高中数学竞赛培训资料 函数
高中数学竞赛专题精讲28高斯函数(含答案)
28高斯函数数论函数，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一.定义一：对任意实数是不超过的最大整数，称为的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数由、的定义不难得到如下性质：（1）的定义域为R ，值域为Z ；的定义域为R ，值域为 （2）对任意实数，都有. （3）对任意实数，都有.（4）是不减函数，即若则，其图像如图I －4－5－1；是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2（5）.其中. （6）；特别地，（7），其中；一般有；特别地，.][x y =][,x x x ][x x ].[}{},{x x x x y -==][x }{x ][x y =}{x y =)1,0[x 1}{0},{][<≤+=x x x x 且x x x x x x x ≤<-+<≤][1,1][][][x y =21x x ≤][][21x x ≤}{x y =}{}{];[][x n x x n n x =++=+*∈∈N n R x ,∑∑==∈≥+≥++≥+ni iin i iR xx x y x y x x y x y x 11],[][};{}{}{{];[][][].[][ba nb na ≥][][][y x xy ⋅≥+∈R y x ,∑∏=+=∈≥ni iin i iR xx x 11],[][*∈+∈≤N n R x x x n n ,],[][（8），其中. 例题讲解1．求证：其中k 为某一自然数.2．对任意的3．计算和式4．设M 为一正整数，问方程，在[1，M]中有多少个解？5．求方程]][[][nx n x =*∈+∈N n R x ,,2!211--=⇔k n n n ∑∞=+*+=∈01].22[,K k kn S N n 计算和.]503305[502的值∑==n nS 222}{][x x x =-.051][4042的实数解=+-x x6．7．对自然数n 及一切自然数x ，求证：.8．求出的个位数字.][3]3[2]2[1][][:,,nnx x x x nx N n R x ++++≥∈+∈*证明].[]1[]2[]1[][nx nn x n x n x x =-+++++++ ]31010[10020000+例题答案：1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为若故反之，若n 不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2s p ，其中p >1为奇数，这时总可以找出整数t ，使由于n !.这与已知矛盾，故必要性得证. 2．解：因对一切k =0,1,…成立，因此， 又因为n 为固定数，当k 适当大时,3．解：显然有：若503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502, 都不会是整数，但+可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[]+故4．解：显然x =M 是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.∑∞==1].2[)!(2t t n n ∑∑∞=-=--------=-=++++====1111221111122221]2[]2[)!(2,2t k t k k t k t k k n n n 则!.|21n n -+++=<<--+ ]2[]2[)!(22!,222211p p n n p s s t s t 的方次数为中所含于是≤++- 0]2[p t s ].2[]22[])12(2[])222[(21p n p p p p t s t s s t t s t s s s -------+=-=-=+++ 12,2)!(22!,2]2[,221----≤-=-<<n t s ts n n n p 则的方次数中含故则]212[]22[11+=+++k k n n ].2[]22[]212[111+++-⋅=+k k k nn n .)]2[]2([,0]2[,1201n nn S n n K k k k k ==-==<∑∞=+ 故从而.,,1][][][,1}{}{R y x y x y x y x ∈++=+=+则503305n 503305n ,305503)503(305=-n 503305n .304]503)503(305[=-n ∑∑===⨯=-+==25115021.76304251304]),503)503(305[]503305([]503305[n n n n n S设x 是方程的解.将代入原方程，化简得所以上式成立的充要条件是2[x ]{x }为一个整数.5．解：经检验知，这四个值都是原方程的解.6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下. 【证明】 由于222}{}{}{2][x x x x x +⋅+==}]{[2x x ,1}{0].}{}]{[2[2<≤+x x x x 由于.1)1(],1[,.)1())1(21(2),1[,11.2)1,[),12,,1,0(2}{,][个解中有原方程在因此个解中方程有可知在又由于个解中方程有即在则必有设+--⋅=-+++-≤≤+-==∈=M M M M M M M M m m m m m k mkx N m x .0][,1][][不是解又因<+<≤x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥<⎩⎨⎧≤-->--⎪⎩⎪⎨⎧≤+->+-+∴.217][,23][,211][;217][,23][,25][.07][2)(3][2(.0)11][2)(5][2(.051][4][4,051][40)1]([422x x x x x x x x x x x x x x 或.2269,02694;2229,02294;2189,01894;229,0294:,876][2][2222==-==-==-==-==x x x x x x x x x x 分别代入方程得或或或解得.,2,1,][2]2[][ =+++=k kkx x x A k 令.,1],[1命题成立时则==n x A7．解：M ＝|f(x)|max ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ⑴若|－|≥1 (对称轴不在定义域内部) 则M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|} 而f ⑴＝1＋a ＋b f(－1)＝1－a ＋b|f ⑴|＋|f(－1)|≥|f ⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4 则|f ⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2∴ M≥2＞⑵|－|＜1 M ＝max{|f ⑴|，|f(－1)|，|f(－)|} ＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|}＝max{|1＋a ＋b|，|1－a ＋b|，|－＋b|，|－＋b|}≥(|1＋a ＋b|＋|1－a ＋b|＋|－＋b|＋|－＋b|)≥[(1＋a ＋b)＋(1－a ＋b)－(－＋b)－(－＋b)]＝≥综上所述，原命题正确.8．先找出的整数部分与分数部分..,,,],[][][][][][][])[])1([(]))2[(]2([])1[(]([][]2[])2[(])1[(][])1[(]2[][][])1[(]2[][][])1[(]2[][)(:].[],2[22,],)1[()1()1(],[,][,][,].)1[(,],2[],[,1122112111221111121证毕均成立故原不等式对一切命题成立时即故相加得所以成立对一切即因为即有时命题成立设*---------∈=≤∴=+++≤++-++-++-+=+++-+-++-+++≤++++++-+++=+-+++=+++-==--=---=-=-=--≤≤≤-≤N n k n kx A kx k kx kx kx kx kx x x k x k x x k x x x x k x k kx x k x x A A A A kx x k x x kA kx x k x x A A A kA x A x A A x k A k A k kx kA kA k kx kA kA kkx A A x k A x A x A k n k k k k k k k k k k k k k k k 2a 2a212a2a 4a 24a 24a 2414a 24a 2414a 24a 2)2a 2(412+213101010020000+=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3.3101010020000+31033103)10(100200100200200100+++-.3108110310910310310]31010[,131093103.310310,3)10(|310310|3)10(,)3(])10[(3)10(1005020000100100200001002002000100200001001001002001002002000022100100200200002210010021002100200200100+-=+-=+-=+<+=++--+---=-知显然是整数知又知。
高中数学竞赛辅导第四讲常见的初等函数、二次函数
高中数学竞赛辅导第四讲 常见的初等函数、二次函数知识、方法、技能常函数y=c ，幂函数y=x α(α∈Q),指数函数y=a x ,对数函数y=log a x,三角函数（y=sinx, y=cosx , y=tanx 等），反三角函数（y=arcsinx, y=arccosx , y=arctanx 等）是数学中最为基本的函数，我们把它们统称为基本初等函数.学习中应熟练掌握各基本初等函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并能利用这些性质快捷地比较两个数值的大小或解有关不等式.具体解题时，若绘出各基本初等函数的草图，往往能“一目了然”地获得问题的结果.绘制幂函数y=x α(α=,nmm 、n 是互质的整数)草图的一般步骤是： (1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图 I-1-4-1.(2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况①m,n 均为奇数时，y=x α为奇函数，图象在一、三象限内关于原点中心对称. ②m 为偶数，n 为奇数时Y=x α为偶函数，图象在一、二象限内关于y 轴对称. ③m 为奇数，n 为偶数时，y=x α既不是奇函数也不是偶函数，函数只在第一象限有图像.常见的函数往往是由基本初等函数通过有限次加减乘除运算或复合而得到的，我们称之为初等函数.其中二次函数和形如y=x+xk的分式函数在高考和竞赛中具有尤为重要的地位.同学们要熟练掌握求二次函数解析式、值域的有关方法，并会用这些方法解决相关的问题；会判断二次方程根的分布情况；会利用函数y=x+xk的性质求出一些分式函数的值域.赛题精讲例1 3个幂函数y=4321,x y x =和y=65x 的图象如图I —1—4—2：试写出各个函数的图象的对应编号. 【思路分析】3个函数的定义域、值域、单调性都相同，具有类似的草图，仅从草图已无法区分这三者了.只能更为“精细”地考察和函数值的大小，不妨取x=2试一试.【略解】当x=2时，3个函数值分别为6543212,2,2.因为 y=t2为增函数，而图中所以.222,654321654321<<<<,x=2时，图象①的对应点纵坐标最大，图象③的对应点纵坐标最小，所以y=654321,x y x y x ==和对应的图象依次为③，②，①.【评述】一般地，当α越大大时，幂函数图像在x>1对应的部分越“高”.此外，本题方法也可应用于辨别两个草图相近的指数函数或对函数的图象.例2 比较下列各题中两个值的大小：（1）5353)3()2(----与；（2）;)()14.3(3232π--与 （3）5432)()(ππ--与（4）log 23与log 23.1.【思路分析】（1）中两数有相同的指数－53，故可将这两者看做同一函数53-=x y 的两个不同函数值，利用函数单调性比较两数大小.【略解】（1）因为53-=xy 是（－∞，0）上的减函数，又,32->-所以5353)3()2(---<-.（2）因为;)()14.3(,14.3)0,(323232ππ-<-->--∞=所以上的减函数又是x y（3）因为y=54323232)(,5432,)(,),(πππππ<-<=-+∞-∞所以又上的增函数是x（4）因为y=log 2x 是（0，+∞）上的增函数，又3<3.1，所以log 23<log 23.1. 例3 求下列函数的定义域：（1）);1,0(log log log ≠>=a a x y a a a （2）.1223log )31(91.03+-+-=x x y x【略解】（1）据题意有log a log a x>0.①a>1时，上式等价于log a x>1,即x>a.②0<a<1时，上式等价于0<log a x<1,即1>x>a . 所以，当a>1时，函数定义域为（a,+∞）；而当0<a<1时，函数定义域为（a,1）.（2）据题意有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-+->+-≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-<≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≥--.011223,01223,)31()31(.1122309)31(.01223log ,0)31(932311.03x x x x x x x x x x x 即即解得].3,32(.321.332,213232所以函数定义域为即或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤<-<>-≥x x x x x【评述】解指数、对数不等式时，要注意比较底数a 与1的大小，从而确定去掉指数、对数符号后不等号是否改向.例4 解方程：（1）;34)223()223(=++-x x （2）)0.(1446>=x x x【略解】（1）因为,1)223)(223(=+-所以原方程等价于.34)223(1)223(=-+-xx126666612)(144144)(144)2(.2.21217.341,)223(6666====±=±==+=-x x x x x x x x x x t t t t 即则令令y=x 6,显然y>1,则f(x)=y y 是y 的增函数.所以y y =1212只有惟一解y=12. 即原方程有解.126=x例5 比较下列各组数的大小 ： （1）sin48°, cos313°；（2）cos96°, sin96°, tan69°.【思路分析】 比较两数大小的一种方法是将两数看成同一函数的两个函数值，然后利用函数单调性来比较；另一种方法是寻找某个中介量（如0，1）等.【略解】（1）cos313°=cos(360°－47°)=cos47°=sin43°<sin48° 所以cos313°<sin48°（2）因为钝角的余弦小于0，正弦大于0，所以cos96°<0, 0<sin96°<1. 又tan69°>tan45°=1所以cos96°<sin96°<tan69°.例6 已知x ∈[0，π]，比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小.【略解】)sin 2sin()cos(sin x x -=π).cos(sin )sin(cos )sin 2sin()sin(cos .sin 2cos ,]2,2[sin ,22cos sin .1cos 1,2sin 212,],0[x x x x x x t y x x x x x <-<-<-=<≤+<≤-≤-≤-∈即所以所以上的增函数是且又因为时当πππππππππ例7 已知40,10πα<<<<b ，比较下列三数的大小：..)(cos )(sin ..cos sin .),0()(,0cos log .)(sin )(sin 0cos log sin log ,10.1cos 22sin 040][.)(sin ,cos log )(cos ,)(sin cos log cos log cos log cos log sin log cos log log sin y z x y z t t f z x b z y x b b b b b b bb b b b <<∴<<∴<+∞=∴>∴><∴>>∴<<<<<<∴<<===即又上的增函数是即又解αααααααααααααααααπαααααα例8 求下列函数的最小正周期：（1）y=tanx －cotx; （2）y=sin(cosx); （3）y=cos(sinx).【略解】（1）因为.222sin 212cos cos sin cos sin cot tan 22x ctg x xxx x x x x -=-=-=- 所以函数y=tanx －cotx 的最小正周期T=2π. （2）因为sin(cos(x+2π))=sin(cosx)，所以2π是函数y=sin(cosx)的周期.设最小正周期为T ，若0<T<2π,则sin[cos(x+T)=sin(cosx)特别地，令x=0, sin(cosT)=sinl.而另一方面，0<T<2π,－1≤cosT<1,由正弦函数的单调性和sin(cosT)<sinl ，与sin(cosT)=sinl 矛盾，所以假设不成立.综上，函数y=sin(cosx) 的最小正周期为2π.（3）因为cos(sin(π+x))=cos(－sinx)=cos(sinx),所以π是函数y=cos(sinx)的周期，仿（2）可证函数y=cos(sinx)的最小正周期为π.【评述】（1）求函数最小正周期时，应尽量将函数化简.（2）对于由两个函数f(x)和g(x)复合而成的函数f(g(x)),如果g(x)是周期函数，且其最小正周期为T 1，那么，f(g(x))也是周期函数，且T 1仍是f(g(x))的一个周期，但未必是它的最小正周期.例9 判断下列函数的周期性，若是周期函数，试求出其最小正周期.（1）y=2sin25x+3cos6x ； （2）y=sin πx+cos2x . 【略解】（1）y=2sin 25x 和y=3cos6x 的最小正周期分别是πππ54,354因此和 ，3π的最小公倍数4π是y=2sin25x+3cos6x 的周期.可以证明4π也是它的最小正周期.（2）y=sin πx 和cox2x 的周期分别为2和π，因为π2不是有理数，所以2和π没有最小公倍数（此处倍数应为整数倍），可以证明y=sin πx+cos2x 不是周期函数.【证明】假设T 是函数y=sin πx+cos2x 的周期.则 sin π(x+T)+cos2(x+T)=sin πx+cos2x. sin π(x+T)－sin πx=cos2x －cos2(x+T),2sin2πTcos(πx+2πT)=2sinTsin(2x+T), (*) 令x=0, 得2cos 2πTsin 2πT=2sin 2T.即sin 2πTcos 2πT=sin 2T ①而令x=－2, 化简得 sin 2πTcos 2πT=sinTsin(T+4).②令x=－2, 得sin 2πTcos 2πT=sinTsin(T －4) ③由②－③得 sinTsin(T+4)－sinTsin(T －4)=0,即2sinTcosTsin4=0, sin2T=0, T=Z k k ∈,2π④ 但显然④不适合①，矛盾，所以假设不成立.函数y=sin πx+cos2x 不是周期函数.【评述】一般地，周期函数f(x)和g(x)的最小正周期分别为T 1和T 2，若T 1/T 2∉θ，则函数f(x)+g(x)不是周期函数，若T 1/T 2∈θ，则f(x)+g(x)是周期函数.针对性训练题1．已知∈++=b a x b x a x f ,(,4sin )(3R ）且f(lglog 310)=5，则f(lglg3)的值是 . 2．设a 、b 满足2a 2+6b 2=3，证明函数f(x)=ax+b 在[－1，1]上的满足|f(x)|≤2. 3．已知方程x 2+2mx+2m 2－3=0,有一根比2大，另一根比2小，求m 的取值范围. 4．关于x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明： （1）如果|α|<2, |β|<2，那么2|a|<4+b,且|b|<4. （2）如果2|α|<4+b, 且|b|<4，那么|α|<2, |β|<2. 5．若a<0，求证：方程01112=++++ax a x x （1）有两个异号实根； （2）正根必小于－32a ，负根必大于－32a 2.6．已知f(x)=|1－2x|, x ∈[0，1]，那么方程f(f(f(x)))=21x 的解的个数是 . 7．已知集合A={(x, y)||x|+|y|=a,a>0}, B={(x, y)||xy|+1=|x|+|y|}, A ∩B 是平面上正八边形的 顶点构成的集合，则a 的值为 . 8．函数11363)(2424+--+--=x x x x x x f 的最大值为 .9．函数),0[11)(2+∞+-+=是x ax x f 上的单调函数，求a 的取值范围. 10．关于x 的方程(a 2－1)x 2－2(5a+1)x+24=0有两个不等的负整数根，求a.。
高中数学竞赛题：函数迭代含详解
高中数学竞赛专题训练：函数迭代一、单选题1．设1()f x =对任意自然数n ，定义11()(())n n f x f f x +=.则1993()f x 的解析式为（）AB C D 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，对任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立.则()1998=f .（）A ．3996B ．1998C ．1997D ．03．已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x⋅+=.则(1)f =（）A ．1B ．0C ．12+D ．124．已知()11xf x x+-=，记()()1f x f x =，()()()()11,2,k k f x f f x k +== ，则()2007f x =（）A ．11x x+-B ．11x x -+C ．xD ．1x-5．已知对每一对实数x 、y ，函数f 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--．若()11f =，则满足()()f n n n Z =∈的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()10 5 f x f x f x +=+-．若()50f =，则()2005f 的值为（）．A ．2000B ．2005C ．2008D ．07．设函数()f x 的定义域是(,)∞+∞对于下列四个命题:(1)若()f x 为奇函数,则()()f f x 也为奇函数;(2)若()f x 为周期函数,则()()f f x 也为周期函数;(3)若()f x 为单调递减函数,则()()f f x 为单调递增函数;(4)若方程()()f f x x =有实根,则方程()f x x =也有实根,其中,正确的命题共有个（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设()1211x f x x -=+,对2n ≥,定义()()()11n n f x f f x -=.若()2912x f x x +=-,则()2009 f x =______.9．设()()211xf x eg x ln x -＝，＝（＋）.则不等式()()()()1f g x g f x -的解集为_______.10．已知()[]12,0,1f x x x =-∈，那么方程()()()12f f f x x =的解的个数是_________.11．已知函数()f x 满足()()()3,1000;=+5,<1000.x x f x f f x x -≥⎧⎪⎨⎪⎩则()84f =________.12．设函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈，()110062f x +=+()310054f -=.则()2013f =___________.13．设定义在整数集上的函数f ，满足()()14,2000,n 19,2000.n n f f f n n -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩则()1989f =_____.14．设函数()f n 定义在正整数集上，对于任一正整数n ，有()()43f f n n =+，且对任意非负整数k ，有()1221k k f +=+．则()2303f =__________．15．设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件(1)()11f =,()20f =;(2)对任意的x 、y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-则()2015f =______.三、解答题16．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠.若方程()f x x =无实根，求证：方程()()f f x x =也无实根.17．已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，()02f =，对任意x R ∈，有()()5254f x f x +=--，①()()3256f x f x -=-②，求()2012f 的值.18．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =；②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++；③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值；（2）求(,)f m n 的解析式．参考答案：1．C【详解】n=1时，()1f x =假设n k =时，()k f x =则1n k =+时，()1k f x +==所以()1993f x 故答案为C2．D【详解】令2x =-，则有()()()224f f f =-+，即()()()224.f f f +=()()()()42204f f f x f x ∴==⇒+=，即()f x 是以4为周期的函数.()()()199********.f f f ∴=⨯+==3．D【详解】设()1f a =，1x =.由已知函数等式得()()()1111f f f +=，()11af a +=，()11f a a+=.设1x a =+，有()()11111f a f f a a ⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭，11111f a a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，()11 11f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭.由()f x 是增函数，则有1111a a+=+，解得a=当()112f =时，有()()11111a f f a a <=<+=<矛盾，所以()112f =.选D.4．B【详解】()111x f x x +=-，()()1223121111, 111f f x f x f x f x f x ++-==-==--+，()34311f f x x f +==-据此，()4111n xf x x++=-，()()424311, 1n n x f x f x x x ++-=-=+，()4n f x x=因2007为4n+3型，故选B.5．B【详解】令1y =得()()()111f x f f x x +=+--，即()()12f x f x x +=++．令0x =得()()102f f =+．由()11f =知()01f =-．当n N +∈时，()()()()()()()113101012nnk k n n f n f k f k f k f ==+⎡⎤=--+=++=-⎣⎦∑∑．同理，()()312n n f n -+-=--．所以，()()312n n f n +=-，n Z ∈．令()f n n =，解得2n =-或1n =．6．D【详解】由题意得()()()()5105fx f x f x -+=-+，所以，()()()101515f x f x f x +=-=--从而，()()()2550f x f x f x =--=-故()f x 是以50为周期的周期函数.因此，()()()20055040550f f f =⨯+==.7．C【详解】若()f x )为奇函数,则()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-.故()()f f x 也为奇函数.因此,命题(1)正确.若()f x 为周期函数,设T 为()f x 的一个周期,则()()()()f f x T f f x +=.故()()f f x 也为周期函数，因此,命题(2)正确.若()f x 为单调递减函数,则对任何x y <,由:()()()()()()f x f y f f x f f y >=<.故()()f f x 为单调递增函数，因此,命题(3)正确.但命题(4)不正确例如,取：()2,011,0;0, 1.x x f x x x ⎧=≠⎪==⎨⎪=⎩或；则()()4,010,0;1, 1.x x f f x x x ⎧+≠⎪==⎨⎪=⎩或；.故方程()()f f x x =有01、两个实根,但0x ≠或1时,()2f x x x =+>,而()()01,10f f ==,知方程()f x x =没有实根.8．12xx+-【详解】因为()3012x x f x f x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭,所以,()()311f x f x =.而2009306629=⨯+,于是,()()20092912xf x f x x+==-.故答案为12xx +-9．(]1,1-【详解】注意到()()()()2f g x g f x x -=.故()()()()2f g x g f x x -=.又定义域为()1,-+∞，从而，不等式的解集为(]1,1-.10．8【详解】∵()12f x x =-112,0,2121,,12x x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩即()f x 有关于x 的两个一次表达式.同理,()()f f x 有关于()f x 的两个一次表达式,而每个()f x 有关于x 的两个表达式,以所()()f f x 有关于x 的四个一次表达式.同理,()()()f f f x 有关于x 的八个不同的一次表达式,因此,所求方程解的个数是8.11．997【详解】记()()()()()n n f x f f f x个.则()()()()()1848489999f f f f === ()()()()()()18518418310041001998f ff===()()()()()()18418318210031000997f f f===()()()()()()18318218310029991004f f f ===()()()()()()18218118210019981003f ff===()()()18110001000997f f ==== .因此，()84997f =.12．12+【详解】由题意知()112f =+12=+()13100724f ==，()()1120131007100622f f =+==.13．()19891990f =【详解】(1989)[(2008)](1994)[(2013)](1999)[(2018)](2004)1990f f f f f f f f f f =======14．4607【详解】注意到23432303343434342=+⨯+⨯+⨯+⨯.而()()()()()4343f n f f f n f n +==+，则()()2332303343434342f f =++⨯+⨯+⨯=…()()()234323444433434343423434343421230342124607f =+⨯+⨯+⨯+=+⨯+⨯+⨯++=++-=15．1±【详解】在条件(2)中令0x =,则()()()()()011f y f f y f f y =-+，由()11f =,知()()010f f y -=.在上式中令0y =,则()()()01000f f f =⇒=.在条件(2)分别令1,1,2x =-得()()()()()1110f y f f y f f y +=-+()1f y =-,()()()()()1112f y f f y f f y -=--+()()()()1111f f y f f y =--=-+,()()()()()2211f y f f y f f y +=-+-()()1f f y =-，由()()()111f y f f y -=-+()()()12f y f f y =-+()()()21f y f f y ⇒=-()11f ⇒-=±.若()11f -=,则()()2f y f y +=，由条件(1)知()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，经检验,f 满足条件故()20151f =.若()11f -=-,则()()2f y f y +=-()()()01x 141,14x f x mod x mod ⎧⎪=≡⎨⎪-≡-⎩，为偶数，，经检验,f 满足条件故()20151f =-.综上,()20151f =±.16．见解析【详解】将函数式()()20f x ax bx c a =++≠代入方程()f x x =，移项后，得()210ax b x c +-+=()0a ≠.已知这个方程无实根，所以它的判别式为负，即()21140b ac ∆=--<.进而，由()()()()()2f f x a f x bf x c =++，将()f x 的表达式代入方程()()f f x x =，得()()222a ax bx cb ax bxc c x++++++=()0a ≠.变形，得()()222220a ax bx c x ax b ax bx c x bx c x ⎡⎤⎡⎤++-++++-++-=⎣⎦⎣⎦，提公因式，得()()22110ax b x c a ax bx c x b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦，即()()()22110f x x a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤-+++++=⎣⎦⎣⎦.由条件知方程()0f x x -=无实根，所以，上面这个四次方程()()22110a x a b x ac b +++++=与有相同的实根.所得辅助二次方程的判别式是()()()2222221411444a b a ac b a b b ac ⎡⎤∆=+-++=+---⎣⎦()()()22221144440a b ac a a ⎡⎤=---=∆-<⋅-<⎣⎦，所以，这个辅助二次方程无实根，进而推出原四次方程()()f f x x =无实根.17．2【详解】在式①中取()1322x y y R =-∈，得()()212f y f y +=-.在式②中取()1233x y y R =+∈，得()()12f y f y =-，于是，()()2f y f y +=，即()f x 是一个周期为2的函数，故()()()201221006002f f f =⨯+==.18．（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得:(3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯，(3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，……(,)(,1)2(11)2(2)f m n f m n m n m n --=⨯+--=⨯+-．将上述n 1-个等式相加得：2(,)2[(1)(2)(2)]1f m n m m m m n m m =+++++⋅⋅⋅++-++-22231m m n n m n =++--+．【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.。
高中数学竞赛培优教程(一试)第五版电子版
高中数学竞赛培优教程(一试)第五版电子版高中数学竞赛培优教程(一试)第五版电子版：一、数论1、重要概念认识（1）数论及其基本概念（2）数论中的重要概念（3）因数分解、自整除、递归2、素数的基本性质（1）素数的定义（2）求素数的方法（3）素数的性质3、整除性质（1）余数定理（2）倍数定理（3）欧拉定理（4）欧几里德定理4、欧拉函数（1）欧拉函数的性质（2）求欧拉函数值（3）应用欧拉函数求素数个数二、组合数1、组合数的基本概念（1）组合数的定义（2）组合数的性质2、组合数的求法（1）排列组合的求法（2）卡塔尔乘方的求法（3）频率表的求法3、组合数的计数法（1）构造法（2）两个位置求和（3）一次函数的性质4、组合数的重要性质（1）奇偶性（2）加减乘除法（3）快速改变组合列表三、概率1、随机事件与概率（1）概率（2）试验（3）事件求概率2、独立性与条件概率（1）独立事件（2）条件概率（3）贝祖定理3、联合概率与贝叶斯定理（1）联合概率（2）贝叶斯定理（3）费雪推论4、随机变量与概率分布（1）随机变量（2）概率分布（3）分布函数及其性质四、微积分1、函数与曲线（1）函数及其基本概念（2）函数图形（3）曲线及其特征2、复变函数（1）复变函数的定义（2）复变函数的性质（3）复变函数的向量表示3、微积分的基本概念（1）极限、导数、和积分的定义（2）导数的几何意义（3）多变量函数的导数及其计算4、积分（1）积分的定义（2）积分的性质（3）重要形式的积分（4）向量积分。
高中数学竞赛专题讲座函数2：函数的图像和性质
f(998)-998，f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。
当 时，值域为 ;当 时，
值域为
例4.对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),
(1)求证y=f(x)的图像关于直线x=a对称；
(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和
命题意图 本题考查函数概念、图像对称问题以及求根问题
（1）求证g(x)是周期函数；
（2）如果f(998)=1002，求f(2000)的值。
解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题
（1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以f(x+3)≤f(x)+3和f(x+2)≥f(x)+2代换，可得 ，① ，②由①可得g(x+4)≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6)≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③由②可得g(x+6)≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。
6、若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则f(x)的图象关于点 中心对称。
证明：设P（x,y）是图象上任一点，则y=f(x)；由中点公式得P关于点 对称的点为Q(a+b-x,c-y).设t=b-x即x=b-t代入f(a+x)+f(b-x)=c得f(t)=c-f(a+b-t)即f(a+b-x) =c-f(x)=c-y,即Q在图象上。所以f(x)的图象象关于点 中心对称。
高中数学竞赛讲义(免费)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高中数学竞赛资料一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。
几何不等式。
几何极值问题。
几何中的变换：对称、平移、旋转。
圆的幂和根轴。
面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数周期函数，带绝对值的函数。
三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。
递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。
平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。
多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。
组合计数，组合几何。
抽屉原理。
容斥原理。
极端原理。
图论问题。
集合的划分。
覆盖。
平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识第一章 集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
高中数学竞赛培训资料 函数
高中数学竞赛培训资料 函数例一． 定义在R 上的函数f(x)满足:f(x －x 1)=x 2+21x （对所有x ≠0） 则f(x)的表达式是例二． 函数f(x)对任意正实数x ，y 满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(641)之值。
例三． 设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a ，b ，c ，d 是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，求f(10)+f(－6)例四． 对于每个实数x ，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大值是多少？例五． （91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x 都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根之和为（A ） 18 （B ） 12 （C ） 9 （D ） 0例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第一个是y=)(x ϕ，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是(A) y=)(x ϕ （B ）y=－)(x -ϕ (C) y=－)(1x -ϕ (D) y=－)(1x --ϕ例七．设f(x)=2442+x ，求f(10011)+f(10012)+f(10013)++ f(10011000) 之值。
例八．定义在R 上的函数y=f(x)具有以下性质1． 对任何x ∈R 都有f (x 3 ) = f 3 (x)2． 对任何x 1, x 2 ∈R 且x 1≠x 2 都有f (x 1)≠f (x 2)则f 2（－1）+f 2（0）+f 2（1）=例九．若a ＞0,a ≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2111x a 是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）与a 的取值有关例十．已知函数y=f(x)，x ∈R ，f(0)≠0，且对于任意实数x 1，x 2都有f(x 1)+f(x 2)=2f(221x x +)×f(221x x -)，则此函数是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇偶性不确定例十一．已知实数 x,y 满足(3x+y)2+x 5+4x+y=0，求证：4x+y=0例十二．已知函数f(x)满足：1）f(21)=1 2）值域为[]1,1-3）严格递减,4）f(xy)=f(x)+f(y)试求不等式f －1(x) f －1(x -11)≤21的解集。
高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数讲义
高中数学竞赛教材讲义 第六章 三角函数讲义一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL ,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=xy，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
高中数学竞赛讲义(六)三角函数
高中数学竞赛讲义（六）──三角函数一、基础知识定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
角的大小是任意的。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数s inα=,余弦函数co sα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数se cα=,余割函数c s cα=定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,s inα=，co sα=；商数关系：tanα=；乘积关系：tanα×co sα=s inα,cotα×s inα=co sα；平方关系：s in2α+co s2α=1, tan2α+1=se c2α, cot2α+1=c s c2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in(α+π)=-s inα, co s(π+α)=-co sα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）s in(-α)=-s inα, co s(-α)=co sα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）s in(π-α)=s inα, co s(π-α)=-co sα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）s in=co sα,co s=s inα, tan=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=s inx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时,y取最小值-1。
最新的高中数学竞赛函数练习题
最新的高中数学竞赛函数练习题高中数学竞赛函数练题（幂函数、指数函数、对数函数）一、选择题1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若f(x)=lg(10x+1)，则答案：C解析：将XXX(10x+1)拆分为XXX(10x)和XXX(1+1/10x)，前者是x的一次函数，后者是x的负一次函数，即为奇函数和偶函数之和。
所以，g(x)=x。
h(x)=lg(10x+1)－x。
2.若(log23)x－(log53)x≥(log23)-y－(log53)-y，则答案：C解析：将不等式化简，得到x/y≥(log23-log5)/(log25)，即x/y≥2/(log25)。
因为x>y>0，所以x/y>1，即2/(log25)>1，所以(log23)-y<(log53)-y，即y<(log53)/(log25)-(log23)/(log25)，即y<(log25)/(log5)-(log23)/(log5)，即y<(log23)/(log5)-1.3.已知f(x)=ax2－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是答案：B解析：由题意，得到以下不等式组：a-c≥-4，a-c≤-1，4a-c≤5，a-c≤1.将这些不等式组合起来，可得-4≤a-c≤1，即-3≤a≤2.因为f(x)是一个开口向上的抛物线，所以f(3)一定在f(1)和f(2)之间，即-1≤f(3)≤5.因此，B选项正确。
4.已知f(n)=logn(n+1) (n N*且n≥2)，设∑p n=2logf(n)=100 (p,q N*且(p,q)=1)，则p+q=答案：D解析：根据对数的性质，有logn(n+1)=logn+log(n+1)，所以f(n)=logn+log(n+1)。
因此，∑p n=2 logf(n)=∑p n=2logn+log(n+1)=∑p n=2 (logn+log(n+1))=plog2+∑p n=2 log(n+1)。
高中数学竞赛基础知识讲解
高中数学竞赛基本知识集锦广州市育才中学数学科 邓军民 整理一、三角函数 常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。
先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= 积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。
这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值：76cos 74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。
高中数学竞赛知识点提纲
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。
1.2集.合的分划1.3子集，子集族1.4容斥原理1.5极端原理1.6抽屉原理2. 函数（function）2.1函数的基本概念2.1.1映射2.1.1.1单射2.1.1.2满射2.1.1.3一一映射（双射）2.1.2函数的定义域、值域2.2函数的性质2.2.1对称性2.2.2单调性2.2.3奇偶性2.2.4周期性2.2.5凹凸性2.2.6连续性2.2.7可导性2.2.8有界性2.2.9收敛性2.3初等函数2.3.1一次、二次、三次函数2.3.2幂函数2.3.3双勾函数2.3.4指数、对数函数2.4函数的迭代2.5函数方程3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算3.3三角恒等式、不等式、最值3.4正弦、余弦定理3.5反三角函数3.6三角方程4. 向量（vector）4.1向量的运算4.2向量的坐标表示，数量积5. 数列（sequence）5.1数列通项公式求解5.1.1换元法5.1.2特征根法5.1.3不动点法5.1.4迭代法5.1.5数学归纳法5.1.6代换法5.1.7待定系数法5.1.8阶差法5.2数列求和5.2.1裂项相消法5.2.2错位相减法5.2.3倒序相加法5.2.4分组分解法5.2.5归纳猜想法6．不等式（inequality）6.1解不等式6.2重要不等式6.2.1均值不等式6.2.2柯西不等式6.2.3排序不等式6.2.4契比雪夫不等式6.2.5赫尔德不等式6.2.6权方和不等式6.2.7幂平均不等式6.2.8琴生不等式6.2.9 Schur不等式6.2.10嵌入不等式6.2.11卡尔松不等式6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式6.3.2调整法(放缩法)6.3.3归纳法6.3.4切线法6.3.5展开法6.3.6局部法6.3.7反证法6.3.8其他7.解析几何（analyticgeometry）7.1直线与二次曲线方程7.2直线与二次曲线性质7.3参数方程7.4极坐标系8．立体几何（solidgeometry）8.1空间中元素位置关系8.2空间中距离和角的计算8.3棱柱，棱锥，四面体性质8.4体积，表面积8.5球，球面8.6三面角*8.7空间向量9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability）9.1排列组合的基本公式9.1.1加法、乘法原理9.1.2无重复的排列组合9.1.3可重复的排列组合9.1.4圆排列、项链排列9.1.5一类不定方程非负整数解的个数9.1.6错位排列数9.1.7 Fibonacci数9.1.8 Catalan数9.2计数方法9.2.1映射法9.2.2容斥原理9.2.3递推法9.2.4折线法9.2.5算两次法9.2.6母函数法9.3证明组合恒等式的方法9.3.1 Abel法9.3.2算子方法9.3.3组合模型法9.3.4归纳与递推方法9.3.5母函数法9.3.6组合互逆公式9.4二项式定理9.5概率9.5.1独立事件概率9.5.2互逆事件概率9.5.3条件概率9.5.4全概率公式，贝叶斯公式9.5.5现代概率，几何概率9.6数学期望与方差9.7概率分布9.7.1二项分布9.7.2几何分布9.7.3正态分布10.极限，导数（limits,derivatives）10.1极限定义，求法10.2导数定义，求法10.3导数的应用10.3.1判断单调性10.3.2求最值10.3.3判断凹凸性10.4洛比达法则10.5偏导数11.复数（complexnumbers）11.1复数概念及基本运算11.2复数的几个形式11.2.1复数的代数形式11.2.2复数的三角形式11.2.3复数的指数形式11.2.4复数的几何形式11.3复数的几何意义，复平面11.4复数与三角，复数与方程11.5单位根及应用12.平面几何（planegeometry）12.1几个重要的平面几何定理/引理12.1.1梅勒劳斯定理12.1.2塞瓦定理12.1.3托勒密定理12.1.4西姆松定理12.1.5斯特瓦尔特定理12.1.6张角定理12.1.7欧拉定理12.1.8九点圆定理12.1.9沢山引理12.2圆幂，根轴12.3三角形的巧合点12.3.1内心12.3.2外心12.3.3重心12.3.4垂心12.3.5旁心12.3.6费马点12.4调和点列12.5圆内接调和四边形12.6完全四边形12.7几何变换12.7.1平移变换12.7.2旋转变换12.7.3位似变换12.7.4对称变换（反射变换）12.7.5反演变换12.7.6配极变换12.8几何不等式12.9平面几何常用方法12.9.1纯几何方法12.9.2三角法12.9.3解析法12.9.4复数法12.9.5向量法12.9.6面积法13.多项式（polynomials）13.1多项式恒等定理13.2多项式的根及应用13.2.1韦达定理13.2.2虚根成对原理13.3多项式的整除，互质13.4拉格朗日插值多项式13.5差分多项式13.6牛顿公式13.7单位根13.8不可约多项式，最简多项式14.数学归纳法（mathematicalinduction）14.1第一数学归纳法14.2第二数学归纳法14.3螺旋归纳法14.4跳跃归纳法14.5反向归纳法14.6最小数原理15. 初等数论（elementarynumber theory）15.1整数，整除15.2同余15.3素数，合数15.4算术基本定理15.5费马小定理，欧拉定理15.6拉格朗日定理，威尔逊定理15.7裴蜀定理15.8平方数15.9中国剩余定理15.10高斯函数15.11指数，阶，原根15.12二次剩余理论15.12.1二次剩余定理及性质15.12.2 Legendre符号15.12.3 Gauss二次互反律15.13不定方程15.13.1不定方程解法15.13.1.1同余法15.13.1.2构造法15.13.1.3无穷递降法15.13.1.4反证法15.13.1.5不等式估计法15.13.1.6配方法，因式分解法15.13.2重要不定方程15.13.2.1一次不定方程（组）15.13.2.2勾股方程15.13.2.3 Pell方程15.14 p进制进位制，p进制表示16.组合问题（combinatorics）16.1组合计数问题（参见9.1,9.2）16.2组合恒等式，不等式（参见9.3）16.3存在性问题17.6其~他~ 16.4组合极值问题16.5操作变换，对策问题16.6组合几何16.6.1凸包16.6.2覆盖16.6.3分割16.6.4整点16.7图论16.7.1图的定义，性质16.7.2简单图，连通图16.7.3完全图，树16.7.4二部图，k部图16.7.5托兰定理16.7.6染色与拉姆塞问题16.7.7欧拉与哈密顿问题16.7.8有向图，竞赛图16.8组合方法16.8.1映射法，对应法，枚举法16.8.2算两次法16.8.3递推法16.8.4抽屉原理16.8.5极端原理16.8.6容斥原理16.8.7平均值原理16.8.8介值原理16.8.9母函数法16.8.10染色方法16.8.11赋值法16.8.12不变量法16.8.13反证法16.8.14构造法16.8.15数学归纳法16.8.16调整法16.8.17最小数原理16.8.18组合计数法17.其他（others）17.1微积分，泰勒展开17.2矩阵，行列式17.3空间解析几何17.4连分数17.5级数，p级数，调和级数，幂级数。
高中数学竞赛教案讲义(2)二次函数与命题
第二章 二次函数与命题一、基础知识1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-ab2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2 二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=a b 2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=a b ac 442-,若a <0，则当x =x 0=ab2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
高中数学竞赛讲义-高斯函数
是以1为周期的周期函数，如图I－4－5－2.
图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2
（5） .其中 .
（6） ；特别地，
（7） ，其中 ；一般有 ；特别地，
.
（8） ，其中 .
例题讲解
1．求证： 其中k为某一自然数.
2．对任意的
3．计算和式
4．设M为一正整数，问方程 ，在[1，M]中有多少个解？
≥ (|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－ ＋b|＋|－ ＋b|)
≥ [(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－ ＋b)－(－ ＋b)]
＝
≥
综上所述，原命题正确.
8．先找出 的整数部分与分数部分.
5．求方程
6．
7．对自然数n及一切自然数x，求证：
.
8．求出 的个位数字
例题答案：
1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为
若
故
反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2sp，其中p>1为奇数，这时总可以找出整数t，使
由于 n!.这与已知矛盾，故必要性得证.
2．解：因 对一切k=0,1,…成立，因此，
§28高斯函数
数论函数 ，称为高斯函数，又称取整函数.它是数学竞赛热点之一.
定义一：对任意实数 是不超过 的最大整数，称 为 的整数部分.与它相伴随的是小数部分函数
由 、 的定义不难得到如下性质：
（1） 的定义域为R，值域为Z； 的定义域为R，值域为
（2）对任意实数 ，都有 .
（3）对任意实数 ，都有 .
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4
则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
高中数学竞赛课程讲座—函数
【校本课程数学竞赛讲义】 第二章 函数§2.1 函数及其性质一、函数的基本性质：1. 函数图像的对称性 （1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=-成立；偶函数的图像关于y 轴对称，对于任意x D ∈，都有()()f x f x -=成立。
（2） 原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线y x =对称。
（3）若函数满足()(2)f x f a x =-，则()f x 的图像就关于直线x a =对称；若函数满足()(2)f x f a x =--，则()f x 的图像就关于点(,0)a 对称。
（4） 互对称知识：函数()()y f x a y f a x =-=-与的图像关于直线x a =对称。
2．函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。
判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)a y x a x=+>的图像和单调区间。
3．函数的周期性对于函数()y f x =，若存在一个非零常数T ，使得当x 为定义域中的每一个值时，都有()()f x T f x +=成立，则称()y f x =是周期函数，T 称为该函数的一个周期。
若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。
（1） 若T 是()y f x =的周期，那么()nT n Z ∈也是它的周期。
（2）若()y f x =是周期为T 的函数，则()(0)y f ax b a =+≠是周期为T a的周期函数。
（3）若函数()y f x =的图像关于直线x a x b ==和对称，则()y f x =是周期为2()a b -的函数。
（4） 若函数()y f x =满足()()(0)f x a f x a +=-≠，则()y f x =是周期为2a 的函数。
高中数学竞赛辅导-函数
4.( 教程 P86 17)设 f (x) x2 2tx t, x 1,1
1 求 f ( x)max min . 4
2.［分析］这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题，
是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难.但借助于配方
法、换元法及二次函数极（最）值性质,可得结果.
tmin=
5 4
，tmax=29
∴y=t2+4,t∈[ 5 ,29]抛物线开口向上,对称轴 t=0∈[ 5 ,29]，
4
4
∴ymin=4
故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在［-3,3］上的最小值是 4.
练习 3.∵ f ( x) ( x 3)2 ( x2 2)2 x2 ( x2 1)2 ∴可知函数 y f (x) 的几何意义是抛物线 y x2 上的点 P( x, x2 ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差. ∴ PA PB ≤ AB 10
3.定义在实数集上的函数 f(x)，对一切实数 x 都有
f(x＋1)＝f(2－x)成立，若 f(x)＝0 仅有 101 个不同的实数
根，那么所有实数根的和为( )
(A)150 (B) 303
2
(C)152
(D) 305
2
提示：由已知，函数 f(x)的图象有对称轴 x＝ 3 2
于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
(1 t (t ≥1)
1)
不难得到
f
( x)max
min
1 4
二.函数的性质与图象
思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x，总有
高中数学竞赛专题-函数2
【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a) 说明“两个自变数相差a，则函数值互 为相反数”，于是相差2a时，函数值 相等：
f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a)
∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数， 且2a是周期；
考查（2），f ( x )=f (a－x)表明函 数f ( x )的图像关于直线 x a 对称，这
故选（C）．
【解法2】设x∈(1，2)
则－1＜x－2＜0 且 f ( x ) = f (x－2)，
∵ －1＜x－2＜0,
∴ 0＜2－x＜1
于是， f (2 x) log 2
1 1 (2 x)
log 2
1 x1
∵ f (x) 是奇函数，
∴ f (2－x)＝－f (x－2)，
∴
f ( x) log 2
2
不一定能使其为周期函数； 考查（3），f (a－x)= f (b－x)表明
自变数相差a－b时， 函数值相等， 即 f ( x ) = f (a－b+x)
∴ 等式（3）使f (x)是周期函数， 且a－b是周期．
考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表 明自变数相差a－b时，函数值互为相 反数，于是相差2（a－b）时，函数值 相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为 周期函数，且 2（a－b）是周期．
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高中数学竞赛培训资料 函数
例一． 定义在R 上的函数f(x)满足:f(x －
x 1)=x 2+21x （对所有x ≠0） 则f(x)的表达式是
例二． 函数f(x)对任意正实数x ，y 满足f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，求f(641)之值。
例三． 设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a ，b ，c ，d 是常数，若f(1)=10，f(2)=20，f(3)=30，
求f(10)+f(－6)
例四． 对于每个实数x ，设f(x)是4x+1，x+2，－2x+4三个函数中的最小值，则f(x)的最大
值是多少？
例五． （91年全国联赛试题）设函数y=f(x)对一切实数x 都满足：f(3+x)=f(3－x)，方程f(x)=0
恰有6个不同的实根，则这6个实根之和为
（A ） 18 （B ） 12 （C ） 9 （D ） 0
例六．（88年全国联赛试题）设有三个函数，第一个是y=)(x ϕ，它的反函数就是第二个函
数，而第三个函数的图象与第二个函数图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是
(A) y=)(x ϕ （B ）y=－)(x -ϕ (C) y=－)(1x -ϕ (D) y=－)(1
x --ϕ
例七．设f(x)=2
442
+x ，求f(10011)+f(10012)+f(10013)++ f(10011000) 之值。
例八．定义在R 上的函数y=f(x)具有以下性质
1． 对任何x ∈R 都有f (x 3 ) = f 3 (x)
2． 对任何x 1, x 2 ∈R 且x 1≠x 2 都有f (x 1)≠f (x 2)
则f 2（－1）+f 2（0）+f 2（1）=
例九．若a ＞0,a ≠1，F(x)是一个奇函数，则G(x)=F(x)⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-2111x a 是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）与a 的取值有关
例十．已知函数y=f(x)，x ∈R ，f(0)≠0，且对于任意实数x 1，x 2都有
f(x 1)+f(x 2)=2f(221x x +)×f(2
21x x -)，则此函数是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇偶性不确定
例十一．已知实数 x,y 满足(3x+y)2+x 5+4x+y=0，求证：4x+y=0
例十二．已知函数f(x)满足：1）f(2
1)=1 2）值域为[]1,1-
3）严格递减,
4）f(xy)=f(x)+f(y)
试求不等式f －1(x) f －1(x -11)≤2
1的解集。
例十三．对任意整数x ，函数f(x)满足f(x+1)=)
(1)(1x f x f -+，若f(1)=2，求f(2001)
例十四．（92年全国联赛试题）设f(x)是定义在R 上的函数，且满足下列关系：
f(10+x)=f(10－x)，f(20+x)=－f(20－x)，则f(x)是
（A ）偶函数又是周期函数 （B ）偶函数但非周期函数
（C ）奇函数又是周期函数 （D ）奇函数但非周期函数
例十五．（90年全国联赛试题）设f(x)是定义在实数集上的周期函数且是偶函数，周期为2，
已知当x ∈[]3,2时f(x)=x ，则当x ∈[]0,2-时
（A ）f(x)=x+4 (B)f(x)=2－x (C)f(x)=3－|x+1| (D)f(x)=2+|x+1|
练习：
1．计算 (log 23)(log 34)(log 45)……(log 6364)=
2．已知f(x)=x 2，g(x)=21-
x+5，g －1(x)表示g(x)的反函数，设F(x)=f [])(1x g -－g －1[])(x f ，则F(x)的最小值是
3．对任意的函数f(x)，在同一直角坐标系中，函数y=f(x －1)与函数y=f(1－x)的图象
(A)关于x 轴对称（B ）关于直线x=1对称（C ）关于直线x=－1对称（D ）关于y 轴对称
4．方程sinx=lgx 的实根的个数是
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D) 大于3
5．若F(x
x +-11)=x ，则下列等式中正确的是 (A)F(－2－x)=－2－F(x) (B)F(－x)=F(
x x -+11) (C)F(x －1)=F(x) (D)F(F(x))=－x 6．已知函数f(x)=ax 2－c 满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5则f(3)满足
(A)－7≤f(3)≤26 (B)－4≤f(3)≤15 (C)－1≤f(3)≤20 (D)－328≤f(3)≤3
35 7．函数f(x)=sinx (2
1121+-x )是 （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）奇偶性不确定
8．已知偶函数f(x)在[]4,0上是减函数，如果m= f (log 216
1)，n=f [])1arccos(-- 那么m,n 的大小关系是
(A) m ＞n (B) m ＜n (C) m=n (D) 不确定
9．定义域、值域都是R 的函数y=f(x)是增函数，设方程f(x)=x 的解集为P ，方程x=f []
)(x f 的解集为Q ，则有
(A) P=Q (B) P ⊂Q (C) Q ⊂P (D) P ⊄Q 且Q ⊄P
10．函数y=)(log 2
31a ax x --的递增区间是(－∞，1－3)则实数a 是
(A) 2或1－3 (B) 2－23或1－3 (C) 2或2－23 (D) －2或1－3
11．求证： 1997)19971()19971(1000
1000--+是整数。
12．设a ＞0是实数，f(x)是定义在R 上的实函数，对每一实数x 满足条件： f(x+a)=[]2
)()(21x f x f -+ 证明：是周期函数，实数2a 是它的一个正周期。
13．设f(x)是定义在R 上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用I k 表示区间(2k －1，2k+1),
已知：当x ∈I 0时，f(x)=x 2
求：f(x)在I k 上的解析式。
14．函数f(x)定义在R 上，且对一切实数x 满足等式：f(x+2)=f(2－x) , f(7+x)=f(7－x)
设：f(x)=0的一个根是x=0，记f(x)=0在区间－1000≤x ≤1000中根的个数为N
求：N 的最小值。
15．设函数y=f(x)定义域为R ，当x ＞0时，f(x)＞1，且对任意x ，y ∈R 有：
F(x+y)=f(x) f(y)，当x ≠y 时，f(x)≠f(y)
（1） 证明：f(0)=1；
（2） 证明：f(x)在R 上递增；
（3） 设A=｛(x,y)|f (x 2) f (y 2)<f (1)｝，B=｛(x,y)|f (ax+by+c)=1｝a,b,c ∈R 且a ≠0若A ∩B=φ，
求a 、b 、c 满足的条件。
16．实数集R 上的函数y=f (x)满足：
① f (x 1+x 2)+f (x 1－x 2)=2f (x 1) cos2x 2+4 a sin 2x 2（x 1、x 2∈R ，a 是常数）；
② f (0)=f (4π)=1；③ 当x ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡4,0π时，|f (x)|≤2； 试求：函数y=f (x)的解析式，及常数a 的取值范围。