中考数学压轴题专集二一次函数
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中考数学压轴题专集二：一次函数
1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－
1
4
x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ．
（1）求点B 的坐标；
（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式．
解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4
把x ＝4代入y ＝－
1
4
x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2）
（2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5
在y ＝－
1
4
x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3
∴C （0，3），OC ＝3
过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝
EC 2
－CF 2
＝
5
2
－4
2
＝3
∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1）
设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入
得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3
4k ＋b ＝1 解得
⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－
1 2
b ＝3
∴直线l 的解析式为y ＝－
1
2
x ＋3
2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求点C的坐标和k的值；
（2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1
2S△ABC，求点P的坐标．
（1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H
则∠HCG＝90°
∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH
又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC
∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH
在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4
设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x
解得x＝1，∴C（1，1）
∴k＝1
（2）由（1）知，CG＝1，AG＝3
∴AC2＝BC2＝12＋32＝10
∴S△ABC＝1
2AC
2＝5，S
△PBC
＝
1
2S△ABC＝
5
2
当点P在点G左侧时
S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO
∴1
2OP×4＋
1
2×4×1－
1
2OP×1＝
5
2
解得OP＝1
3，∴P1（－
1
3，0）
当点P在点G右侧时
S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO
∴1
2OP×4－
1
2×4×1－
1
2OP×1＝
5
2
解得OP＝3，∴P2（3，0）
3、如图，直线y＝－x＋6与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，S△OBC＝1
3S△OAB．
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线y＝kx－k交线段AB于E，交x轴于D，交BC的延长线于F，且S△BDE＝S△BDF，求k的值．（1）y＝3x＋6
（2）k＝3 7
提示：y＝kx－k，当x＝1时，y＝0，D（1，0）设E（a，－a＋6），则F（2－a，a－6）
a－6＝3(2－a)＋6，a＝9
2，E（
9
2，
3
2）
3
2＝9
2k－k，k＝
3
7
4、如图，直线y ＝2x ＋2分别交坐标轴于A 、B 两点，直线y ＝x ＋b （b ＜0）分别交坐标轴于C 、D 两点，两直线交于点E ，且△BCE 的面积为20．
（1）求b 的值；
（2）若在直线AB 上存在点P ，使S △P AD
＝S △PCD
，求点P 的坐标．
（1）由题意得：A （－1，0），B （0，2），C （0，－b ），D （0，b ） ∴OA ＝1，OB ＝2，OC ＝OD ＝－b ，BD ＝2－b
由
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2y ＝x ＋b 解得
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝b －2y ＝2b －2 ∴E （b －2，2b －2）
∵S △BCE
＝
S △BCD
＋
S △BDE
＝20
∴1 2 (
2－b
)(
－b
)＋
1
2
(
2－b
)(
2－b
)＝20 ∴(
2－b
)(
2－2b
)＝40
∴(
1－b
)(
2－b
)＝20，b
2
－3b －18＝0 ( b ＋3 )( b －6
)＝0，b ＝6（舍去），b ＝－3 ∴b ＝－3
（2）由（1）知，D （0，－3） 当PD ∥AC 时，S △P AD
＝S △PCD
把y ＝－3代入y ＝2x ＋2，得－3＝2x ＋2，x ＝－
5
2
∴P 1（－
5
2
，－3）
当△P AD 与△PCD 共底边PD 时，设P （x ，2x ＋2） 由（1）知，AC ＝4，OD ＝3，BD ＝5 ∴S △ACD
＝6，S △ABD
＝
5
2
∵S △P AD
＝S △PCD
，∴S 四边形P ADC
＝2S △P AD
∴1 2 ×4(
2x ＋2
)＋6＝2×[
5 2
＋
1
2
×5x
] 解得x ＝5，∴P 2（5，12）
综上所述，点P 的坐标为（－
5
2
，－3）或（5，12）