，35
． （1）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （2）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
19．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右顶点为A B 、，右焦点为F ，一
条准线方程是4x =-，离心率为1
2
，点P Q 、为椭圆C 上异于的A B 、两点，点R 为PQ 的中点．过点A
作直线l 垂直于x 轴．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线PB 交直线l 于点M ，记直线PA 的斜率为1k ，直线FM 的斜率为2k ，求证：12k k ⋅为定值； （3）若AP AQ ⊥，求直线AR 斜率的取值范围．
20．(本小题满分16分)
已知函数()1x f x e ax =-++，其中e 为自然对数的底数，a R ∈． （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）已知2x ≥-时，函数()31g x x =+的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围；
（3）已知存在实数[]12,0,4x x ∈，使得12()()f x f x =，且122x x -≥，求证：242
122
e e e a --≤≤
．
高二数学五岳联盟考试试卷
理科参考答案和评分标准
一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，计70分)
1．{2，3} 2 3．10 4．173 5．42 6．2 7．4π
8．30
9．34 10．[)0,4 11．144 12．－1 13．65 14．133,4⎛⎤
⎥⎝⎦
二、解答题：(本大题共6小题，计90分)
15．(本小题满分14分)
解：（1）由余弦定理得：2
2
2
2cos BC AB AC AB AC A =+-⋅ …………3分 1691213=+-= …………5分
BC ∴= …………………7分 （2）由
sin sin BC AB
A C
=得： …………………10分
4sin C = …………………12分
sin 13
C ∴=
…………………14分 16．(本小题满分14分)
解：（1）证明：由题意得34n n C C =，7n ∴= …………2分
()4773
17
72r
r
r r
r
r r T C x C x --+⎛∴==- ⎝ …………4分 令47=03
r
-
，无整数解 ∴展开式中没有常数项． …………6分
（2）由题意 令473
r
Z -
∈又,07r Z r ∈≤≤ …………8分 0,3,6r ∴= ………10分
∴所有的有理项有71=T x ，333347
=2280T C x x -=-，661177=(2)448T C x x ---= ………14分 17．(本小题满分14分)
解：（1）3333433
3
34594459+=+C C C C C C C C ++++++
…………2分
43
34
55910=+==210C C C C ++ …………4分
（2）证法一：
①当1n =时，=1=左边右边，成立
②假设n k =时成立，即C 22＋2C 23＋3C 24＋…＋kC 2
k ＋1
＝3k ＋14
C 3
k ＋2 …………6分 则当1n k =+时，2
2222
312=2++(1)k k C C kC k C +++++左边
3
22231=+(1)4
k k k C k C ++++ ()()()()+2+1+2+131=
+(1)462k k k
k k k k +⋅+⋅ …………8分 ()()()
2+2+131312=
24
k k k k ++ …………10分
()()()()()[]()3
3
3
12
3(1)1+2+134334=
24
4
4
k k k k k k k k C C ++++++++==
…12分
即1n k =+时也成立．
由①②得原命题获证． …………14分
证法二：C 22＋2C 23＋3C 24＋…＋nC 2
n ＋1
＝C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 2
n ＋1 +C 23＋C 24＋…＋C 2n ＋1 ＋C 24＋…＋C 2n ＋1
＋…
＋C 2n ＋1
＝n C 3n ＋2－(C 33＋C 34＋…＋C 3n ＋1)＝n C 3n ＋2－C 4n ＋2
＝3n ＋14
C 3
n ＋2． ………………14分 证法三：设S (x )＝(1＋x )2＋2(1＋x )3＋3(1＋x )4＋…＋n (1＋x )n ＋
1，
(1＋x )S (x )＝ (1＋x )3＋2(1＋x )4＋…＋(n －1)(1＋x )n ＋1＋n (1＋x )n ＋
2，
可得x 2 S (x )＝(1＋x )2－(1＋x )n ＋2＋nx (1＋x )n ＋
2,
C 22＋2C 23＋3C 24＋…＋nC 2n ＋1
是S (x )的x 2的系数，也是x 2 S (x )的x 4
的系数， C 22＋2C 23＋3C 24＋…＋nC 2n ＋1＝－C 4n ＋2＋n C 3n ＋2＝3n ＋14
C 3n ＋2． …………………14分 证法四：利用kC 2k ＋1＝(k ＋2－2)C 2k ＋1＝3 C 3k ＋2－2 C 2k ＋1
18．(本小题满分16分)
解：（1）设“走1L 路线最多遇到1次红灯”为事件A ，
则 0
312331
111()=()()2222
P A C C ⨯+⨯⨯=， ……………3分
所以走1L 路线，最多遇到1次红灯的概率为
1
2
． ……………4分 （2）依题意，X 的可能取值为0，1，2． ……………6分
331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=，33339
(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=
， 339
(=2)=4520
P X ⨯=． …………8分
随机变量X
所以19927
01210202020
EX =⨯+⨯+⨯=
． ……………12分 （3）设选择1L 路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布)2
1
,3(~B Y ， 所以13
322
EY =⨯
=． ……………14分 因为EX EY <，所以选择2L 路线上班最好． ……………16分 19．(本小题满分16分)
解：（1）设椭圆焦距为 ， ∵一条准线方程是 ，
，又
， …… 2分 ∴ ． ∴椭圆 的标准方程为
； ……… 3分
（2）设 ，则
∵ ，∴
， ………5分
又 ，∴直线
，∴
，
又 ，∴
， ………7分 ∴
； ………8分 （3）设直线 ，代入
，
消去 整理得 ， 由
，得
，
， ………10分
∵
，∴直线 ， 同理可得
，
∵点 为 的中点，∴
， 又 ，
∴
， ………12分
设
，则
，∴
，
当 时， ， ………14分 当 时，
，
∵
或
，∴
或
， 综上可知直线 斜率的取值范围是
． ………16分
20．(本小题满分16分)
解：（1）当a ＝1时，f (x )＝－e x ＋x ＋1，f ′ (x )＝－e x ＋1．
由f ′(x )＞0得x ＜0，由f ′ (x )＜0得x ＞0．
所以函数h (x )的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)． ……… 3分 （2）令h (x )＝g (x )－f (x )，所以h (x )＝e x ＋3x －ax ．
x ≥－2时，函数g (x )＝3x ＋1的图像恒在函数f (x )图像的上方，
等价于“x ≥－2时，h (x )＞0恒成立”；等价于“x ≥－2时，ax ＜e x ＋3x 恒成立”； …… 4分 当x ＝0时，a ∈R ． ……………5分 当x ＞0时，可得a ＜e x x ＋3，令p (x )＝e x
x ＋3，得p ′ (x )＝e x (x －1)x
２
， 所以p (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，p (x )min ＝p (1)＝e ＋3，
所以，a ＜e ＋3． ……………… 7分 当－2≤x ＜0时，可得a ＞e x
x
＋3，
由上可得p (x )在[－2，0)上单调递减，p (x )max ＝p (－2)＝－1
2e 2＋3，
所以，a ＞－1
2e
2＋3．
综上，－1
2e 2＋3＜a ＜e ＋3． ……………… 9分
（3）f ′ (x )＝－e x ＋a ．
若a ≤0时，f ′ (x )＜0，此时f (x )在R 上单调递减． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥2相矛盾，
所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递增，在[ln a ，＋∞)上单调递减． ………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥2相矛盾，
同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．
不妨设0≤x 1＜x 2≤4，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤4．
因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递增，在(ln a ，x 2)上单调递减，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≥f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤4，且|x 1－x 2|≥2，可得2∈[x 1，x 2]，
故f (2)≥f (x 1)＝f (x 2)． ………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递增，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≥f (0)， 所以f (2)≥f (0)，同理f (2)≥f (4)．
即⎩⎨⎧－e 2＋2a ＋1≥0，－e 2＋2a ＋1≥－e 4
＋4a ＋1，
解得e 2－12≤a ≤e 4－e 22， 所以 e 2－12≤a ≤e 4－e 2
2． …………………… 16分。