(新课程)2020高中数学第八课时平面向量的坐标运算教案(2)苏教版必修4

第八课时平面向量的坐标运算(二)
教学目标:
掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用
教学重点：
平面向量的坐标运算•
教学难点：
平面向量的坐标运算•
教学过程：
I•复习回顾
平面向量的坐标运算法则•
n.讲授新课
［例1 ］已知A—11) , B(1 , 3) , C(2 , 5)，那么勅屁:是否共线？线段AB与线段AC 是否共线？
解：••• AB= (1 —( —1) , 3—( —1)) = (2 , 4),
AC= (2 —( —1) , 5—( —1)) = (3 , 6)，又2X 6—3X 4= 0,
••• AB// A C••• ABwAC共线.
又直线AB与直线AC显然有公共点A,
• A、B C三点共线，即线段AB与线段AC共线•
综上，A B W AC共线，线段AB与线段AC也共线•
［例2］已知」'ABCD勺三个顶点A、B C的坐标分别为(一2, 1)、( —1, 3)、(3 , 4), 求顶点D的坐标.
对此题，课本是利用向量相等(即A B= DC来求解的，较为简便•另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法•
解法一：(利用向量加法)
先依题意在坐标系内作出口ABCD如图)，设顶点D的坐标为(x, y)，并连结OA OD
则OD=酣AD
•/ At= BC, • 3D= OA^ B e
x, y) = ( —2, 1) + (3 —( —1) , 4—3)
=(—2, 1) + (4 , 1) = (2 , 2)
•顶点D的坐标为(2 , 2).
解法二：(利用向量减法)
先依题意在坐标系内作出口ABCD如图),设顶点D的坐标为(x , y),并连结OA OD
则OD= AD—AO
XD= BC ••• 0D= EBC - A Q
•••(X , y) = (3 - ( — 1) , 4- 3) - (0 - ( — 2) , 0- 1) =(4 , 1) — (2 , — 1) = (2 , 2) •顶点D 的坐标为(2 , 2). 解法三：(利用中点的向量表达式)
如图，在［Z/ABCD 中, AC 的中点M 即是BD 的中点. -A 1
-A -A 1
-A -A
•/ OMk 2 ( OA^ OC = 2 ( OB^ OD ,
O AF OC = OB ^ O D S D =弘 S C - S B
=(—2, 1) + (3 , 4) — ( — 1, 3) = (2 , 2). •顶点D 的坐标为(2 , 2). 解法四：(利用中点坐标公式)
如图，在［Z/ABCD 中, AC 的中点即为BD 的中点，设点
x 1 2 3 2
2
. 解得 x = 2, y = 2.
y 3 1 4
2 2
•顶点D 的坐标为(2 , 2).
解法五：(利用平面内两点间的距离公式 )
如图，设点D 的坐标为(x , y ). 在二 ABCDK l AB| = | 厂2)厂(3一1)2
有
(3 1) (4 3)
13
” + x 解
得
2
x
一
y 2
69
y
17
x 2
经检验
是方程组的解
y 2
•顶点D 的坐标为(2 , 2).
解法六：(利用平行四边形对边的向量相等 )
如上图，设顶点 D 的坐标为(x , y ), 在」A BCD K AD = B C AD = (x +2, y — 1),
B C= (4 , 1) , (x + 2 , y — 1) = (4 , 1),
D CI , | BC| = | A DI ,
、(3—厂(厂y)2
11 2 2
.(x 2) (y 1)
D 的坐标为(x , y )，则
2
4
， 解得 x = 2, y = 2,
1 1
=5(
1)2 5 > 5
• I b + a I 的最小值为.5，此时a = c .
［例5］已知b 的方向与a = ( — 3, 4)的方向相同，且| b | = 15,求b . 解：设a 的单位向量为e ,
a
3 4
则e = — = ( — 3 , 4 ); T b 与a 方向相同
|a|
5 5
顶点 D 的坐标为(2 , 2).
［例3］在厶OAB 中, OA= a , 0B= b ,设点M 分S B 所成的比为2 : 1,点N 分OA 所成的比
为3 : 1，而OM 和BN 交于点P,试用a 和b 表示OP
解：01= 0A + AM = 0+ 3 AB
=O AF 3( O B- 0A = 1 O AF 3 O B
1 2 =-a + b 3 3
t 2t ••• OP 与OMfc 线，设 OP = 3 a + 3
b
又•/ Ff p 与 Nfe 线，设 g sNB
• OF^ ON F 辰 ONb sNB= O N^ s ( OB- O N =(1 — s ) O N + sOB= I (1 — s )
OAF sOB
3
=4(1 — s )a + sb
②
3。

、 t
4
(1 s)
3, 由①②知4
3
2t 3
一
- 3
• t =局，。

圧亦
a +
5 b
［例4］向量 解：设a =^
则 b + a = (— 3 + 2入，1+
b = ( - 3， 1)，
c = (2 , c = (2 入，入)，
1)，若向量a 与c 共线，求丨b + a 丨的最小值. •I b + a |=
(2 3)2 (
1)2 =-5 2 10
10
3 4
--b=l b ]• e= 15 • ( —, - ) = ( —9, 12)
5 5
•••b= ( —9, 12).
川.课堂练习
课本P76练习1 , 2, 3
IV.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用•
V .课后作业
课本P77习题5 , 6, 7, 8
平面向量的坐标运算
1.已知a=(—1,3), b=(x , 1),且a// b , 则x等于()
A.3
1
B. 3
C.
—3
1
D.-3
2.已知A(x, 2),B (5 , y —2),若
AB=( 4 ,
6),则x、y的值为()
A. x= —1, y = 0
B.
x =
1 ,
y= 10
C. x= 1, y=—1C)
D.x =—1, y=- -10
3.已知M(3, —2) , N (—5 , —1) , M F=1 1M N贝U P点的坐标
为
()
A. (—8, 1)
B. (—1, —2 )
C.
3
(1
(1, 2
) D. ( 8 ,—1)
4.若a- -1 b= (1 ,2), a+ b= (4 , —10),则a 等于()
—2)
A. (—2,—2)
B. (2 , 2)
C.(—2 , 2)
D.(2 ,—2)
5. 右向量a=(—1, x) , b= (—x, 2)共线且方向相同，贝U x =
6. 已知向量OA= ( k, 12),张(4, 5), A C= (10, k)右A、B
C三点共线，贝U k= .
7. ________________________________________________________ 已知| a| = 2书,b= ( —1,羽),且a// b,贝U a= ______________________________________________________________________________ . __________
8•已知作用于坐标原点的三个力F1 (3 , 4) , F2 (2, —5), F- ( 3 , 1),求作用于原点的合力F1 + F2 + F-的坐标•
9. 设A B、C D 四点坐标分别为(一1, 0),(0 , 2),( 2 , -),(2 , 1 ),求证：ABCD
为梯形•
_A 1 _乡 _乡_A —A 1 _乡
10.已知A (2 , 3), B (—1 , 5),满足AC= - AB,疋＞3A B AE= —-A B,求G D E三点
3 4
平面向量的坐标运算答案
1. D 2 . B 3 . B 4 . D 5 . 2 6 . 11 或—2 7 . (—3 , 3 )或(3 , —3)
8•解：由F1 + F2 + F a =( 3 , 4) + ( 2, —5) + ( 3 , 1 ) = ( 8 , 0)
9. 证明：••• AB=( 1, 2), DC=(1, 1)= 2 A B
DC// AB,且| AiB = 2| Dp
•••四边形ABCD为梯形•
10. 解：由A (2 , 3) , B (—1 , 5)得AB=(—3 , 2)
A1 A2 11
• AC= - AB=(—1, - ) • C ( 1,-)
A= 3Afe=(—9 , 6) • D (—7 , 9)
4
F T 1 T 3 1 、又「A氐—4 AB^( -，- 2)
\17 5- 2
4。