利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

惠州市华罗庚中学 欧阳勇

摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。

关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体：

一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用

1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式

问题。裂项放缩法主要有两种类型：

（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。

例1设数列{}n a 的前n 项的和1412

2333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,

n =。设2n

n n

T S =，

1,2,3,

n =，证明：

1

32

n

i i T =<

∑。 证明：易得12(21)(21),3

n n

n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++=

=-----， 11223

111

31131111

11

()()221212212121212121

n

n i i i n n i i T ++===-=-+-++

---------∑∑ =

113113()221212

n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1

11

2121

n n +---，然后再求和，即可达到目标。

（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。

例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的

前n 和为n S ，2n n n T S S =-；

（I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 711

12

n +≥

。 证明：（I ）111111

1

()232212

2n n T T n n n n n n

+-=+++-++

+

+++++ ∴1n n T T +>． （II ）

112211222222,n n n n n n S S S S S S S S ---≥∴=-+-+

+-+

由（I ）可知n T 递增，从而12222n n T T T --≥≥≥，又11217

,1,212

T S T ===，

即当2n ≥时，2n S 711

12

n +≥

。 点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成

1122112222n n n n S S S S S S S ----+-+

+-+的和，从而找到了解题的突破口。

2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间

项。用于解决积式问题。

例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*

N n y x ∈=-上。 若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*

n ∈N ，不等式

312

111

(1)(1+)(1+

)31n

n c c c +

⋅⋅>+恒成立． 证明： 32n c n =-，331313133131(1+

)()323231332

n n n n n n c n n n n n --++=>⋅⋅=---- 所以312

11147

31

[(1)(1+)(1+

)]3114

32

n n n c c c n ++

⋅⋅>⋅⋅⋅

=+-

31211

1

(1)(1+)(1+

)31n

n c c c +

⋅⋅>+ 点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。33131(1+

)()32

n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131

()323231332

n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=---- 而通项式为31

{

}32

n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。

3、迭代放缩法：通过放缩法构造递推不等关系，进行迭代，从而求解。

例4 已知数列{}n x 满足，1111,,*21n n x x n N x +=

=∈+，证明：1112||()65

n n n x x -+-≤⋅。 证明：当1n =时，1211

||||6

n n x x x x +-=-=，结论成立。 当2n ≥时，易知11111

01,12,12

n n n n x x x x ---<<+<=>+

点评：此题将目标式进行放缩得到递推不等关系，进行迭代，找到解题途径。

4、等比公式放缩法：先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩实现目标

转化。

例5已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足111

122,

(),1n n

n n a a a n N a a *++-==∈-记

2n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n x ，且1

()2

n n f x x =

． （I ）数列{}n b 和{}n a 的通项公式； （II ）求证：

12231()()()

1()2()()

()2

n n f

x f x f x n n

n N f x f x f x *+-<+++

<∈．

略解：（I ） 2n

n b =，n a =，()21n

n f x =-。

证明：（II ）

11()21211

, 1()212

2(2)2n n n n n n f x f x ++--==<-- 12231()()()

()()

()2

n n f x f x f x n

f x f x f x +∴

+++

<．

∴

12231()()()

12()()

()2

n n f x f x f x n n

f x f x f x +-<+++

<．

反思：右边是2n ，感觉是n 个1

2

的和，而中间刚好是n 项，所以利用1

211212n n +-<-；左边是

12n -不能用同样的方式来实现，想到

11

(())(()0)222

n n f n f n -=-+>，试着考虑将12121n n +--缩小成1

({}2

n n c c -是等比数列），从而找到了此题的突破口。