第二类曲面积分方向的判别方法

第二类曲面积分方向的判别方法
一类第二类曲面积分侧的确定
萧萧落木623
摘要：本文针对第二类曲面积分侧的确定这一难点展开讨论，处理的一类题型是当给定曲面的上或下侧时，如何简单地确定积分的前后或者左右侧. 文中通过对一般第二类曲面积分的分析，应用法向量以及第一类与第二类曲面积分间联系的理论知识，得出了确定积分侧普遍适用的结论. 再对具有特殊结构的曲面和被积函数进行分析，得到了更为简便的结论.
关键词：第二类曲面积分；侧；法向量.
一、问题的提出与分析
1. 问题提出.
计算第二类曲面积分时，侧的确定是关键因素. 题目中一般不会直接给出相对于坐标轴确定的一侧，大多数情况下，仅仅会说明相对于整个曲面而言的侧.
例如，积分沿着球面外侧.
，沿着曲面∑的上侧. 显然求再如，所求积分的形式为I=(,,)
f x y z dydz
∑
该积分I，要确定的是相对于x轴曲面的前后侧. 因此，就需要将给定的上侧转化为曲面的前或后侧.
本文所研究的问题是针对以上的第二类情形，简化第二类曲面积分侧的转化过程，从而简化积分I的计算.
2.分析问题.
(1)研究对象.
为了确定曲面的侧，首要的研究对象是曲面；同时，简化侧的确定过程目的就是为了简化积分的计算，这里还要对被积函数进行分析与讨论.
(2)与该问题相关的知识及理论.
曲面上点的切面的法向量；第一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系.
二、定义
dxdy取正时，表示积分沿着曲面的上侧；dxdy取负时，表示积分沿着曲面的下侧.
同理，可定义dxdz、dydz取正或者负时所代表的意义.[1]
三、问题的解决
这里仅对问题提出中所论及的情形进行讨论和研究，对于第二类曲面积分
(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdz ∑
∑
，的分析与此相同.
以下将对曲面∑的一般形式和参数方程形式进行分类讨论.
1.曲面∑的方程为(,,)0F x y z =.
根据第一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系，有如下等式：I =(,,)f x y z dydz ∑??=(,,)cos f x y z dS α∑
，
n
={cos ,cos ,cos αβγ}为曲面取上侧时点的切面的单位法向量，容易得出，
cos γ>0.再对该等式变换后，可得I =()cos ,,cos f x y z dxdy α
γ
∑
. 通过曲面方程知，单位法向量n
=2
22z
1{,,}x y z x y
F F F F F F
±
++. 当积分沿着曲
面取上侧时，则cos α=2
22x
x
y
z
F F F F
±++，cos γ=±222z
x
y
z
F F F F
++.
因此，I =()
,,x z
F f x y z dxdy F ∑
. 故dydz =dxdy F F
z x .由定义，0dxdy >.
综上，可以得出结论：在x F 、z F 同号的区域内，dydz 0>，积分沿曲面取前侧；在x F 、z F 异号的区域内，dydz 0<，积分沿曲面取后侧.
2. 曲面∑的方程为参数方程
设曲面∑的参数方程为(,)
(,)(,)x x u v y y u v z z u v =??
=??=?
，令n ={cos ,cos ,cos αβγ}为曲面取上侧时点的切面的单位法向量，cos γ>0. 则n
=2
2
2
1{,,}A B C A B C
±
++.
I =(,,)cos f x y z dS α∑??=±
()()()()222,,,,,cos f x u v y u v z u v A B C dudv α∑
++??
.
若C 0>，
有 n =
2
2
2
1{,,}A B C A B C
++，则I =()()()(),,,,,f x u v y u v z u v Adudv ∑
，
即0A >时取前侧，0A <时取后侧；
若0C <，
有n =2
2
2
1{,,}A B C A B C
-
++，
则I =-()()()(),,,,,f x uv
y uv z uv A d u d v ∑
，
即0A >时取后侧，0A <时取前侧.
综上，可以得出结论：在A 、C 同号的区域内，积分沿着曲面取前侧；在A 、C 异号的区域内，积分沿着曲面取后侧.
四、特殊条件下的相应结论
在问题的解决中所得出的结论比较宽泛，而针对一些有特殊结构特点第二类曲面积分，则可以得出更为有用的结论.
1. (1) 显然，在曲面∑内，若x F 、z F 始终同号，则积分沿曲面取前侧；若x F 、
z F 始终异号，则积分沿曲面取后侧；
(2) 曲面∑满足：在0x >区域内，x F 、z F 同号（异号），在0x <区域内， x F 、z F 异号
（同号），若(),,f x y z 是关于x 的奇函数，即()(),,,,f x y z f x y z =--，则积分始终沿着曲面取前侧.
( ()()()()1
2
''12,,,,,,I I I f x y z y z dydz f x y z y z dy dz ∑∑=+=+-，
1I 取前侧，2I 取后侧. 2I =()()2
'',,,f x y z y z dy dz ∑-??=()()2
,,,f x y z y z dyd z ∑??.
所以，()()11
,,,I f x y z y z dydz ∑+∑=??.)
例1 . I=S
yz ??
dzdx ，S 为222
2221x y z a b c
++=,0,0,0a b c >>>的上半表面的上侧.
试确定I 关于y 轴的侧.
解：22z z F a =，22y y
F b =. 0y >时，,z y F F 同号；0y <时，,z y F F 异号. 且被积函
数yz 是关于y 的奇函数，因此，积分I 沿着曲面取右侧.
2. (1) 显然，在曲面∑内，若A C 、始终同号，则积分沿曲面取前侧；若A C 、始终异号，则积分沿曲面取后侧；
(2) 曲面∑满足：在0x >区域内，A C 、同号（异号），在0x <区内，
A C 、异号（同号），若(),,f x y z 是关于x 的奇函数，即()(),,,,f x y z f x y z =--，
则积分始终沿着曲面取前侧.
(
()()()()()()()()1
1
12
,,,,,,,,,,I I I f x u v y u v z u v Adudv f x u v y u v z u v Adudv ∑∑=+=+--
1I 取前侧，2I 取后侧. 2I =()()()()2
,,,,,f x u v y u v z u v Adudv ∑??，所以，
()()()()11
,,,,,I f x u v y u v z u v Adudv ∑+∑=??
.)
例2 . I=S
zdxdy ??，S 是球面：sin cos ,sin sin ,cos x y z ?θ?θ?===
0,02π?πθ??≤≤≤≤ ，且积分沿着球面前侧.试确定积分上下侧.
解：()()
2(,)(,)sin cos ,sin cos ,,D y z D x y A C D D ?θθ?θ=
===，0z >时，0C >；
当0,0z C <<时.且被积函数z 是关于z 的奇函数，因此，积分沿着球面取上侧.
五、结束语
本文对第二类曲面积分侧的确定过程的思路清晰. 先分析了所要解决的问
题，利用基础理论知识给出了较为一般的结论，再由一般情形过渡到曲面即被积函数具有特殊结构的积分，得到更为方便应用的结论.
但是，也有不足. 在分析特殊结构的积分时，仅考虑了两种情形，其它情形的结论还有待于进一步挖掘.
参考文献：
[1]. 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京，高等教育出版社，2006；[2]. 欧阳光中、朱学炎等，数学分析（下册），北京，高等教育出版社，2007.。