函数的奇偶性试题及高考常见

课题：函数的奇偶性
教学目标：掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利
用函数的奇偶性解决问题．
教学重点：函数的奇偶性的定义及应用．
（一） 主要知识：
1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，
如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数； 2.奇偶函数的性质：
()1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称； ()2()f x 是偶函数⇔()f x 的图象关于y 轴对称； ()f x 是奇函数⇔()f x 的图象关于原点对称；
()3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的
单调性.
3.()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=．
4.若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．
（二）主要方法：
1.判断函数的奇偶性的方法：
()1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称. 若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x =-或()()f x f x =-是否定义域上的恒等式； ()2图象法；
()3性质法：①设
()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域
1
2D D D =上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，
()
1()
f x f x =±-． （三）典例分析：
问题1．判断下列各函数的奇偶性：
()1 ()(f x x =- ()2 2lg(1)
()|2|2
x f x x -=--；
()3 ())f x x =； ()4 22
(0)()(0)x x x f x x x
x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 问题2．
()1已知()f x 是R 上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，
则()f x 的解析式为
()2(04上海)设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[x ∈
()f x 的图象如右图,则不等式()0f x <的解是
问题3．已知函数()f x 满足：()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅对任意的实数x 、y
总成立，且(1)(2)f f ≠.求证：()f x 为偶函数.
问题4．()1(06黄岗中学月考)已知函数2
1()log 1x
f x x x
-=-++， 求1()2005f -
1()2004f +-1()2004f +1()2005f +的值； ()2已知函数21
()ax f x bx c
+=
+（a 、b 、c Z ∈）为奇函数，又(1)2f =，(2)3f <， 求a 、b 、c 的值 .
问题5．()1已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，
若120,0x x <>，且12||||x x <，则
A .12()()f x f x ->-
B .12()()f x f x -<-
C .12()()f x f x ->-
D . 12()()f x f x -<-
()2设定义在[]2,2-上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若(1)()f m f m -<，
求实数m 的取值范围
（四）巩固练习：
1.已知函数2()f x ax bx c =++,[]23,1x a ∈--是偶函数,则a b +=
2.已知1
()21
x f x m =
++为奇函数，则(1)f -的值为
3.已知5)(357++++=dx cx bx ax x f ，其中d c b a ,,,为常数，若7)7(-=-f ， 则=)7(f _______
4.若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于 .A x 轴对称 .B y 轴对称 .C 原点对称 .D 以上均不对
5.函数)0)(()1
22
1()(≠-+=x x f x F x 是偶函数，且)(x f 不恒等于零，则)(x f
.A 是奇函数 .B 是偶函数
.C 可能是奇函数也可能是偶函数 .D 不是奇函数也不是偶函数
（五）课后作业：
1.判断下列函数的奇偶性：
()
1()f x =； ()2()
2
12()2x x
f x +=
；
()
311()212x
f x =
+-； ()4()3()log 132
x x
f x -=++； ()51()lo
g 1a
x
f x x
+=-（其中0a >，1a ≠） 2.（03南昌模拟）给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，
其中是奇函数的是（ ） .A ①② .B ①④ .C ②④ .D ③④
3.已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，
)(x f 的解析式为_______________
4.（06上海春）已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数.当(),0x ∈-∞时，
4()f x x x =-，则当()0,x ∈+∞时，()f x =
5.已知()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，1()3x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，那么1()2f 的值为
.A
.B
.C
.D 9 6.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且1
()()1
f x
g x x +=
-，则()f x = ， ()g x =
7.定义在)1,1(-上的函数1
)(2
+++=nx x m
x x f 是奇函数，则常数=m ____,=n _____ （05北京西城模拟）已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+， ()1求证：()f x 为奇函数；()2若(3)f a -=，用a 表示(12)f .
9.（ 06重庆文）已知定义域为R 的函数1
2()2x x b
f x a
+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22
(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；
10.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当1-≤x ≤1时，3)(x x f =，()1证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴；
()2当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式
1. （04全国）已知函数1()lg
1x
f x x
-=+，若()f a b =，则()f a -= .A b .B b - .C 1b .D 1
b -
2. (06全国Ⅰ文）已知函数()1
,21
x f x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =
3.（06江苏）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a =
.A 0 .B 1 .C 1- .D 1±
4.（06辽宁）设()f x 是R 上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）
.A ()()f x f x ⋅-是奇函数 .B ()()f x f x ⋅-是奇函数 .C ()()f x f x +-是偶函数 .D ()()f x f x --是偶函数
5.（07辽宁文）已知()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---=
6.（07广东）若函数21
()sin 2
f x x =-()x R ∈，则()f x 是（ ）
.A 最小正周期为π
2
的奇函数 .B 最小正周期为π的奇函数
.C 最小正周期为2π的偶函数 .D 最小正周期为π的偶函数
7.（07海南）设函数(1)()
()x x a f x x
++=
为奇函数，则a = 8.（07海南文）设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a =
9.(07江苏)设2()lg 1f x a x ⎛⎫
=+ ⎪-⎝⎭
是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是 .A (10)-， .B (01)， .C (0)-∞， .D (0)(1)-∞+∞，
， 10. （07江西）设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =
在5x =处的切线的斜率为 .A 1
5
-
.B 0
.
C 1
5
.D 5
11.设a 为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈． ()1讨论()f x 的奇偶性； ()2求 ()f x 的最小值． 12.（07上海，本题满分14分）已知函数2()a
f x x x
=+
(0x ≠，常数)a R ∈. ()1讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由
()2若()f x 在[)2,x ∈+∞上是增函数，求a 的取值范围.。