【单元练】成都石室联合中学高中物理必修2第七章【万有引力与宇宙航行】经典测试卷(提高培优)

一、选择题
1．下列说法中错误的是（）
A．在同一均匀介质中，红光的传播速度比紫光的传播速度大
B．蜻蜓的翅膀在阳光下呈现彩色是由于薄膜干涉
C．应用多普勒效应可以计算出宇宙中某星球靠近或远离我们的速度
D．狭义相对性原理指出，在不同的参考系中，一切物理规律都是相同的D
解析：D
A．对于同一介质，红光比紫光的折射率小，即
n n
<
红紫
由
c
=
v
n
可知红光的传播速度比紫光的传播速度大，故A正确，不符合题意；
B．蜻蜓的翅膀在阳光下呈现彩色是由于薄膜干涉，故B正确，不符合题意；
C．宇宙中的星球都在不停地运动，测量星球上某些元素发出的光波的频率，然后与地球上这些元素静止时发出的光波的频率对照，就可以算出星球靠近或远离我们的速度，故C正确，不符合题意；
D．狭义相对性原理指出，在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的，故D错误，符合题意。

故选D。

2．如图所示，A为地球表面赤道上的待发射卫星，B为轨道在赤道平面内的实验卫星，C 为在赤道上空的地球同步卫星，已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为2：1，且两卫星的环绕方向相同，下列说法正确的是（）
A．卫星B、C运行速度之比为2：1
B．卫星B的向心力大于卫星A的向心力
C．同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大
D．卫星B的周期为62 D
解析：D
A．根据
2
2
GMm v m r r
= 知
GM
v r
=
所以B 、C 的运行速度之比为2:1，故A 错误；
B ．由于不知两卫星质量关系，所以无法比较两卫星向心力大小，故B 错误；
C ．物体在B 、C 卫星中均处于完全失重状态物体对支持物的压力均为零，故C 错误；
D ．根据
2
22Mm G mr r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭
得
3
2r T GM
π
= 所以B 、C 的运行周期之比为
3B B 3C C 24
T r T r == 又
C 24h T =
所以卫星B 的周期为62h ，故D 正确。

故选D 。

3．如图所示，某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极，已知该卫星从北纬
60︒的正上方按图示方向第一次运行到南纬60︒的正上方时所用时间为1h ，则下列说法正
确的是（ ）
A ．该卫星的运行速度—定大于7.9km /s
B ．该卫星与同步卫星的运行半径之比为1:4
C ．该卫星与同步卫星的运行速度之比为1:2
D ．该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能B 解析：B
A ．7.9km/s 是卫星环绕地球做匀速圆周运动最大的运行速度，所以该卫星的运行速度一定小于7.9km/s ，故A 错误；
B ．该卫星从北纬60︒的正上方，按图示方向第一次运行到南纬60︒的正上方时，偏转的角度是120︒，刚好为运动周期的三分之一，所以该卫星运行的周期为3h ，而地球同步卫星的周期是24h ，该卫星与同步卫星的运行周期之比为1：8，由开普勒第三定律得该卫星与同步卫星的运行半径之比为1：4，故B 正确；
C ．根据
2
2GMm v m r r
= 得
v =
该卫星与同步卫星的运行速度之比为2：1，故C 错误；
D ．由于不知道两卫星的质量关系，所以不能比较机械能的关系，故D 错误。

故选B 。

4．已知一质量为m 的物体分别静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN ，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R 。

则地球的自转周期为（ ）
A ．T
B ．T
C ．T
D ．T 解析：A
在北极，物体所受的万有引力与支持力大小相等，在赤道处，物体所受的万有引力与支持力的差值提供其随地球自转的向心力，由题意可得
2
24N m R T
π=
解得
2mR
T N
= 故选A 。

5．下列叙述正确的是（ ）
A ．牛顿提出了万有引力定律，并用实验测量了万有引力常量
B ．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫建立物理模型法
C ．伽利略提出行星运动三定律
D ．伽利略在研究力和运动的关系时，得出了力不是维持物体运动的原因，采用了控制变量的方法B 解析：B
A ．牛顿提出了万有引力定律，卡文迪许用实验测量了万有引力常量，故A 错误；
B ．在不需要考虑物体本身的大小和形状时，用质点来代替物体的方法叫建立物理模型法，故B 正确；
C ．开普勒提出行星运动三定律，故C 错误；
D ．伽利略在研究力和运动的关系时，得出了力不是维持物体运动的原因，采用的是理想斜面实验法，故D 错误。

故选B 。

6．电影《流浪地球》深受观众喜爱，地球最后找到了新的家园，是一颗质量比太阳大一倍的恒星。

假设地球绕该恒星做匀速圆周运动，地球中心到这颗恒星中心的距离是地球中心到太阳中心的距离的2倍，则现在地球绕新的恒星与原来绕太阳运动相比，说法正确的是（ ）
A ．线速度大小是原来的2倍
B ．角速度大小是原来的2倍
C ．周期是原来的2倍
D ．向心加速度大小是原来的2倍C
解析：C
A ．根据万有引力充当向心力
G 2Mm r =m 2v r
线速度
v 由题知，新恒星的质量M 是太阳的2倍，地球到这颗恒星中心的距离r 是地球到太阳中心的距离的2倍，则地球绕新恒星的线速度不变，故A 错误； B ．根据
v r
ω=
可知，线速度不变，半径r 变为原来的2倍，角速度大小是原来的1
2
倍，选项B 错误； C ．由周期
T =
2r
v
π 可知，线速度v 不变，半径r 变为原来的2倍，则周期变为原来的2倍，故C 正确； D ．由向心加速度
a =2v r
可知，线速度v 不变，半径r 变为原来的2倍，则向心加速度变为原来的1
2
，故D 错误。

故选C 。

7．2019年12月16日，我国的西昌卫星发射中心又一次完美发射两颗北斗卫星，标志着“北斗三号”全球系统核心星座部署完成。

若北斗卫星A 与B 运行时都绕地心做匀速圆周运
动，轨道半径之比为2：3，且两者动能相等，则下列说法正确的是（ ） A ．A 、B 两颗卫星的运行速度都大于7.9km/s B ．A 、B 卫星所受到的万有引力大小之比是3：2 C ．A 、B 两颗卫星环绕地球的周期之比是2：3 D ．A 、B 两颗卫星的运行速度大小之比是2：3B 解析：B
卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力，则
22
2
24πGMm v m m r r r T
== 解得
v =
2T =A ．7.9km/s 是第一宇宙速度，即为近地卫星的运行速度，A 、B 两颗卫星的轨道半径均大于地球的半径，则两颗卫星的运行速度均小于7.9km/s ，故A 错误； B ．卫星的动能2
k 12
E mv =
卫星所受到的万有引力大小为 2k
2E v F m r r
==
两卫星的动能相等，轨道半径之比为2：3，则A 、B 两颗卫星的万有引力之比为3：2，故B 正确；
C ．A 、B 两颗卫星轨道半径之比为2：3，根据周期公式2T =可知，两颗卫星环
绕地球的周期之比是C 错误；
D ．A 、B 两颗卫星轨道半径之比为2：3，根据v =得A 、B 两颗卫星的运行速度大
D 错误。

故选B 。

8．2019年诺贝尔物理奖获奖者——瑞士日内瓦大学教授米歇尔·马约尔和迪迪埃·奎洛兹在1995年发现了一颗距离我们50光年的行星，该行星围绕它的恒星运动。

这颗行星离它的恒星非常近，只有太阳到地球距离的1
20
，公转周期只有4天。

由此可知，该恒星的质量约为太阳质量的（ ） A ．20倍 B ．14倍
C ．16倍
D ．1倍D
解析：D
ABCD ．对于地日系统，有
2224=M m G m R R T
π日地地
对于该恒星和行星，有
2224=M m G m R R T π'''
恒行行
将1
20
R R '=
及365T =天 、4T '=天分别代入上面两式，解得 M M ≈日恒
D 正确，ABC 错误。

故选D 。

9．如图，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ。

则（ ）
A ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2km/s
B ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9km/s
C ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度
D ．卫星在Q 点通过减速实现由轨道Ⅰ进入轨道ⅡC 解析：C
A ．如果该卫星的发射速度大于第二宇宙速度就离开地球绕太阳运动了，A 错误；
B ．7.9km/s 是近地卫星的速度，卫星在圆轨道运动时越高越慢，卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于第一宇宙速度7.9km/s ；
C ．由开开普勒第二定律，近地点最快，远地点最慢，卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度，C 正确；
D ．卫星在Q 点通过加速做离心运动，实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，D 错误。

故选C 。

10．2020年7月23日，天问一号发射升空，如图所示，计划飞行约7个月抵达火星，并通过2至3个月的环绕飞行后着陆火星表面，开展探测任务。

已知火星与地球的质量之比约为1：10，火星与地球的半径之比约为1：2，则探测器分别围绕火星做圆周运动一周的最短时间和围绕地球做圆周运动一圈的最短时间之比约为（ ）
A ．
52
B 5
C 5
D ．25解析：B
近中心天体旋转的卫星周期最小，对于近中心天体旋转的卫星，根据万有引力提供向心力可得
2
2
24πGMm m R R T
=⋅ 解得
3
=2R T GM
则探测器分别围绕火星做圆周运动一周的最短时间和围绕地球做圆周运动一周的最短时间之比为
335
2
T R M T R M ⨯
火火地地
地
火 故选B 。

二、填空题
11．2020年，我国将首次发射火星探测器并在火星着陆，这将是我国航天事业的又一大突破。

已知地球与火星的质量之比约为10:1，半径之比约为2:1，设甲乙两卫星分别在地球和火星表面做匀速圆周运动，则地球与火星的第一宇宙之比为_______；地球与火星表面的自由落体加速度之比为______；甲乙两卫星的向心加速度之比为___________。

5:25:2 5 5:2 5:2 [1]．根据
22Mm v G m R R
= 可得
GM
v R
=
则地球与火星的第一宇宙之比为
1015=121
R v M v M R ⋅=⨯=火地地地火火 [2]．根据
2
Mm
G
mg R = 可得
2
GM
g R =
则地球与火星表面的重力加速度之比
2221015=()122
R g M g M R ⋅=⨯=火地地地火火 [3]．根据
2
Mm
G
ma mg R == 即
a=g
则甲乙两卫星的向心加速度之比为5:2.
12．据每日邮报2014年4月18日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发现“类地”行星。

假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，在该行星“北极”距地面h 处由静止释放一个小球（引力视为恒力），经时间t 落到地面。

已知该行星半径为R ，自转周期为T ，万有引力常量为G ，求： (1)该行星的平均密度ρ；
(2)如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面的高度h 为多少。

(1)；(2)
解析：(1)232h Gt R ρπ=；
R (1)设行星表面的重力加速度为g ，对小球，有
2
12
h gt =
解得
22h g t
=
对行星表面的物体m ，有
2
Mm
G
mg R = 故行星质量
2
2
2hR M Gt
= 故行星的密度
233423
h Gt R R M ρππ=
=
(2)同步卫星的周期与星球自转周期相同，为T ，由牛顿第二定律，有
2
2
24()()Mm G m R h R h T
π=++ 得同步卫星距行星表面高度
h R = 13．一行星绕恒星做圆周运动。

由天文观测可得，其运行周期为T ，速度为v ，引力常量为G ，则行星运动的加速度为_________，恒星的质量为___________。

解析：2v T π 32v T
G
π (1)行星运动的加速度为
2v
a r T
πω==
(2)根据
22Mm v G m r r
= 恒星的质量
232v r v T
M G G
π==
14．有A 、B 两颗人造地球卫星，已知它们的质量关系为m A =3m B ，绕地球做匀速圆周运动的轨道半径关系为B
A 2
r r =，则它们运行的速度大小之比为_______，运行周期之比为_________。

∶11∶【解析】【分析】考查万有引力与航天
∶1 1∶ 【解析】 【分析】
考查万有引力与航天。

[1][2]．卫星绕地球做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力：
2
2
GMm mv r r
=
解得v =
AB 运行的速度大小之比为：
=； 由开普勒行星运动定律之周期定律得：
33A B
2
2A B
r r T T = 故运行周期之比为：
3
2
A A
B B 1:T r T r ⎛⎫
== ⎪⎝⎭。

15．有三个物体、、A B C ，物体A 在赤道上随地球一起自转，物体A 的向心力加速度为
1a ，物体B 在地球大气层外贴着地球表面飞（轨道半径近似等于地球半径），物体B 的加
速度为2a ；物体C 在离地心距离为N 倍的地球半径的圆轨道上绕地球做匀速圆周运动，且物体C 的公转周期与地球的自转周期相同，物体C 的加速度为3a ，则：
123a a a ：：=_____。

解析：31::N N
[1]设地球自转的周期为T ，地球半径为R ，物体A 在赤道上随地球一起自转，则有：
2
124a R T
π=
物体B 在地球大气层外贴着地球表面飞，根据万有引和提供向心力，则有：
22
B
B Mm G
m a R = 解得：22GM a R
=
由题意知，物体C 与地球同步，则有：
2
324a NR T
π=
根据万有引和提供向心力，则有：
()
32
C
C Mm G
m a NR =
解得：()
32
GM
a NR =
则有：
131a a N
= 22
3
a N a = 联立解得：
12331::N a a a N =：：
16．月球质量是地球质量的
181，月球半径是地球半径的13.8
，人造地球卫星的第一宇宙速度为7.9km/s 。

“嫦娥”月球探测器进入月球的近月轨道绕月飞行，在月球表面附近运行时的速度大小为___________km/s ；若在月球上，距月球表面56m 高处，有一个质量为20kg 的物体自由下落，它落到月球表面的时间为___________s 779 解析：7 7.9
[1]根据2
2Mm v G m R R
＝知第一宇宙速度为：
v =
则探测器在月球表面附近运行的速度与第一宇宙速度之比为：
则在月球表面附近运行时的速度大小为：
7.9 1.71km/s v =≈ [2]不考虑自转时，万有引力近似等于重力，则在天体表面有：
2
Mm
G
mg R ＝ 得：
2
GM
g R =
得月球与地面表面重力加速度之比为：
221 6
g M R g M R =⋅=月月地月地地 得：
16g g =
月地
物体落到月球表面的时间为：
7.9s t =
==≈ 17．若地球半径减小1%，而其质量不变，则地球表面重力加速度g 的变化情况是_______（填“增大”、“减小”、“不变”），增减的百分比为____________%。

（取一位有效数字）增
加2％
解析：增加 2％ 在地球表面有
2
Mm
G
mg R =， 解得
2GM
g R
=
， 若地球半径减小1%，而其质量不变，则g 增大， 地球表面的重力加速度增加量为
()
()
2
22211
[]0.990.99GM
GM g GM R R R R ∆=
-
=-， 解得：
2
0.02
GM
g R ∆=， 即增加了2％。

18．宇航员站在某星球表面上用弹簧秤称量一个质量为m 的砝码，示数为F ，已知该星球半径为R ，则这个星球表面的人造卫星的运行线速度v 为_______________．
星球表面的重力加速度F g m
=
; 星球表面的人造卫星由万有引力提供向心力，2
v mg m R
=
联立解得：v =【点睛】
解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一理论，并能灵活运用．
19．两个行星的质量分别为m 1、m 2，它们绕太阳运动的轨道半径分别为R 1、R 2.如果m 1＝2m 2，R 1＝4R 2，那么，它们运行的周期之比T 1∶T 2＝________.8：1 解析：8：1
行星绕太阳做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力
2
2
24GMm
m R R
T
， 解得：2T
=
128
1
T T =
==. 【点睛】
本题可以根据开普勒第三定律，运用比例法求解两行星运行的周期之比．或者根据万有引力和圆周运动知识理解．
20．假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T 1，已知引力常量为G ，则该天体的密度为________．若这颗卫星距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，则该天体的密度又可表示为
________．
解析：213GT π 2
23
23()R h GT R
π+ ［１］.根据万有引力提供向心力
2
224GMm m R R T
π= 得天体的质量
232
14R M GT π=
则天体的密度
2
13M V GT πρ=
= ［２］.若这颗卫星距该天体的表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T 2，根据
2
2
24()()GMm m R h R h T
π=++ 天体的质量
()3
22
24R h M GT π+=
．
则天体的密度
ρ′=
()2
2
32
3R h GT R
π+．
【点睛】
解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一理论列出表达式，结合轨道半径和周期求解
中心天体的质量．
三、解答题
21．2020年6月23日9时43分，在西昌卫星发射中心，用长征三号乙火箭将北斗三号第55颗全球组网卫星顺利送入如图所示预定的地球同步轨道，发射任务取得圆满成功，标志着北斗全球卫星导航系统星座部署完成。

若地球半径为R ，自转周期为T ，同步轨道离地面的高度为h ，引力常量为G 。

试求：
(1)第55颗北斗导航卫星在轨运行的向心加速度的大小； (2)地球的密度。

解析：(1)224()R h T π+；(2)3
23R h GT R π+⎛⎫
⎪⎝⎭
(1)该卫星做匀速圆周运动，环绕角速度
2T
π
ω=
向心加速度
2
2
24()()a R h R h T
πω=+=+
(2)根据
2
2
24()()Mm G m R h R h T
π=++ 可得
232
4()M R h GT
π=+ 地球密度
3
23343
M
R h GT R R
πρπ+⎛⎫
== ⎪⎝⎭ 22．某人造地球卫星沿圆轨道运行，运行高度为400km ，周期是35.610s ⨯，（已知地球半径为6400km ，万有引力常量11
226.6710N m /kg G -=⨯⋅）求：
（1）该人造卫星的线速度； （2）估算地球的质量。

解析：（1）7625m/s ；（2）24
610kg ⨯ （1）经分析可知
2R
v T π=
R =R 地+h
解得该卫星的线速度
v =7625m/s
（2）由
2
Mm G
R =2
2()m R T π R =R 地+h
解得地球质量
M =24610kg ⨯
23．宇宙中有一种双子星，质量分别是m 1和m 2的两个星球，绕着同一圆心做匀速圆周运
动，他们之间的距离恒为L ，不考虑其他星体的影响，这两颗星的轨道半径各是多少？
解析：2112m R L m m =
+ ，1
212
m R L m m =+
由于万有引力提供向心力，对m 1有
2
12112
m m G
m R L
ω= 对m 2有
212
222
m m G
m R L
ω= 由几何关系有
12R R L +=
联立解得
2112m R L m m =
+ ，1
212
m R L m m =+
24．木星的卫星之一叫“艾奥”，它上面的珈火山喷出的岩块初速度为18m/s 时，上升高度可达90m 。

已知“艾奥”的半径为R =1800km 。

忽略“艾奥”的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，引力常量G =6.67×10-11N·m 2/kg 2，求： (1)“艾奥”的质量； (2)“艾奥”的第一宇宙速度。

解析：(1)8.7×1022kg ；(2)1800m/s (1)根据v 2=2gh 可得
222218m/s 1.8m/s 2290
v g h ===⨯
根据
2Mm
G
mg R
= 可得
3221
212
6.1.8(180010)kg 8.71670
0kg 1gR M G -⨯⨯⨯==≈⨯ (2)根据
2
=v mg m R
可得
31.8180010m/s 1800m/s v gR ==⨯⨯=
25．宇航员在地球表面做如下实验：如图所示，将一个物体在斜面顶端以初速度v 0水平抛出，物体恰好击中斜面的底端，已知斜面倾角为θ，地球表面重力加速度为g 。

假设宇航员携带该斜面到某星球表面，已知该星球质量和半径均是地球的2倍。

宇航员仍然在斜面顶端以某一初速度水平抛出物体，物体恰好也到达斜面底端。

求： （1）在地球表面抛出时，小球从斜面顶端运动到底端时间； （2）在该星球抛出的初速度。

解析：（1）02tan v g θ；（2）
2
2
v 0 （1）设运动时间为t ，则有
tan θ=2
012gt
v t
解得
t =02tan v g
θ
（2）设该星球表面重力加速度为g ´，则有
mg ´=G 2M m
R
''
在地球表面，有
mg =G
2Mm
R 由题意代入数据可得
g ´=
2
g 设初速度为v ´，由（1），在该星球上，物体运动到斜面底端时间为
t ´=2tan v g θ
''
依题意，有
v ´t ´=v 0t
联立解得
v ´=
2
2
v 0 26．如图所示，宇航员站在某一质量分布均匀的星球表面上从P 点沿水平方向以初速度0
v
抛出一个小球，小球经时间t 垂直落在一斜坡点Q 上，斜面的倾角为θ，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求： (1)该星球表面的重力加速度g ； (2)该星球的第一宇宙速度v ；
(3)人造卫星在该星球表面做匀速圆周运动的最小周期T 。

解析：(1)0tan g t v θ=
⋅；(2)0tan v R
v t θ=⋅(3)0
tan 2πtR T v θ⋅=(1)小球做平抛运动垂直落在斜坡上，将其速度分解得
00
tan y v v v gt
θ=
= 得
tan g t v θ
=
⋅
(3)该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供
2
2
GMm v m R R
= 该星球表面物体所受重力等于万有引力
2
GMm
mg R = 得
0tan v R
v gR t θ
==
⋅
(3)人造卫星的向心力由万有引力提供
2
2
24πGMm m r r T
= 得
2323
2
4π4πr r T GM gR ==
当r R =时，T 最小
20
4πtan 2πR tR T g v θ
⋅==27．一宇航员为了估测某一星球表面的重力加速度和该星球的质量，在该星球的表面做自
由落体实验：让小球在离地面h 高处自由下落，他测出经时间t 小球落地，又已知该星球的半径为R ，忽略一切阻力，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的质量。

解析：(1)22h t ；(2)2
2
2hR Gt
(1)根据
2
12
h gt =
可得该星球表面的重力加速度
2
2h g t =
(2)在星球表面，万有引力等于重力，则
2
Mm
G
mg R = 解得
22
2
2==gR hR M G Gt
28．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步。

已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似圆周，距月球表面的高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，万有引力常量为G ，试求： (1)月球的密度；
(2)月球表面处的重力加速度。

解析：(1)3233π()R H GT R ρ+=；(2)()3
2224πR H R T
+ (1)设“嫦娥一号”的质量是m 1，由万有引力提供向心力得
()
()2
1
12
2πMm G
m R H T R H ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
+
又因为
M V ρ=
，3
4π3
V R = 联立以上各式解得
3
23
3π()R H GT R ρ+=
(2)设月球表面的重力加速度为g ，月球表面的重力与万有引力相等，则
2
Mm
G
mg R = 解得
()3
222
4πR H g R T
+=。