高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算2.5.3直线与平面的夹角课件北师大版选修21

思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面(hòu mian)的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)直线与平面的夹角都是锐角. (
)
×
(2)直线与平面所成的角等于直线与该平面法向量夹角的余角. (
)
(3)当直线与平面的夹角为0°时,说明直线与平面平行. (
)
×
×
第六页，共34页。
探究
(tànjiū)一
坐标系之后,求得平面的法向量n,再在直线上确定一个方向向量,求得这两
个向量夹角的余弦值,其绝对值即为线面角的正弦值.
(1)证明:∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB⫋平面
ABD,AB⊥BD,
∴AB⊥平面BCD.
又CD⫋平面BCD,∴AB⊥CD.
第八页，共34页。
探究(tànjiū)
正方向建立空间直角坐标系.依题意,得
1 1
2 2
B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M 0, ,
1 1
0, ,
2 2
, =(0,1,-1).
设平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),
· = 0,
则
· = 0,
0 + 0 = 0,
即 1
1
0 + 0 = 0,
设侧面 ABB1A1 的法向量为 n=(λ,x,y),
则 n· =0,且 n·1 =0,
∴ax=0,且 2ay=0,∴x=y=0,故 n=(λ,0,0).
又1 = -
3
, ,
2
2
2 ,
1 ·
∴cos<1 ,n>=
|1 |||
=
- 23·

=- .
3·|| 2||
即直线 AD 与平面
6
MBC 所成角的正弦值为 .
3
反思感悟本题属于点、线、面的位置关系的判定与空间角的求解的综
合性问题.针对第(1)问,涉及线线垂直的证明一般直接用判定或性质定理
即可.针对第(2)问,涉及线面角的解决要侧重于建系,用向量的方法解决.
第十页，共34页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
3
, ,
2
2
2 ,B1(0,a, 2a).
取A1B1的中点M,由方法一知∠C1AM是直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.
3
∵1 = - 2 , 2 , 2 ,
2
2
2 9
∴1 · =0+ 4 +2a = 4 .
32
2
又|1 |=
+ + 22 =
4
4
| |=
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
(2)解:过点B在平面(pí
ngmiàn)BCD内作BE⊥BD,如图.
由(1)知AB⊥平面(pí
ngmiàn)BCD,BE⫋平面(píngmiàn)BCD,BD⫋平面
(pí
ngmiàn)BCD,
∴AB⊥BE,AB⊥BD.
以 B 为坐标原点,分别以 , , 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
探究
(tànjiū)二
一题多解
(2)解:设平面 BCD 的法向量 =(x,y,z),
则 · =0, · =0.
- + = 0,
又 =(-1,1,0), =(-1,0,c),故
- + = 0.
1
1
令 x=1,则 y=1,z= , = 1,1, .


又平面 ABD 的法向量 =(0,1,0),
探究(tànjiū)
二
一题多解
直线(zhíxiàn)与平面的夹角
【例1】在平面四边形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.
将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如图.
(1)求证:AB⊥CD;
(2)若M为AD中点,求直线(zhíxiàn)AD与平面MBC所成角的正弦值.
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
解:方法一:如图所示,取A1B1的中点M,
则C1M⊥A1B1,又因为平面A1B1C1⊥平面ABB1A1,且交线为A1B1,所
以(suǒyǐ)C1M⊥平面ABB1A1,故AM为AC1在平面ABB1A1上的投影,即
∠C1AM为直线AC1与侧面ABB1A1的夹角.在Rt△AC1M中,
【做一做1】 已知线段AB=8,AB在平面(píngmiàn)α内的射影长为4,则
直线AB与平面(píngmiàn)α所成的角θ为(
)
A.30°B.60° C.90°
D.120°
4
8
1
2
解析:由题意得 cos θ= = ,∴θ=60°.
答案(dá àn):B
【做一做2】 已知直线l的方向(fāngxiàng)向量为s=(1,0,0),平面π
3
2
C1M= a,AC1= 3a,则 sin∠C1AM=
即AC1与侧面ABB1A1的夹角为30°.
第二十页，共34页。
1
1
1
2
= ,所以∠C1AM=30°,
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
方法二:建立(jiànlì
)如图所示的空间直角坐标系,
则 A(0,0,0),B(0,a,0),A 1(0,0, 2a),C1 -
设 AC1 与侧面 ABB1A1 的夹角为 θ,则
1
sin θ=|cos<1 ,n>|= ,
由平面 ABD 与平面 BCD 的夹角为 60°知,< , >=60°,
故 · =| |·| |·cos 60°,求得
1
c= ,
2
于是 =(1,1, 2),1 =(1,-1, 2),
·1
1
= ,< , 1 >=60°.
2
||·|1|
cos<, 1 >=
||||
所以直线 PC 与平面
3
ABC 所成角的正弦值为 .
4
第十四页，共34页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
一题多解
(2)易得 =(1,0, 3), =(2,2 3,0).
设平面 APC 的法向量为 n=(x1,y1,z1),
1 + 31 = 0,
· = 0,
B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),
则 B1(1,0,2c),E
于是 =
1
, ,
2 2
1
, ,0
2 2
,
, =(-1,b,0).
由 DE⊥平面 BCC1B1,知 DE⊥BC, · =0,求得 b=1,
所以 AB=AC.
第十七页，共34页。
探究
(tànjiū)一
的法向量为n=(2,1,1),则直线与平面夹角的正弦值为
.
·
解析:∵cos<s,n>=
||||
2
6
π
=
= >0,故<s,n>< ,
1× 6
3
2
π
∴直线 l 与平面 π 的夹角 θ=2-<s,n>.
π
6
∴sin θ=sin 2 - < , > =cos<s,n>= 3 .
6
答案:
3
第五页，共34页。
探究(tànjiū)
二
一题多解
夹角的综合计算
【例2】如图,在三棱锥P-ABC
中,∠APB=90°,∠PAB=60°,AB=BC=CA,平面PAB⊥平面ABC.
(1)求直线PC与平面ABC所成角的正弦值;
(2)平面APC与平面PAB夹角的余弦值.
思维点拨:先利用(lìyòng)面面垂直关系,建立空间直角坐标系,再利
平面 BB1D1D 的一个法向量为1 1 =(-4,4,0),
∴BC1 与对角面 BB1D1D 夹角的正弦值为
|(-4,0,-3)·(-4,4,0)|
|cos<1 , 1 1 >|=
42 +32 · 42+42
=
16
5×4 2
答案:C
第十一页，共34页。
=
2 2
.
5
探究
(tànjiū)一
所以 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30°.
第十八页，共34页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
线面角的求法
【典例】 正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为
(cèmiàn)ABB1A1的夹角.
思路点拨:
第十九页，共34页。
a,求AC1与侧面
2
探究(tànjiū)
2
4
+
2 2
=
∴cos<1 , >=
=

0, ,
2
2 ,
3a,
3
,
2
92
4
3
3·2
=
3
.
2
∴<1 , >=30°,即 AC1 与侧面 ABB1A1 的夹角为 30°.
第二十一页，共34页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
一题多解
方法三:建系同方法二,则 =(0,a,0),1 =(0,0, 2a).
AA1,B1C的中点,DE⊥平面BCC1B1.
(1)证明:AB=AC;
(2)设平面ABD与平面BCD的夹角为60°,求B1C与平面BCD所成的角的
大小.
第十六页，共34页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
(1)证明:以A为坐标原点,
射线AB为x轴的正半轴,建立(jiànlì)如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设
2
2
第九页，共34页。
,则 =(1,1,0), =
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
取z0=1,得平面(pí
ngmiàn)MBC的一个法向量n=(1,-1,1).
设直线AD与平面(pí
ngmiàn)MBC所成角为θ,
|·|
6
= ,
3
||||
则 sin θ=|cos<n,>|=
设E为AC中点,连接OE,则EO∥CD,
从而OE⊥PO,OE⊥AB.
如图,以O为坐标原点,OB,OE,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间
直角坐标系.
第十三页，共34页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
不妨设 PA=2,由已知可得 AB=4,OA=OD=1,OP= 3,CD=2 3,
(1)几何法:利用定义找出空间角,一般都放在某个三角形中,然后解三
角形即可.
(2)向量法:一般用向量的坐标法解决,先根据条件建立空间直角坐标
系,再利用线线角、线面角、面面角的向量法夹角公式求解.
第十五页，共34页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
一题多解
变式训练2如图,直三棱柱(léngzhù)ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D,E分别为
第七页，共34页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
一题多解
思维点拨:在第(1)问中,考查(kǎochá)线线垂直问题,要寻求线线垂直的条
件,可以是线面垂直或面面垂直.结合具体条件,利用面面垂直去证明线线垂
直,只需在其中一个平面内的一条直线垂直于交线就可以了.在第(2)问中,
欲求直线与平面所成角的正弦值,自然联想到借助于向量解决,建立合适的
用(lìyòng)线面角、面面角的向量方法求解.
第十二页，共34页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
一题多解
解:设AB的中点为D,连接CD,作PO⊥AB于点O.
因为(yīn wèi)平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,所以PO⊥平面
ABC.所以PO⊥CD.
由AB=BC=CA,知CD⊥AB.
二
一题多解
变式训练1已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为4的
正方形,长方体的高AA1=3,则BC1与对角(duì jiǎo)面BB1D1D夹角的正
弦值等于(
)
4
3
2 2
B.
C.
5
5
5
解析:建立如图所示的空间直角坐标系,
3 2
5
A.
D.
∵底面是边长为4的正方形,AA1=3,
∴A1(4,0,0),B(4,4,3),C1(0,4,0).
则
即
21 + 2 31 = 0,
· = 0,
取 z1=1,可得 n=(- 3,1,1).
因为平面 PAB 的一个法向量为 m=(0,1,0),
所以 cos<m,n>=
·
||||
=
1
5
=
5
.
5
5
5
所以平面 APC 与平面 PAB 夹角的余弦值为 .
反思感悟求空间角的两种思路(sīlù):
所以 O(0,0,0),A(-1,0,0),C(1,2 3,0),P(0,0, 3).
(1)易得 =(-1,-2 3, 3),
且 =(0,0, 3)为平面 ABC 的一个法向量.
设 α 为直线 PC 与平面 ABC 所成的角,
则 sin α=
|·|
|0+0+3|
3
=
= .
16× 3
4
名师点拨1.直线与平面所成的角用向量来求时,得到的不是线面角,
而是它的余角(或补角的余角).应注意到线面角为锐角(或直角).
π
0, i)是
2.直线与平面所成角θ的范围(fànwé
2
.可通过直线的方向向
量与平面的法向量的夹角φ求得,关系式:sin θ=|cos φ|或cos θ=sin φ.
第四页，共34页。
2.5.3
直线(zhíxiàn)与平面的夹角
第一页，共34页。
学 习 目 标
思
1.掌握直线与平面的夹角的定义,
并清楚它们夹角的取值范围.
2.会用向量法求直线与平面的夹
角.
3.能灵活地选用向量法与综合法
来解决立体几何中角的问题.
第二页，共34的夹角
第三页，共34页。