两个重要极限88785

§1.6 两个重要极限
一、准则 I Hale Waihona Puke Baidu第一个重要极限 二、准则 II 及第二个重要极限
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一、准则 I 及第一个重要极限
•准则 I （夹逼定理）
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
=
a
lim
n
zn
=
a
那么数列 {xn }的极限存在
设
xn
=
(1
1 n
)n
可以证明数列{xn}是单调有界的 根据准则II 数列
{xn}必有极限 这个极限我们用e来表示 即
lim (1 1)n = e n n
我们还可以证明 lim (1 1)x = e x x
e是个无理数 它的值是
e=2 718281828459045 指数函数y=ex及对数函数y=ln x 中的底就是常数e
就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统 称为单调数列
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•准则II 单调有界数列必有极限
•说明 前面曾证明 收敛的数列一定有界 但有界的数列不
一定收敛 现在准则II表明 如果数列不仅有界 并且是单 调的 那么这个数列一定是收敛的
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•第二个重要极限
在极限
lim
sina(x) a(x)
中
只要a(x)是无穷小
就有
lim
sina(x) a(x)
=1
这是因为 令u=a(x) 则u 0 于是
lim
sina(x) a(x)
=lim sin u =1 u0 u
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
2
)
(
显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x
从而
cosx sin x 1 x
(此不等式当 x0 时也成立)
因为 lim cosx =1 x0
D B
根据准则 I
lim sin x =1 x0 x
1 x
OCA
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•第一个重要极限
•应注意的问题
lim sin x =1 x0 x
解 lim sin mx = lim sin mx mx nx = m . x0 sin nx x0 mx nx sin nx n
例4
求lim x0
tan
x sin x3
x
.
解
lim
x0
tan
x sin x3
x
=
lim
x0
tan x
x
1
cos x2
x
=
lim
x0
tan x
x
lim
x0
1 cosx x2
=1 2
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例5 求lim arcsin x . x0 x
解 令y = arcsinx, 则x = siny, 当x 0时, y 0,
lim arcsin x = lim y = 1
x0 x
u u
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lim (1 1)x = e x x
1
lim[1a(x)]a(x) = e (a(x)0)
例7 求 lim (1 k )x.(k为自然数，k 0)
x
x
解原式
= lim (1
k
)
x k
k
= lim[(1
k
)
x k
]k
= ek
x
x
x
x
例8 求 lim ( x 3)x1.
y0 sin y
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例6 求lim sin 3x .
x tan 5x
解 令x = t, 当x 时,t 0,
lim sin 3x = lim sin(3 3t) x tan 5x t0 tan(5 5t)
x x 1
解原式 = lim (1
x 14 2
4 )4
x x 1
= lim[(1
4
x1
) 4 ]4 lim (1
4
)2
x
x 1
x x 1
= e4
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lim (1 1)x = e x x
1
lim[1a(x)]a(x) = e (a(x)0)
3
例9 求lim (1 x) x .
且
lim
n
xn=a
•准则 I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x)
(2)lim g(x)=A lim h(x)=A
那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
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•第一个重要极限
lim sin x =1 x0 x
简要证明
参看附图
设圆心角AOB=x( 0 x
a(x)
例例11 求 lim tan x x0 x
解 lim tan x =lim sin x 1 = lim sin x lim 1 =1 x0 x x0 x cosx x0 x x0 cosx
例例22 求 lim 1cosx
解
x0 x2
lim 1cosx x0 x2
=
=
1 2
lim x0
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•第二个重要极限
•应注意的问题
lim (1 1)x = e x x
1
在极限 lim[1a(x)]a(x) 中 只要a(x)是无穷小 就有
1
lim[1a(x)]a(x) = e
这是因为
令
u
=
a
1 (x)
则 u
于是
1
lim[1a(x)]a(x)
= lim (1 1)u = e
x0
解原式
1 (3)
= lim[1 (x)]x
= e3
x0
例10 求 lim (1 cosx)2secx.
x
2
解原式
1 2
= lim (1 cosx)cosx
x
= e2
2
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sin
x 2
x 2
lim
x0
2 =
2 sin 2 x2
x 2
==1212lximlxi0ms0(isn12i2n)2x22x222x
1 12 = 1
22
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例3 求lim sin mx .(m 0, n 0) x0 sin nx
= lim sin 3t t0 tan 5t
= lim sin 3t 5t 3 t0 3t tan 5t 5
=3 5
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二、准则 II 及第二个重要极限
•单调数列
如果数列{xn}满足条件 x1x2x3 xnxn1
就称数列{xn}是单调增加的 如果数列{x n}满足条件 x1x2x3 xnxn1