函数的奇偶性试题及高考常见

课题：函数的奇偶性

教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利

用函数的奇偶性解决问题．

教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．

（一） 主要知识：

1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，

如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：

()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；

()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的

单调性.

3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．

4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．

（二）主要方法：

1.判断函数的奇偶性的方法：

()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法；

()3性质法：①设

()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域

1

2D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；

②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；

2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，

()

1()

f x f x =±-． （三）典例分析：

问题1．判断下列各函数的奇偶性：

()1 ()(f x x =- ()2 2lg(1)

()|2|2

x f x x -=--；

()3 ())f x x =； ()4 22

(0)()(0)x x x f x x x

x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 问题2．

()1已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，

则()f x 的解析式为

()2(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[x ∈

()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是

问题3．已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y

总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.

问题4．()1(06黄岗中学月考)已知函数2

1()log 1x

f x x x

-=-++， 求1()2005f -

1()2004f +-1()2004f +1()2005f +的值； ()2已知函数21

()ax f x bx c

+=

+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <， 求a 、b 、c 的值 .

问题5．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，

若120,0x x <>，且12||||x x <，则

A .12()()f x f x ->-

B .12()()f x f x -<-

C .12()()f x f x ->-

D . 12()()f x f x -<-

()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，

求实数m 的取值范围

（四）巩固练习：

1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=

2.已知1

()21

x f x m =

++为奇函数，则(1)f -的值为

3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______

4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于 .A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对

5.函数)0)(()1

22

1()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f

.A 是奇函数 .B 是偶函数

.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数

（五）课后作业：

1.判断下列函数的奇偶性：

()

1()f x =； ()2()

2

12()2x x

f x +=

；

()

311()212x

f x =

+-； ()4()3()log 132

x x

f x -=++； ()51()lo

g 1a

x

f x x

+=-（其中0a >，1a ≠） 2.（03南昌模拟）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，

其中是奇函数的是（ ） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④

3.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0

)(x f 的解析式为_______________

4.（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，

4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =

5.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3x

f x ⎛⎫

= ⎪⎝⎭

，那么1()2f 的值为

.A

.B

.C

.D 9 6.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1

()()1

f x

g x x +=

-，则()f x = ， ()g x =

7.定义在)1,1(-上的函数1

)(2

+++=nx x m

x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____ （05北京西城模拟）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， ()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .