辽宁省沈阳市高考数学领航预测(十)试题 文

2013届省重点中学协作体领航高考预测试卷10
高三文科数学试题
命题人 沈阳二中
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题列出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知集合{|21},{|1},A x y x B x x A B ==-=≤I 集合那么集合等于（ ）
A ．}12
1
|
{≤≤x x
B ．}1|{-≤x x
C ．}2
1
1|{≤≤-x x D ．}1|{≥x x
2．复数121i
i -=+( )
13.22A i - 13.22B i -+ 13.22C i -- 13.22
D i +
3. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是 （ ）
A B C D
4. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )
A ．－72
B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－36 5. 设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )
A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
B.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β
C.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β
D.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α
6. 若向量a →
、b →
满足 a b →→+ =（2，-1），a → =（1，2），则向量a →与b →
的夹角等于 （ ）
（A ）︒
45 （B ）︒
60 （C ）︒120 （D ）︒
135
正视图侧视图
俯视图_ O
_ t _ h _ h _ t _ O _ h _ t _ O _ O _ t _ h
7. 已知命题P ：[)+∞∈∀,0b ，c bx x x f ++=2
)(在[)0,x ∈+∞上为增函数,命题Q ：
{},|0Z x x x ∈∈∃ 使 0log 02>x ，则下列结论成立的是（ ）
A ．P Q ⌝∨⌝
B ．P Q ⌝∧⌝ Ｃ．P Q ∨⌝ Ｄ．P Q ∧⌝
8. 函数1|()1|2
x
y =-的图象与直线y k =的图象有一个公共点,则实数k 的取值范围是( )
.A 01k << .B 1k ≥ .C 1k ≥或0k = .D k R ∈
9 . 从抛物线x y 42
=上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|=5，设抛物线的焦
点为F ，则△MPF 的面积（ ） A ．5
B ．10
C ．20
D ．15
10. 若5
4
2sin ,532cos
==θθ
,则角θ的终边落在直线 ( )上 A. 0724=-y x B. 0724=+y x C.0247=+y x D.0247=-y x
11. “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的（ ） （A ）充分必要条件 （B ）充分而不必要条件
（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 12. 给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是 第一个数是1，
第二数比第一个数大1， 第三个数比第二个数大2， 第四个数比第三个数大3，……
以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题 的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行 框②处应分别填入 （ ）
A ．i ≤30；p = p + i －1
B ．i ≤29；p = p + i + 1
C ．i ≤31；p = p + i
D ．i ≤30；p = p + i
第Ⅱ卷(共90分)
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知过原点的直线与圆2
2
(2)1x y ++=相切，若切点在第二象限，则该直线的方程
为 ．
14.在平面几何里，已知直角三角形ABC 中，角C 为90o
，AC=b,BC=a,运用类比方法探求空间中三棱锥的有关结论：
有三角形的勾股定理，给出空间中三棱锥的有关结论：________
若三角形ABC
的外接圆的半径为r =，给出空间中三棱锥的有关结论：
________
15.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．求取出的两个球上标号为相邻整数的概率________；
16.已知关于x 的方程3
2
0x ax bx c +++=的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则
b
a
的取值范围________ 三、解答题：本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. （本小题满分10分）已知(sin ,cos ),(cos ,sin )m x x n ωωϕϕ==u v v
，函数
()2(cos )sin f x A x m n A ωϕ=⋅-u v v （其中0,0,||)2
A π
ωϕ>><的图像在y 轴右侧的第一
个最高点（即函数取得最大值的点）为P )2,3
1
(，在原点右侧与x 轴的第一个交点为
Q )0,6
5
(.
（1）求函数)(x f 的表达式； （2判断函数)(x f 在区间2123
[
,]44
上是否存在对称轴，存在求出方程；否则说明理由； 18. （本小题满分12分）如图，多面体
AEDBFC 的直观图及三视图如图所示，
N M ,分别为BC AF ,的中点．
（1）求证：//MN 平面CDEF ； （2）求证：AF CE ⊥；
（3）求多面体CDEF A -的体积。

N
M
F
E
D C
B
A
直观图
俯视图
正视图
侧视图
2
222
2
2
19. （本小题满分12分）已知函数2
(),()2ln h x x x e x ϕ==（其中e 为自然对数） （1） 求F(x)=h (x)()x ϕ-的极值。

（2）
设/
()()()2a G x h x x e
ϕ=+⋅
（常数a>0），当x>1时，求函数G(x)的单调区间，并在极值存在处求极值。

20. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1
(1)2
n s n n =-，且n a 是n b 与1的等差中项。

（1）求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式； （2）若1
(2)n n
c n na =
≥，求234n c c c c ++++L （3）若(21)
()()(2)
n n a n k f n k N b n k *=-⎧=∈⎨
=⎩，是否存在n N *∈，使得(11)2()f n f n +=并说
明理由。

21. （本小题满分12分） 甲乙共同拥有一块形状为等腰三角形的地ABC ，其中
120,C AC BC a ∠===o 。

如果画一条线使两块地面积相等，其中两端点P 、Q 分别在线
段AB,AC 上。

（1） 如果建一条篱笆墙，如何划线建墙费用最低？ （2） 如果在PQ 线上种树，如何划线种树最多？
22. （本小题满分12分） 已知直线L ：y=x+1与曲线C ：22
221(1,0)x y a b a b
+=>>交于不
同的两点A,B;O 为坐标原点。

（1） 若OA OB =，试探究在曲线C 上仅存在几个点到直线L 的距离恰为2
a ？并说明理由；
（2） 若OA OB ⊥，且a>b,610a ∈⎣⎦
,试求曲线C 的离心率e 的取值范围。

高三数学试题（文）答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．C 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．C 9.B 10.B 11.C 12.D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13．
3
03
x y += 14．在三棱锥O-ABC 中，若三个侧面两两垂直，则2222OAB OAC OBC ABC S S S S ∆∆∆∆++=；在三棱锥O-ABC 中，若三个侧面两两垂直，且三条侧棱长
分别为a,b,c,则其外接球的半径为222
2
a b c r ++=
15．
38 16． 1
22
b a -≤<- 17. 解：（1）由题意化简可知，
()2(cos )sin f x A x m n A ωϕ=⋅-u v v
2cos (sin cos cos sin )sin A x x x A ωωϕωϕϕ=+- 2
(sin 2cos 2cos sin )sin A x x A ωϕωϕϕ=+- (sin 2cos cos 2sin )A x x ωϕωϕ=+ sin(2)A x ωϕ=+ 4分
5122,
22463T A T T πωπ==-⇒=⇒==2πω⇒= 将点P )2,31(代入)sin(2ϕπ+=x y 得：1)3sin(=+ϕπ
所以)(6
2Z k k ∈+
=π
πϕ，考虑到||2
πϕ<
，所以6
π
ϕ=
，
于是函数的表达式为)
()6
sin(2)(R x x x f ∈+
=π
π 6分
（2）由)(26Z k k x ∈+
=+
π
ππ
π，解得：3
1
+
=k x 令42331421≤+≤k ，解得：12
651259≤≤k 由于,Z k ∈所以5=k
所以函数)(x f 在区间]423
,421[上存在对称轴，其方程为316=x …… 12分
18. （1）证明：由多面体AEDBFC 的三视图知，
三棱柱AED BFC -中,底面DAE 是等腰直
角三角形，2==AE DA ，⊥DA 平面ABEF , 侧面ABCD ABFE ,都是边长为2的正方形． 连结EB ，EC 则M 是EB 的中点，N BC 是的中点, 在△EBC 中，EC MN //，
且EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， ∴MN ∥平面CDEF ……4分
（2） ∵⊥DA 平面ABEF ，DA ∥BC ， ∴⊥BC 平面ABEF ， ∴AF BC ⊥，
∵面ABFE 是正方形， ∴AF EB ⊥，
∴BCE AF 面⊥，∴AF CE ⊥．
……8分
（3）因为⊥DA 平面ABEF ，EF ⊂平面ABEF , AD EF ⊥∴,
又EF ⊥AE ，所以，EF ⊥平面ADE ， ∴四边形 CDEF 是矩形, 且侧面CDEF ⊥平面DAE 取DE 的中点,H Θ⊥DA ,AE 2==AE DA ,2=∴AH ,
且⊥AH 平面CDEF ．
所以多面体CDEF A -的体积3
8
3131=⋅⋅=⋅=
AH EF DE AH S V CDEF ． ……12分 19. 解：（1）2
()2ln F x x e x =-Q （x>0）
/
22(()2e x x F x x x x
+∴=-
=
当时, /
()F x <0, 此时F(x)递减,
当, /
()F x >0,此时F(x)递增
当x=e 时,F(x)取极小值为0 ……6分 (2)可得2
2()2e a G x x x e =+
⋅=2a x x + 3/222()2()2a x a G x x x x
-=-=, ……9分 当0<x<
3
2
a
时,G(x)递减，当x>3
2
a
时,G(x)递增 x>1, ∴若3
2
a
≤1时，即0<a ≤2,G(x)在（1，+∞）递增.，无极值。

Q 若3
2a >1时，即a>2,G(x)在（1，32a ）递减，在（32
a
，+∞）)递增。

所以3
2a x =
处有极小值，极小值为3
23
2a 2
…… 12分
20.（1）1,23n n a n b n =-=- （2）111n c n n =
--2341
n n c c c c n
-++++=
L （3）当n 为奇数时，()1,(11)219n n f n a n f n b n ==-+==+由已知得2n+19=2n-2，矛盾。

当n 为偶数时，11()23,(11)10n n f n b n f n a n +==-+==+由已知得n+10=4n-6，矛盾。

所以满足条件的n 不存在。

21.(1)
设
,AQ x AP y
==,
,1203AB AC a C AB a
︒==∠=∴=又
1
2a x a ≤≤,
3
32
a y a ≤≤234
ABC S a ∆=
则
213sin 3028
APQ S xy a ∆=
=o 23xy =
由余弦定理知222
32cos3032PQ x y xy a =+-≥
-当且仅当4
122
x y a ==时，PQ
最短，费用最低。

…… 6分
（2）
233,022xy y =
<≤1
2
a x a ∴≤≤2222cos30PQ x y xy =+-o
=
42
2
2331
()42
2a a x a x a x +-
≤≤4112(),22f x a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦在递减，412(),,2f x a ⎤⎥⎣⎦
在递增，
22111()()424f a a f a a =
= ∴当1
2x a =时，即P 位于B 点，Q 位于AC 的中点，PQ 最长，种的果树最多。

……12分
22.解：(1)在曲线C 上存在3个点到直线L 的距离恰为2
2
a -。

设1122(,),(,)A x y B x y ，由OA OB =得2
2
OA OB =，
∴2222
1122x y x y +=+ 2分
又点A,B 在直线L 上，得111y x =+，221y x =+，代入上式化简得 1212()(1)0x x x x -++= 4分 由1212,1x x x x ≠∴+=-
由22222222221,)201
y x b x a x a a b x y a
b =+⎧⎪
+++-=⎨+=⎪⎩2得（a 6分
所以2
122
2
21a x x a b
+=-=-+，于是22a b =，这时曲线C 表示圆 2
2
2
x y a +=，O 到直线L 的距离2
2
=,即有3个点 8分 （2）因为a>b,所以曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆
由
,0OA OB OA OB ⊥•=r r
，所以12120x x y y +=， 又111y x =+，221y x =+，12122()10x x x x ∴+++= 9分
由（1）得212222a x x a b +=-+，2221222a a b x x a b -=+，代入上式整理得
2
2
22
2a b a b +=，222
2
2
2
2
2
2
22(1)
2()0,21
a a a a c a a c c a -+---==-
222
2222(1)1
12121c a e a a a -===--- 610a ∈⎣⎦ 可得23e ∈⎣⎦
而22222222222
(2)4()()4(1)0a a b a a b a b a b ∆=-+-=+->
∴ 22e ∈⎣⎦
12分。