(必考题)初中数学八年级数学下册第五单元《分式与分式方程》测试题(有答案解析)(2)

一、选择题
1．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y
----的值（ ） A ．4 B ．9 C ．－4 D ．－8
2．已知关于x 的分式方程
131k x x =+无解，则k 的值为（ ） A ．0
B ．0或-1
C ．-1
D ．0或13 3．使分式
21x x -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1
B ．x ≠0
C ．x ≠±1
D ．x 为任意实数
4．关于x 的一元一次不等式组31,224x m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程
13122my y y y
--+=--有整数解，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．9
B ．10
C ．13
D ．14 5．关于分式2634m n m n
--，下列说法正确的是（ ） A ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值也扩大2倍
B ．分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值扩大2倍
C ．分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值不变
D ．分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变
6．若整数a 使得关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨
-+>+⎩的解集为2x >，且关于x 的分式方程21111ax x x
+=---的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
7．若关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，且关于x 的不等式组5x x a
≥⎧⎨>⎩的解集是5x ≥，则符合条件的整数a 有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．已知x 为整数，且分式
2221x x --的值为整数，满足条件的整数x 可能是（ ） A ．0、1、2 B ．﹣1、﹣2、﹣3
C ．0、﹣2、﹣3
D ．0、﹣1、﹣2
9．若使分式
2x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠ B ．0x = C ．1x ≠- D ．2x =
10．已知2,1x y xy +==，则
y x x y +的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．2
11．若关于x 的分式方程
222x m x x =---的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ）
A ．1,2,3
B ．1,2
C ．2,3
D ．1,3
12．如果a ，b ，c 是正数，且满足1a b c ++=，
1115a b b c a c ++=+++，那么a b a b b a c
c c +++++的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．12
二、填空题
13．化简：211
x x x x +++＝_____． 14．已知关于x 的分式方程
233x k x x -=--的解是非负数，则k 的取值范围为______．
15．若式子11
x -有意义，则x 的取值范围是______________． 16．计算22
a b a b a b
-=-- _________． 17．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a
a -=；⑤()()321m m m m a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）
18．计算22111m m m
---，的正确结果为_____________． 19．A B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米时，则可列方程为__________．
20．计算：22016011(1)3π-⎛⎫---++= ⎪⎝⎭____；2007200831143⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____．
三、解答题
21．先化简，再求值：
2
344
1
11
a a
a
a a
-+
⎛⎫
-+÷
⎪
++
⎝⎭
，其中a是4的平方根．
22．一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40min到达目的地．（1）求前1小时这辆汽车行驶的速度；
（2）汽车出发时油箱有油7.5升油，到达目的地时还剩4.3升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多0.3升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是以提速后的速度省油？
23．先化简，再求值：
2
11
1
224
x
x x
-
⎛⎫
+÷
⎪
--
⎝⎭
，其中3
x=．
24．解下列方程：
（1）
32
2
x x
=
-
；（2）
2
14
1
11
x
x x
+
-=
--
25．（1）化简：
2
2
121 a a a
a a
--+
÷；
（2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当1
a>时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由．
26．计算：（
29
33
a
a a
+
--
）÷
3
a
a
+
．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
由11
x y
＝3，变形得y-x=3xy，然后整体代入代数式，计算化简，即可得到结论.
【详解】
解：由11
x y
＝3，得
y x
xy
-
=3，即y-x=3xy，x-y=-3xy，
则2142
2
x xy y
x xy y
--
--
=
2()14
2
x y xy
x y xy
--
--
=
614
32
xy xy
xy xy
--
--
=4．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了分式化简求值，利用整体代入法是解决本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出k 的值即可．
【详解】
解：分式方程去分母得：33x kx k =+ ，即 ()313k x k -=- ，
当310k -=，即 13
k =
时，方程无解； 当x=-1时，-3k+1=-3k ，此时k 无解；
当x=0时，0=-3k ，k=0，方程无解； 综上，k 的值为0或
13 ． 故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 3．C
解析：C
【分析】
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得x 的取值范围．
【详解】
由题意，得x 2−1≠0，
解得：x≠±1，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 4．A
解析：A
【分析】
不等式组整理后，根据已知解集确定出m 的范围，分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有整数解确定出整数m 的值，进而求出之和即可．
【详解】 解：31224x m x x x ⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩①②
，
解①得
x≤2m+2，
解②得
x≤4，
∵不等式组31224x m x x x
⎧-≤+⎪⎨⎪-≤⎩的解集为4x ≤，
∴2m+2≥4，
∴m≥1．
13122my y y y
--+=--， 两边都乘以y-2，得
my-1+y-2=3y ， ∴32
y m =-， ∵m≥1，分式方程
13122my y y y --+=--有整数解， ∴m=1，3，5，
∵y-2≠0，
∴y≠2， ∴322
m ≠-， ∴m≠
72， ∴m=1，3，5，符合题意，
1+3+5=9．
故选A ．
【点睛】
此题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 5．D
解析：D
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】
解：A 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m n m n m n m n
⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，故该说法不符合题意；
B 、
22623=23432m n m n m n m n
⨯--⨯--，故分子、分母的中m 扩大2倍，n 不变，分式的值没有扩大2倍，故该说法不符合题意；
C 、
226212=32438m n m n m n m n
-⨯--⨯-，故分子、分母的中n 扩大2倍，m 不变，分式的值发生变化，故该说法不符合题意； D 、22262(26)26=23242(34)34m n m n m n m n m n m n
⨯-⨯⨯--=⨯-⨯⨯--，故分子、分母中的m 、n 均扩大2倍，分式的值不变，此说法正确，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 6．D
解析：D
【分析】
先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集为2x >，得出a 的范围，根据分式方程的解为整数即得到a 的值，结合a 的范围即可求得符合条件的所有整数a 的和．
【详解】
解：关于x 的不等式组3(1)32(1)x a x x >⎧⎨-+>+⎩①②
解不等式①得，x a >；
解不等式②得，2x >；
∵不等式组的解集为2x >，
∴a≤2， 解方程
21111ax x x
+=---得：21x a =- ∵分式方程的解为整数，
∴11a -=±或2±
∴a=0、2、-1、3
又x≠1， ∴211a
≠-，∴a≠-1， ∴a≤2且a≠-1，
则a=0、2，
∴符合条件的所有整数a 的和=0+2=2，
故选：D ．
【点睛】 本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，根据分式方程的解为整数结合不等式组有解，找出a 的值是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
解分式方程的得出x=2a-2，根据解为非负数得出2a-2≥0，且2a-2≠2，据此求出解得a≥1且a≠2；解不等式组两个不等式，根据解集得出a ＜5；综合以上两点得出整数a 的值，从而得出答案．
【详解】 解：分式方程122
x a x -=-， 去分母，得：2（x-a ）=x-2，
解得：x=2a-2，
∵分式方程的解为非负数，
∴2a-2≥0，且2a-2≠2，
解得a≥1且a≠2，
∵不等式组5x x a ≥⎧⎨>⎩
的解集是x≥5， ∴1≤a ＜5，且a≠2，
则整数a 的值为1、3、4共3个，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出a 的取值范围．
8．C
解析：C
【分析】
根据分式有意义的条件得到x ≠±1，把分式化简，根据题意解答即可．
【详解】
解：由题意得，x 2﹣1≠0，
解得，x ≠±1，
2221x x --＝2(1)(1)(1)x x x -+-＝21
x +， 当
21
x +为整数时，x ＝﹣3、﹣2、0、1， ∵x ≠1， ∴满足条件的整数x 可能是0、﹣2、﹣3，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是求分式的值、分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 9．A
解析：A
【分析】
根据分式有意义分母不为零即可得答案．
【详解】
∵分式
2
x x -有意义， ∴x-2≠0，
解得：x≠2．
故选：A ．
【点睛】 本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．
10．D
解析：D
【分析】 将y x x y
+进行通分化简，整理出含已知条件形式的分式，即可得出答案． 【详解】 解：2222()2221=21
y x y x x y xy x y xy xy ++--⨯+=== 故选D ．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案.
【详解】
等式的两边都乘以(x - 2)，得
x = 2(x-2)+ m ，
解得x=4-m ，且x≠2，
由关于x 的分式方程的解为正数，
∴4-m ＞0，4-m≠2
∴m<4且m≠2
则满足条件的正整数 m 的值为m=1，m=3，
故选: D.
【点睛】
本题考查了分式方程的解，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，注意要检验分式方程的根.
12．C
解析：C
【分析】
先根据题意得出a=1-b-c ，b=1-a-c ，c=1-a-b ，再代入原式进行计算即可．
【详解】
解：∵a ，b ，c 是正数，且满足a+b+c=1，
∴a=1-b-c ，b=1-a-c ，c=1-a-b ， ∴
a b a b b a c c c +++++ =
111a c a b b c a c a b b c ----++--+++ =1113a b b c a c
++-+++ =53-
=2
故选：C
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
二、填空题
13．x 【分析】按照分式加减法则计算即可【详解】解：＝＝＝x 故答案为：x
【点睛】本题考查了分式的加减解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算注意：最终结果要化为最简分式
解析：x ．
【分析】
按照分式加减法则计算即可．
【详解】 解：211
x x x x +++ ＝21
x x x ++ ＝
(1)1
x x x ++ ＝x ． 故答案为：x ．
【点睛】
本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行计算，注意：最终结果要化为最简分式．
14．且【分析】先解分式方程可得检验可得再由关于的分式方程的解是非负数列不等式解不等式从而可得答案【详解】解：去分母得：检验：关于的分式方程的解是非负数综上：且【点睛】本题考查的是分式方程的解与解分式方程
解析：6k ≤且 3.k ≠
【分析】
先解分式方程可得6,x k =-检验可得3,k ≠再由关于x 的分式方程
233x k x x -=--的解是非负数，列不等式，解不等式，从而可得答案．
【详解】 解：233
x k x x -=-- 去分母得：()23,x x k --=
26,x x k ∴-+=
6,x k ∴=-
检验：30,x -≠
630,k ∴--≠
3,k ∴≠
关于x 的分式方程233
x k x x -=--的解是非负数， 60,k ∴-≥
6,k ∴≤
综上：6k ≤且 3.k ≠
【点睛】
本题考查的是分式方程的解与解分式方程，解一元一次不等式，掌握解分式方程一定要检验是解题的关键．
15．且【分析】根据分式有意义可得根据二次根式有意义的条件可得再解即可
【详解】由题意得：且解得：且故答案为：且【点睛】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零 解析：0x ≥且1x ≠
【分析】
根据分式有意义可得10x -≠，根据二次根式有意义的条件可得0x ≥，再解即可．
【详解】
由题意得：10x -≠，且0x ≥，
解得：0x ≥且1x ≠，
故答案为：0x ≥且1x ≠．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．
16．【分析】根据分式运算的性质结合平方差公式计算即可得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了分式平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌
握分式加减运算平方差公式的性质从而完成求解
解析：+a b
【分析】
根据分式运算的性质，结合平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
22
a b a b a b ---()()22a b a b a b a b a b a b
+--===+-- 故答案为：+a b ．
【点睛】
本题考查了分式、平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算、平方差公式的性质，从而完成求解．
17．②⑤【分析】根据负整数指数幂零指数幂同底数幂的除法法则进行计算逐个判断即可【详解】解：；故①计算错误；；②计算正确；；故③计算错误；；故④计算错误故⑤计算正确故答案为：②⑤【点睛】本题考查同底数幂的
解析：②⑤．
【分析】
根据负整数指数幂、零指数幂、同底数幂的除法法则进行计算，逐个判断即可．
【详解】 解：3110=0.0011000-=
；故①计算错误； ()
00.00011=；②计算正确； ()()
22352()1x x x x x --=-÷=-=-；故③计算错误； 2233a a
-=；故④计算错误 ()()333221(1)=(1)m
m m m m m m m a a a a a a -÷=-⨯÷=--，故⑤计算正确 故答案为：②⑤．
【点睛】
本题考查同底数幂的除法，积的乘方以及零指数幂，负整数指数幂的计算，掌握运算法则正确计算是解题关键．
18．【分析】根据分式的加减法运算法则平方差公式因式分解计算即可解答
【详解】解：===故答案为：【点睛】本题考查分式的加减运算平方差公式因式分解熟记公式掌握分式的加减运算法则是解答的关键 解析：11
m -
【分析】
根据分式的加减法运算法则、平方差公式因式分解计算即可解答．
【详解】 解：
22111m m m --- =
22111m m m +-- =1(1)(1)
m m m ++- =11
m -， 故答案为：
11m -． 【点睛】
本题考查分式的加减运算、平方差公式因式分解，熟记公式，掌握分式的加减运算法则是解答的关键．
19．【分析】设该轮船在静水中的速度为x 千米/时则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地已知水流速度为4千米/时所花时间为；从B 地逆流返回A 地水流速度为4千米/时所花时间为根据题意列方程即可【详解】解：设该轮船在静 解析：3636944
x x +=+- 【分析】
设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，已知水流速度为4千米/时，所花时间为
364x +；从B 地逆流返回A 地，水流速度为4千米/时，所花时间为364x -根据题意列方程3636944
x x +=+-即可． 【详解】
解：设该轮船在静水中的速度为x 千米时，根据题意列方程得：
3636944x x +=+- 【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，关键是正确列出分式方程，找出题干中等量关系式即可． 20．【分析】根据负指数幂以及零指数幂即可得出第一个算式的值利用积的乘方的逆运算即可得出第二个算式的值【详解】解：故答案为：；【点睛】本题主要考查的是负指数幂零指数幂以及积的乘方的逆运算掌握的这三个知识点 解析：9-
43
【分析】
根据负指数幂以及零指数幂即可得出第一个算式的值，利用积的乘方的逆运算即可得出第二个算式的值．
【详解】 解：22016011(1)3π-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭
191=--+
9=-，
2007200831143⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2007344=433⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2007200731111433⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝⨯⎭⎭
()20074=13⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭
413⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭
43
= 故答案为：9-；
43． 【点睛】
本题主要考查的是负指数幂、零指数幂以及积的乘方的逆运算，掌握的这三个知识点是解题的关键．
三、解答题
21．22
a a +-
-，0 【分析】 先根据分式的运算法则和顺序化简，再求出a 值代入即可．
【详解】
原式()23111
12-+⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭-a a a a ()22
31112-++=⋅+-a a a a ()()()2221212
2+-++=-⋅=-+--a a a a a a a ∵a 是4的平方根， ∴
2a ==±
当2a =时，分式无意义，
当2a =-时，原式2220222+-+=-
=-=---a a ． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题关键是熟练的运用分式运算法则进行化简，准确代入求值，注意：代入的值要使原分式有意义．
22．（1）60km/h ；（2）以提速后的速度行驶更省油
【分析】
（1）设前1小时行驶的速度为xkm/h ，则1小时后行驶的速度为1.5xkm/h ，根据时间=路程÷速度结合提速后比原计划提前
23
h （40min ）到达目的地，解之经检验后即可得出结论；
（2）设以原来速度行驶每小时耗油y 升，则提速后每小时耗油（y+0.3）升，根据总油耗=每小时油耗×运动时间，即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可求出y 值，再分别求出返程时按两种速度所需总油耗，比较后即可得出结论．
【详解】
解：（1）设前1小时行驶的速度为/xkm h ，则1小时后行驶的速度为1.5xkm/h ， 依题意，得：
18018021.53
x x x x ---=， 解得：60x =， 经检验，60x =是原方程的解，且符合题意．
答：前1小时行驶的速度为60km/h ．
（2）设以原来速度行驶每小时耗油y 升，则提速后每小时耗油()0.3y +升， 依题意，得：18060(0.3)7.5 4.3,1.560y y -+
⋅+=-⨯ 解得： 1.2y =，
∴回来时若以原速度行驶总耗油180 1.2 3.660
=⨯=（升），
若以提速后的速度行驶总耗油180(1.20.3)31.560
=
⨯+=⨯（升）． ∵3.63>， ∴以提速后的速度行驶更省油．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．
21x +，12
． 【分析】 先把括号里的式子通分进行减法计算，再把除法转化成乘法进行计算，最后把x 的值代入计算即可．
【详解】 解：原式()()()22221241222111
1x x x x x x x x x x --+--=⋅=⋅=---++-， 当3x =时，原式2112
x =
=+． 【点睛】 本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行计算．
24．（1）4x =-；（2）无解．
【分析】
（1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解． （2）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，检验即可得到分式方程的解．
【详解】
（1）解：方程两边同乘()2x x -得：
()322x x =-，
解得4x =-，
检验：当4x =-时，()()24420x x -=-⨯--≠，∴4x =-是原方程的解．
（2）解：去分母得：()()()()11411x x x x ++-=+-
去括号得：222141x x x ++-=-
移项、合并同类项得：22x =
解得：1x =
当1x =时，()()110x x +-=，∴原方程无解．
【点睛】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
25．（1）
1
a a -；（2）B 的值与A 的值相比变小了，理由见解析 【分析】
（1）把除变乘，同时将除式的分子分母因式分解，约分即可；
（2）由1a A a =-先求出1a B a
+=，作差1(1)B A a a -=--，然后判断1(1)a a --符号即可．
【详解】
解：（1）原式2
21(1)
a a a a -=⋅-． 1
a a =-； （2）B 的值与A 的值相比变小了．理由如下：
1,1a a A B a a
+==-． ∴21(1)(1)11(1)(1)
a a a a a B A a a a a a a ++---=-==----． ∵1a >，
∴10a ->，
∴
()11a a >0-， ∴0B A -<．
∴B A <．
∴B 的值与A 的值相比是变小了．
【点睛】
本题考查分式的除法，比较分式的大小，掌握分式的除法法则，和比较分式的大小的方法是解题关键．
26．a
【分析】 首先提出负号使括号内变为2933a a a ⎛⎫- ⎪--⎝⎭
，然后根据平方差公式、除法法则进行化简即可．
【详解】 原式229393(3)3333a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫+-+=-÷=÷=+⋅= ⎪---+⎝⎭
【点睛】
本题考查了平方差公式、分式的化简，重点是掌握乘法公式在分式化简中的计算方法．。