两个重要极限88785
两个重要极限((经济类《高等数学》)
advanced mathematics
例1 求
sin 2 x lim x 0 2x
解： lim sin 2 x x 0 2x 2 sin x cos x lim x 0 2x sin x lim lim cos x x 0 x x 0
1
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
1 lim x sin . x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
引例解决：求半径为R的圆的面积 解 如前所述，可以通过求圆的内接正n边形的面积的 极限计算圆的面积，而内接正n边形的面积为
R2 2 An n sin (n 3) 2 n
=？
1 x 提问： (1 ) ? lim x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)advanceຫໍສະໝຸດ mathematics2、
1 x lim (1 ) =e x x
(1 )
105 106 …
(e 2.71828)
x 10 102 103 104
解
sin 2 x 1 tan 2 x 2. lim lim x 0 x 0 x cos 2 x x
高等数学 两个重要极限 (Two important limits)
advanced mathematics
训练2
sin 4 x (1)求 lim x 0 3x
解
sin 4 x 4 sin 4 x 4 sin 4 x 4 lim lim lim . x 0 x 0 3 4 x 3x 3 x 0 4 x 3
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了数列或函数在无限接近某个值时的行为。
在解决极限问题时，有一些重要的技巧可以帮助我们更好地理解问题和找到解题的思路。
本文将浅谈两个重要的极限解题技巧。
首先是夹逼定理。
夹逼定理是一种用于确定极限存在和确定其值的方法。
当我们想要求解一个复杂的极限问题时，可以通过夹逼定理将其转化为一个更容易求解的问题。
夹逼定理的核心思想是通过将待求极限的函数夹在两个已知的函数之间，来确定极限的存在和值。
具体的操作步骤如下：1. 设待求极限的函数为f(x)，已知上下限函数分别为g(x)和h(x)，即有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
2. 如果已知当x趋向于某个值a时，g(x)和h(x)的极限存在且相等，即lim (x→a) g(x) = lim (x→a) h(x) = L。
那么我们可以得到lim (x→a) f(x) = L。
夹逼定理常用于解决一些无法直接计算的极限问题。
通过找出与待求极限函数相邻的两个已知函数，确定它们的极限存在且相等，从而确定待求极限的值。
当我们要求解极限lim (x→0) x·sin(1/x)时，可以利用夹逼定理将其转化为极限lim (x→0) –|x| ≤ x·sin(1/x) ≤ |x|，由于已知lim (x→0) –|x| = lim (x→0) |x| = 0，因此可以得到lim (x→0) x·sin(1/x) = 0。
第二个重要的极限解题技巧是分子有理化。
有时候，我们在计算一个极限时会遇到分母含有根式的情况，这时候通过分子有理化可以简化计算过程。
分子有理化的思想是通过一定的变换将包含根号的分子转化为一个有理式，从而方便计算极限。
具体的操作步骤如下：1. 先将分子的根式进行有理化。
有理化的方法包括乘以共轭式、利用等式、平方分解等。
2. 完成有理化后，可以将有理化后的分子和原始的分母进行合并，得到一个简化的表达式。
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 I和准则 I'称为夹逼准则.
注 利用夹逼准则求极限关键是构造出 yn与zn ,
并且 yn与zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
xn1
3 xn ,
x2 n1
3
xn ,
lim
n
x
2 n
1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
1 13
lim n
t t 1
t 1
lim(1 1 )x e
x
x
令t 1, x
lim(1
1
x)x
lim(1
1)t
e.
x0
t
t
1
lim(1 x) x e
x0
三、连续复利
设本金为 A0 ，年利率为 r ，则
一年末的本利和 A1 A（0 1 r)
二年末的本利和 A2 A（1 1 r) A0 (1 r)2
当 n N时, 恒有 a yn xn zn a ,
即 xn a 成立,
lim n
xn
a.
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′
如果当
x
U
0
(
x 0
)
(或
应用数学第4讲---两个重要的极限
x
x 1 (3) lim x x 1
解
x
(4) lim 1 tan x
x 0
cot x
3 (2) 原式= lim 1 x x
x ( 3) 3
3 lim 1 x x
x 3
a
三角形的面积：
h
1 S ah 2
a
为什么只有圆的面积计算的时候还要乘以一个常数 π ?
应用数学 问题一：圆的面积公式问题
要想回答这个问题，我们需要知道，圆的面积公式是怎么来的！
公元263年，我国数学家刘徽 为了精确计算圆周率，使 用了一种“割圆术”的方 法：割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 .
2.71828
7
6
6
7
应用数学 第二个重要的极限 从上面的图像中，我们看到，随着自变量 x 的增大函数值不断接 近于常数 e ！
1 lim 1 e x x
这个公式还有两个等价公式：
x
lim 1 x e
x0
1 x
1 lim 1 e n n
除了 e 外，欧拉还发现了：
欧拉常数
应用数学 第二个重要极限公式透析
1 lim (1 ) e
（1）极lim(1 ) 的形式,且底数中的
与指数上的 必须是倒数关系； （3）中间必须用 “+”号连接
应用数学 例 2 求下列极限
应用数学 求下列极限 解
(4)
sin x sin x 1 1 lim x sin x x 0 x x 2 lim lim x 0 x 0 2 x sin x sin x sin x 2 2 lim x 0 x x
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限
（完整版）1极限存在准则-两个重要极限第一章第六节极限存在准则两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。
首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim，其中n x =1x =对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→Λ那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证：,,a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当,2ε<->a z N n n 时恒有当取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即,εε+<<-a z a n 当n N >时，恒有,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当),(0δx U x o∈ (或M x >)时,有,)(lim ,)(lim )2(),()()()1()()(00A x h A x g x h x f x g x x x x x x ==≤≤∞→→∞→→那么)(lim )(0x f x x x ∞→→存在, 且等于A .准则 I 和准则 I ' 称为夹逼准则。
两个重要极限 无穷小量与无穷大量
第一章二、二、小结小结三、三、布置作业布置作业 一、一、极限存在准则、两个重要极限极限存在准则、两个重要极限第七节机动 目录 上页 下页 返回 结束极限极限存在存在存在准则、两个重要极限准则、两个重要极限()()(),,f x g x h x 若函数满足下列条件：()()()()()001 ;x x g x f x h x ≤≤在附近不含有一、极限存在准则、两个重要极限1.极限存在准则（夹逼定理）()()()02 lim g lim .x x x xx h x A →→==()0lim x x f x A→=则AC 2. 两个重要极限,1cos lim 0=→x x ∵1sin lim 0=∴→xxx 1sin lim 0=→xx x ,,(0)2O AOB x x π∠=<<作单位圆（如右图）圆心角,tan ,,sin AC x AB x BD x ===弧于是有xo BD ,tan sin x x x <<∴,1sin cos <<x xx 即重要的极限102x π<<注意：0()()()()0sin lim 1x x x x ϕϕϕϕ→=在表达式中，处要保持一致。
（2） 所求变量中带有三角函数；（1）（3）01sin limx xx→=解: x x x tan lim 0→⎟⎠⎞⎜⎝⎛=→x x x x cos 1sin lim 0x x x sin lim 0→=x 1lim 0→⋅1=x xx 530sin sin lim→03sin lim 33x x x →=.tan lim0x xx →例1. 求x x x 530sin sin lim →例2.求解：53=01sin lim ∆→∆=∆凑555sin x x 01lim sin ∆→∆=∆例3.cos 1lim 20xxx −→求解2202sin 2lim x x x →=原式220)2(2sin lim 21x x x →=20)22sin (lim 21xx x →=2121⋅=.21=凑()3111sin lim x x x →−−例4 求解：原式()()()2331111sin limx x x x x →++−=−()211lim x x x →=++()33111sin limx x x →−⋅−3=sin limx x x ππ→−0sin lim t t t→−=()0sin lim t t t π→+1−=例5 求例6 求02sin lim x arc xx→解：原式2arcsin x t =012limsin t tt →2=x t π−=解：原式例7 求02lim cot x x x→例8 求22lim sin xxx π→+∞0022lim limcos sin x x x x x →→=⋅212sin lim xx x π→+∞=22sin lim x x x πππ→+∞=022cos lim sin x x x x →=⋅π=解：原式12=解：原式() 0⋅∞() 0⋅∞重要的极限2?)11(lim =+∞→xx x我们可以利用计算器算出它的一些函数值，列出下表，了解当 时函数的变化趋势。
极限运算法则两个重要极限 PPT
那么 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
准则 Ⅰ与准则 Ⅰ'称为夹逼准则、
注意: 利用夹逼准则求极限关 键是构造出 yn与 zn , 并且 yn与 zn的极限是容易求的 .
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解
n n2 n
1 n2 1
2 x2
1 lim
sin 2
x 2
2 x0 ( x)2
2
x
1
sin lim(
2
)
2
2 x0 x
1 12 2
1. 2
2
(2) lim(1 1 )x e
x
x
定义 lim(1 1)n e
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释:
x1 x2 x3xn xn1 A M
x
例2 证明数列 xn 3 3 3 (n重根 式)的极限存在.
证 显然 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, xk1 3 xk 3 3 3,
xn是有界的 ;
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故 f [ (x)] A f (u) A , 因此①式成立、
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定理7、 lim (x) a , 且 x 满足 0 x x0 1 时,
设
x x0
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有
个、
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定理 4 、 若lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
lim[ f (x)g(x)] lim f (x) lim g(x) AB
(优选)极限存在准则两个重要极限公式
n! n 1 n 2
n1
1 (1 1 )(1 2 )(1 n ).
(n 1)! n 1 n 2
n1
显然 xn1 xn ,
x 是单调递增的; n
即
1 2
sin
x
1 2
x
1 2
tan
x
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
2020年7月18日星期六
例3 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
当
时,
当n N2 时, zn a
令 N max N1 , N2, 则当 n N 时, 有
lim
n
xn
a
由条件 (1) a yn xn zn a
即
xn a
,
故
lim
n
xn
a
.
2020年7月18日星期六
3
我们可将准则I推广到函数的情形：
准则I′ 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
又
n(n 1) 1
n(1 n)
lim
n
2(n2
2n)
2
lim
n
2(n2
n
1)
,
lim(
n
n2
1 n
1
n2
2 n
2
n2
n n
) n
极限存在准则、两个重要极限和连续复利公式
0 准则Ⅰ′ 如果当 x U ( x0 ) (或 x M )时,有
(1) g ( x ) f ( x ) h( x ), ( 2) x x g ( x ) A, x x h( x ) A, lim lim
( x )
0
( x )
0
那末 lim f ( x ) 存在, 且等于A .
2
10
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极限存在准则 重要极限
2. 定义
1 n lim(1 ) e n n
1 n lim (1 ) e n n
1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n
解
1 x2 2 1 4 原式 lim[(1 ) ] (1 ) e2 . x x2 x2
17
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极限存在准则 重要极限
四、小结
1.两个准则
夹逼准则; 单调有界准则 .
2.两个重要极限
设 为某过程中的无穷小,
sin 0 1 lim 1; 某过程
15
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极限存在准则 重要极限
r nk Ak A0 (1 ) n
如果计息期数 n ，即利息随时计入本金（连续
复利），则 k 年末的本利和为
r nk 1 Ak lim A0 (1 ) lim A0 {[1 ] }rk A0 e rk n n n n r A A 上述两式中： 0 称为现值， k 称为将来值（终值）， 已知 A0 求 Ak ，称为复利问题， 已知 Ak ，求 A0
第六节两个重要极限
所以 un+1 > un. 因此{un }是
单调递增数列.
此外，由 un 的展开式可得
un
1
1 n ≤
n
2 1 1 1
2! 3!
n!
≤
11 1 2
1 22
1 2n1
1
1
1 2n
1 1
3
1 2n1
≤
3.
2
所以 {un} 是有界数列.
综上所述，{un} 是单调有界数列，因此极 限存在.
这个结果可以作为公式使用
tan x
lim
1
x0 x
例2 解
计算
lim
x0
1
cos x2
x
.
1 cos x
lim
x0
x2
2 sin2
lim
x0
x2
x 2
lim
1
sin
x 2
2
x0 2 x
2
1
lim
sin
x 2
2
1
1
x
例 5 计 算 lim1 1 2 .
x
x
解 因为
1
x
1 2
1
1
1
x
2
，且
lim
1
1 x
e，
x x
x x
所以，有
lim 1
x
1 2
lim1
08 第八节 极限存在准则 两个重要极限
08 第八节极限存在准则两个重要极限第八节极限存在准则两个重要极限分布图示★夹逼准则★例1 ★例4 ★例7 ★例10 ★例12 ★例15 ★例18 ?1?★lim?1???e x???n?x★单调有界准则sinx★lim?1 x?0x★例2 ★例5 ★例8 ★例11 ★例13 ★例16 ★例 3 ★例 6 ★例9 ★例14 ★例17 ★例19 ★例20★例21 ★例24 ★例22 ★例23 ★例25 ★柯西极限存在准则★连续复利★内容小结★课堂练习★习题1- 8内容要点一、准则I：如果数列xn,yn及zn满足下列条件: yn?xn?zn(n?1,2,3,?);limyn?a,limzn?a, n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a. n??注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求.二、准则II：单调有界数列必有极限. 三、两个重要极限：sinx?1?1. lim?1；2．lim?1???e. x???x?0xx?四、连续复利设初始本金为p (元), 年利率为r, 按复利付息, 若一年分m次付息, 则第n年末的本利和为r??sn?p?1???m?mnx 如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m趋于无穷大时, t年末的本利和可按如下公式计算r??s?plim?1??m???m?mt?pert 若要t年末的本利和为s, 则初始本金p?se?rt. 例题选讲夹逼准则的应用?111??. 例 1 (E01) 求lim??????222n???n?2n?n??n?1解?nn?n2?1n?12???1n?n2?nn?12 又limn??nn?n2?limn??111?n?1,limn??nn?12 ?limn??111?2n?1, 夹逼定理得?1?11??1.lim??????2n???n2?2n2?n??n?1nn1/n例 2 求lim(1?2?3). n??解1nnn(1?2?3)??2??1??3?1???????,易见对任意自然数n,有???3??3????2??1?1?1???????3, ? 3??3?nnn1n?n1故3?1n1??2??1??3?1????????3?3n. ???3??3? ??n1n?n1而lim3?1nn???3,1lim3?3nn???3,所以1nnn2?3)n??lim(1???2??1??lim3?1?????? ??3. n?????3??3???n1n?n 例 3 求lim??解设xn??111??. ????22?n??n2(n?1)(n?n)??111? ???. 显然，n2(n?1)2(n?n)2n?1111111n?1??????x????? ?2 n22222224n(2n)(2n)(2n)nnnn又limn?1n?1?0,lim?0,夹逼准则知limxn?0, n??4n2n??n2n???111???0. 即lim?????22?n???n2(n?1)(n?n)??an(a?0). 例 4 求limn??n!a?a?a?aana?a?a?ac?a?c??解?, ([a]?2)([a]?3)?nn!1?2?3?([a]?1)([a]?2)?nna?a?aanc?aanc?a,因此0??,而lim?0. 其中c??0,所以limn??n!n??n1?2?3?([a]?1)n!n n!. n??nnn!1?2?3?n1?2?n?n?nn!222解n???2,易见0?n?2.又lim2?0. n??nn?n?n?nn?n?n?nnnnnn!所以lim2?0. n??n 例5 (E02) 求lim例6 (E03) 求极限limcosx. x?0xx2?x??2????解因为0?1?cosx?2sin,故准则I?,得22?2?22lim(1?cosx)?0, 即limcosx?1 x?0x?0 例7 求limnn. n??解令nn?1?rn(rn?0),则n?(1?rn)n?1?nrn?2n(n?1)2n(n?1)2. rn???rnn?rn(n?1),因此, 0?rn?n?12!2!于limn??2?0,所以limrn?0.故limnn?lim(1?rn)?1?limrn?1.n??n??n??n??n?1 例8 求证limna?1(a?0). 解(1)n??当a?1时, n1?1,故limna?lim1?1. n??n??(2) 当a?1时,设xn?na,显然xn?1.当n?a 时,xn?na?nn.例3知limnn?1,所以n??n??limna?1(a?1). (3)当0?a?1时，总存在一个正数b(b?1),使得a?1/b,(2)知limnb?1,所以n??n??limna?limnn??111???1, blimnb1n??综合上述证明可知limna?1(a?0). n?? 例9 求极限limx??. x?0?x?1?1?1?1?解当x?0时, ?1????，因此，当x?0时, 1?x?x???1 x?x?x?x??1??1?x?0x?1,1?x?x夹逼定理可得lim当时，有???x??1 x?0??x????1??1?x?1,limx夹逼定理可得lim从而????1. x?0?x?0??x??x? 例10 (E04) 设有数列x1?1??3,x2?3?x1,?,xn?3?xn?1,?,求limx. n??n证显然xn?1?xn,?{xn}是单调递增的.下面利用数学归纳法证明{xn}有界. 因为x1?3?3,假定xk?3,则xk?1?3?xk?3?3?3. 所以{xn}是有界的.从而limxn?A存在. n??222递推关系xn?1?3?xn,得xn?1?3?xn,故limxn?1?lim(3?xn),即A?3?A, n??n??解得A?1?131?131?13,A?. (舍去). 所以limxn?n??222 例11 设a?0为常数, 数列xn下列定义:xn?1?a???x?(n?1,2,??) n?1??2?xn?1?其中x0为大于零的常数, 求limxn. n??解先证明数列xn的极限的存在性. 1?a?2222??2xnxn?1?xnxn??即x?(x?x)?x?ax?a. ?a,?n?1nn?1nn?1?2?xn?1 ??a?0,x0?0,知xn?0,因此xn?a,即xn有下界.又xn?11?a???1?1a?1,故数列xn单调递减，极限存在准则知limxn存在.??1?2?2n??xn2??xn?22xn 1?a?1?a??A?A?不妨设limxn?A,对式子xn??两边取极限得:x???. n?1?n??2A2?x??n?1??解之得A?a,即limxn?a. n?? tanx. x?0xtanxsinx1sinx1?1. 解lim?lim??lim?limx?0xx?0xx?0x?0cosxxco sx 例12 (E05) 求lim例13 求limtan3x.x?0sin5xsin3x31tan3xsin3x1133解lim?lim3x??lim????1?.5x5co3x?0sin5xx?0sinsx155xco3sxx?0sin 55x 例14 (E06) 求lim1?cosx. 2x?0x2xx?x?sin?2sinsin2?2??1?12?1.2?1lim2?1lim?解原式?limx?02x?0?x?2x?0?x?222x2?????2?? 2?2 例15 下列运算过程是否正确：limtanxtanxxtanxx?lim.?limlim?1.x?xsinxx?xxsinxx?xxx?xsinxtanxx?1,?1,本题x??,所以不能应用上述xsinx解这种运算是错误的.当x?0时,方法进行计算.正确的作法如下：令x???t,则x???t;当x??时, t?0,于是tanxtan(??t)tanttanttlim?lim?lim?lim???1. x??sinxt?0sin(??t)t?0?sintt?0t?sint 例16 计算lim解lim cosx?cos3x. 2x?0xcosx?cos3x2sin2xsinx4sin2xsinx?4. ?lim??lim22x?0x?0x?02xxxxx2例17 计算lim. x?01?xsinx?cosxx2(1?xsinx?cosx)1?xsinx?cosx)?lim解lim ?limx?0x?01?xsin1?cosxxsinxx?01?xs inx?cosxx?cosx?2xx2x2?1?14?. 1?132 x?sin2x.x?0x?sin2xsin2xsin2x1?1?2x?sin2xx?lim2 x?1?2??1. 解lim?limx?0x?sin2xx?0sin2xx?0sin2x1?23 1?1?2x2x 例18 (E07) 计算lim?1?例19 (E08) 求lim?1??n???n?n?3. 1?????1?n??n?1?解lim?1??n???n?n?3???lim??1?n?????1??n? 3??1??1???lim?1????1???e?1?e.n???n??n???n3 1/x例20 (E09) 求lim(1?2x). x?0解1lim(1?2x)xx?01????lim?(1?2x)2x?x?0??? ??2?e?2. ?k?例21 (E10) 求lim?1??. x???x?xx????kkkk?k?????k解lim?1???lim??1?????lim?1????e.x??x????x???x???x??x??????xkkx?1?特别地，当k??1时，有lim?1???e?1. x???x? ?3?x?例22 (E11) 求lim??. x???2?x??3?x?解lim??x???2?x?2xxx?2?2?????1??1??lim?? 1?? ???lim??1??x????x??x?2x?2????????? ?x?2?4??1???1?2?lim??1????1???e. x????x?2??x?2????222x2x ?x2??.例23 求lim?x???x2?1???xx???x2?11??????lim解lim??1?2??lim??1?2x???x2?1?x????x???x ?1x?1?????xxx2?1?x?12????e0?1.x1/x例24 计算lim(e?x). x?01(ex?解limx?01x)x?1?lim(ex)x?1?x?0?e?x?xx??? elim1???x?x?0?ex???e??1?xx?ex?2??e?e?e. ?? tan2x. 例25 求极限lim(tanx)x??/4解令t?tanx?1,则tanx?t?1,当x??4时,t?0,又tan2x?2(t?1)2tanx12(t?1)? ???22tt?21?tan x1?(t?1)12(t?1)??lim(1?t)tt?2t?01?2(t?1)li m[(1?t)t]t?2t?0故lim(tanx)tan2x?x???1?[lim(1?t)t]t?0limt?0 ?2(t?1)t?2?e?1. 4 连续复利例26 (E12) 小孩出生之后，父母拿出P 元作为初始投资，希望到孩子20岁生日时增长到100000元，如果投资按8%连续复利，计算初始投资应该是多少？解利用公式S?Pe，求P. 现有方程rt100000??20此得到eP?100000?? 于是，父母现在必须存储元，到孩子20岁生日时才能增长到100000元. 计算现值可以理解成从未来值返回到现值的指数衰退. 一般地，t年后金额S的现值P, 可以通过解下列关于P的方程得到S?Pekt，P? P?kt?Pe. ekt课堂练习 1. 求极限limtanx?sinx. x?0x2sinx2. 求极限lim x???1(3x?9x)x.。
极限存在准则和两个重要极限
lim 1 x e . x0
x
n
n
lim 1
x
1 x
x
e,
二个重要极限
例1. 求 解:
例2. 求
解: 原式 =
例3.
例4.
lim sin 3 x x0 sin 2 x
lim 3 sin 3x 2 x x0 2 3x sin 2 x
lim 3 lim sin 3 x lim
思考与练习
1. lim sin x _____ ; x x
1
2. lim x sin ____ ;
x
x
1
3. lim x sin ____ ;
x0
x
填空题 ( 1～4 )
1 y
y
lim
1
y
1 y
1
y sin x
3 y
lim (1 y)
y0
例9 .
lim 1 x
1 x
x
y x
ylim1
1 y2
y
lim 1 y
1 y
y1
1 y
y
lim 1 y
1 y
y lim 1 y
1 y
y (1)
1
lim 1 x x e .
x0
例10
n2 n
n2 1
n2 n
又 lim n
n
lim
n2 n
n
1 1 1
n
lim n
n
lim
n2 1
n
1
1
1 n2
n
n2 n
n
,
n2 1
lim(
n
1
第五节两个重要极限
x
1
（注意极限过程是 x 0）
此公式可推广：设y=f(x)
则 lim sin y lim sin f (x) 1
y0 y
f (x)0 f (x)
例（１）
lim x lim 1 1 1 x0 sin x x0 sin x lim sin x
x
x0 x
（ 2 ）lim tan x lim sin x 1 11 1
x0
2 2 sin 2
2
x 2
1
lim(
sin
x 2
)2
2 x0 x
1 12 2
1 2
另解 : 原式
lim
x0
(1 cos x)(1 cos x2 (1 cos x)
x)
2 lim
x0
sin 2 x2
x
1
1 cos
x
1
1 2
1 2
(9)
lim
x0
tgx
sin x3
x
lim
x0
sin
x( 1 cos x3
x0 sin 3x x0 5x sin 3x 3 3
3
(6) lim sin(sin x) x0 sin x
解:设y sin x, 当x 0时，y 0
原式 lim sin y 1
(7)
lim
2
cos
y0 ysin( )
lim 2
2
1
(8)
2
lim
x0
1
cos x2
x
lim
x0 x x0 x cos x
（
3
） lim x0
x tan
x
lim cos
3.4两个重要的极限
§3.4 两个重要的极限教学章节：第三章 函数极限——§3.4 两个重要的极限 教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用.教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点：两个重要极限的证明及运用.教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 教学过程：一 、关于函数极限的性质1、质1－性质4常用于说明函数极限的一些性质.例1 设()0f x >，0lim ()x x f x A →=，证明：0lim x x →=例2 设0lim ()x x f x A →=，0lim ()x x g x B →=. （1）若在某00()U x 内有()()f x g x <，问是否有A B <？为什么？（2）证明：若A B >，则在某00()U x 内有()()f x g x >.2、 质5－性质6（迫敛性、四则运算）常用于计算.P51： 1、（1）222lim 2(sin cos )22x x x x ππ→--=-；（2）2201lim 121x x x x →-=--； （3）22112lim 213x x x x →-=--；（4）443x →=； （5）702070209090(36)(85)38lim (51)5x x x x →+∞+-⋅=-. 2、2sin lim04x x xx →+∞=-.例 0sin lim1x xx→=.二 、关于归结原则(Heine 定理)(一) 定理的内容 (二)定理的意义 (三) 定理的用途1、明极限不存在，如01lim sin x x→的极限不存在；2、用数列极限的性质证明函数极限的性质. (1) 证明函数极限的唯一性. (2) 证明函数极限四则运算. (3) 证明单调有界定理.3、用函数极限求数列极限. (1) 1lim sinn n n →∞.(2) 211lim(1)n n n →∞+-.4、结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用.三、关于单调有界定理 (一) 内容. (二) 意义.四、关于Cauchy 准则 (一) 内容 (二) 意义 (三) 用途1、明lim ()x f x →∞存在；2、明lim ()x f x →+∞不存在.如1lim sinx x→+∞. 证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy 准则.§3.4 两个重要的极限一、 0sin lim1x xx→=的证明在单位圆盘}1|),{(22≤+=y x y x D 上，x 是圆心角AOB ∠，以弧度计，即它恰好等于AB , 而BC x =sin 是弦长B B '之半，它的几何意义是sin 2sin 1(0)2x x BB x x x BB '==→→'，即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1.证明 设20π<<x , AOB ∆面积<扇形AOB 面积<AOD ∆面积，即tgx x x 2121sin 21<<， 1sin cos <<x xx ,用偶函数性质，这不等式在2<<-x π时也成立.令 0→x , 1cos lim 0=→x x , 两边夹得出 1sin lim0=→x xx .推论 R ∈∀x ，x x ≤sin ，等号成立当且仅当0=x .证明 20π<<x 时, 1|||sin |sin <=x x x x , 当2π≥x 显然成立，而0=x 时等号成立，且只有0=x 时等号成立. 二、 0sin lim1x xx→=的应用例1 求20cos 1limx xx -→.解 2222222sin 1cos 1sin 2()2xx xxxx -==，令2x t =，则x 0→t ；故有21)sin (21lim cos 1lim2020==-→→t t x x t x .例2 求x xx -→ππsin lim.解 令x t -=π，则 t t x sin )sin(sin =-=π；且当π→x 时0t →，故 1sin lim sin lim0==-→→t tx x t x ππ.例3 求nx mxx sin sin lim0→（0,0≠≠x n ）.证明 当0≠m 时n m nx nx n mx mxm nx mx →⋅⋅=sin sin sin sin ；当0=m 时原式0=.注 利用归结原则，可求数列极限.如求1sin1limlim sin 1n n n n nn→∞→∞=，直接利用0sin lim 1x x x →=是不严格的；但已知0s i n li m 1x x x →=，故取,(1,2,)n x n nπ== ，则0()n x n →→∞，从而由归结原则1sinlim ()lim 01n n n n f x n→∞→∞==. 三、证明1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()10lim 1e ααα→+=.证明 先证+∞→x 情况，当1>x 时，有][11111][11x x x +≤+≤++.xx x x x x )][11()11()1][11(+≤+≤++，eex x x x x x ↓↓+≤+≤+++1][][)][11()11()1][11(所以 ex x x =+∞→)11(lim .再证-∞→x 情况, 令+∞→-=y y x ,，e y y y x y y y y x x =-+⋅-+=-=+-+∞→-+∞→-∞→)111()111(lim )11(lim )11(lim 1 由极限与单侧极限关系定理，得 ex x x =+∞→)11(lim .推论 et tt =+→1)1(lim .证明 令x t 1=, 即得.四、应用例1 求xx x 10)21(lim +→.解 令x u 2=，则u x 21=；且当0→x 时0→u （0≠x 时0≠u ），因此，2202010])11[(lim )1(lim )21(lim e u u x u u uu x x =+=+=+→→→.例2 求xx x 10)1(lim -→.解 令u x -=，则当0→x 时0→u ，因此，e u u x u u uu xx 1])11[(lim )1(lim )1(lim 101010=+=+=--→-→→例3 求xx x x )3212(lim ++∞→.解xx xx x x x )2111(1)1221(1)3212(++=++=++x x x )2111(lim ++∞→ee x x x x =⋅=++⋅++=-+∞→1)2111()2111(lim 2121，故原式e 1=.也可利用以下结论：0)(lim >=→A x f a x ，Bx f a x =→)(lim ，则Bx g ax A x f =→)()(lim ，1322232])3221[()3221()3212(-+-+--→+-+=+-+=++e x x x x x xx x x .例4 求211lim(1)nn n n →∞+-. 练习 Ｐ39 4 1(1)1n n ⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭为递增数列.Ｐ39 9 11(1)n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为为递减数列.Ｐ55 2 设f 为定义在[,)a +∞上的增（减）函数，证明：lim ()x f x →+∞存在⇔f 在[,)a +∞上有上（下）界.。
对两个重要极限的重要性的认识
...e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→xxx对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。
它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。
因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。
试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
2.1第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证明：作单位圆，如图1：图1设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AOD AOB AOB S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<，1sin cos cos 1sin 1<<⇒<<⇒xxx x x x（因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，x xx sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<xxx 。
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y0 sin y
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例6 求lim sin 3x .
x tan 5x
解 令x = t, 当x 时,t 0,
lim sin 3x = lim sin(3 3t) x tan 5x t0 tan(5 5t)
a(x)
例例11 求 lim tan x x0 x
解 lim tan x =lim sin x 1 = lim sin x lim 1 =1 x0 x x0 x cosx x0 x x0 cosx
例例22 求 lim 1cosx
解
x0 x2
lim 1cosx x0 x2
=
=
1 2
lim x0
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•第二个重要极限
•应注意的问题
lim (1 1)x = e x x
1
在极限 lim[1a(x)]a(x) 中 只要a(x)是无穷小 就有
1
lim[1a(x)]a(x) = e
这是因为
令
u
=
a
1 (x)
则 u
于是
1
lim[1a(x)]a(x)
= lim (1 1)u = e
x0
解原式
1 (3)
= lim[1 (x)]x
= e3
x0
例10 求 lim (1 cosx)2secx.
x
2
解原式
1 2
= lim (1 cosx)cosx
x
= e2
2
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设
xn
=
(1
1 n
)n
可以证明数列{xn}是单调有界的 根据准则II 数列
{xn}必有极限 这个n n
我们还可以证明 lim (1 1)x = e x x
e是个无理数 它的值是
e=2 718281828459045 指数函数y=ex及对数函数y=ln x 中的底就是常数e
§1.6 两个重要极限
一、准则 I 及第一个重要极限 二、准则 II 及第二个重要极限
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一、准则 I 及第一个重要极限
•准则 I （夹逼定理）
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件 (1)ynxnzn(n=1 2 3 )
(2)
lim
n
yn
=
a
lim
n
zn
=
a
那么数列 {xn }的极限存在
解 lim sin mx = lim sin mx mx nx = m . x0 sin nx x0 mx nx sin nx n
例4
求lim x0
tan
x sin x3
x
.
解
lim
x0
tan
x sin x3
x
=
lim
x0
tan x
x
1
cos x2
x
=
lim
x0
tan x
x
lim
x0
1 cosx x2
2
)
(
显然 BC AB AD 因此 sin x x tan x
从而
cosx sin x 1 x
(此不等式当 x0 时也成立)
因为 lim cosx =1 x0
D B
根据准则 I
lim sin x =1 x0 x
1 x
OCA
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•第一个重要极限
•应注意的问题
lim sin x =1 x0 x
就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统 称为单调数列
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•准则II 单调有界数列必有极限
•说明 前面曾证明 收敛的数列一定有界 但有界的数列不
一定收敛 现在准则II表明 如果数列不仅有界 并且是单 调的 那么这个数列一定是收敛的
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•第二个重要极限
=1 2
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例5 求lim arcsin x . x0 x
解 令y = arcsinx, 则x = siny, 当x 0时, y 0,
lim arcsin x = lim y = 1
x0 x
sin
x 2
x 2
lim
x0
2 =
2 sin 2 x2
x 2
==1212lximlxi0ms0(isn12i2n)2x22x222x
1 12 = 1
22
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
a(x)
例3 求lim sin mx .(m 0, n 0) x0 sin nx
x x 1
解原式 = lim (1
x 14 2
4 )4
x x 1
= lim[(1
4
x1
) 4 ]4 lim (1
4
)2
x
x 1
x x 1
= e4
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lim (1 1)x = e x x
1
lim[1a(x)]a(x) = e (a(x)0)
3
例9 求lim (1 x) x .
u u
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lim (1 1)x = e x x
1
lim[1a(x)]a(x) = e (a(x)0)
例7 求 lim (1 k )x.(k为自然数，k 0)
x
x
解原式
= lim (1
k
)
x k
k
= lim[(1
k
)
x k
]k
= ek
x
x
x
x
例8 求 lim ( x 3)x1.
在极限
lim
sina(x) a(x)
中
只要a(x)是无穷小
就有
lim
sina(x) a(x)
=1
这是因为 令u=a(x) 则u 0 于是
lim
sina(x) a(x)
=lim sin u =1 u0 u
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lim sin x =1 lim sina(x) =1(a(x)0)
x0 x
且
lim
n
xn=a
•准则 I
如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件
(1) g(x)f(x)h(x)
(2)lim g(x)=A lim h(x)=A
那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A
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•第一个重要极限
lim sin x =1 x0 x
简要证明
参看附图
设圆心角AOB=x( 0 x
= lim sin 3t t0 tan 5t
= lim sin 3t 5t 3 t0 3t tan 5t 5
=3 5
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二、准则 II 及第二个重要极限
•单调数列
如果数列{xn}满足条件 x1x2x3 xnxn1
就称数列{xn}是单调增加的 如果数列{x n}满足条件 x1x2x3 xnxn1