中考数学压轴题专集二一次函数

中考数学压轴题专集二：一次函数

1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－

1

4

x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ．

（1）求点B 的坐标；

（2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式．

解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4

把x ＝4代入y ＝－

1

4

x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2）

（2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5

在y ＝－

1

4

x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3

∴C （0，3），OC ＝3

过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝

EC 2

－CF 2

＝

5

2

－4

2

＝3

∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1）

设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入

得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3

4k ＋b ＝1 解得

⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－

1 2

b ＝3

∴直线l 的解析式为y ＝－

1

2

x ＋3

2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形．

（1）求点C的坐标和k的值；

（2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1

2S△ABC，求点P的坐标．

（1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H

则∠HCG＝90°

∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH

又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC

∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH

在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4

设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x

解得x＝1，∴C（1，1）

∴k＝1

（2）由（1）知，CG＝1，AG＝3

∴AC2＝BC2＝12＋32＝10

∴S△ABC＝1

2AC

2＝5，S

△PBC

＝

1

2S△ABC＝

5

2

当点P在点G左侧时

S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO

∴1

2OP×4＋

1

2×4×1－

1

2OP×1＝

5

2

解得OP＝1

3，∴P1（－

1

3，0）

当点P在点G右侧时

S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO

∴1

2OP×4－

1

2×4×1－

1

2OP×1＝

5

2

解得OP＝3，∴P2（3，0）

3、如图，直线y＝－x＋6与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，S△OBC＝1

3S△OAB．

（1）求直线BC的解析式；

（2）直线y＝kx－k交线段AB于E，交x轴于D，交BC的延长线于F，且S△BDE＝S△BDF，求k的值．（1）y＝3x＋6

（2）k＝3 7

提示：y＝kx－k，当x＝1时，y＝0，D（1，0）设E（a，－a＋6），则F（2－a，a－6）

a－6＝3(2－a)＋6，a＝9

2，E（

9

2，

3

2）

3

2＝9

2k－k，k＝

3

7

4、如图，直线y ＝2x ＋2分别交坐标轴于A 、B 两点，直线y ＝x ＋b （b ＜0）分别交坐标轴于C 、D 两点，两直线交于点E ，且△BCE 的面积为20．

（1）求b 的值；

（2）若在直线AB 上存在点P ，使S △P AD

＝S △PCD

，求点P 的坐标．

（1）由题意得：A （－1，0），B （0，2），C （0，－b ），D （0，b ） ∴OA ＝1，OB ＝2，OC ＝OD ＝－b ，BD ＝2－b

由

⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋2y ＝x ＋b 解得

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝b －2y ＝2b －2 ∴E （b －2，2b －2）

∵S △BCE

＝

S △BCD

＋

S △BDE

＝20

∴1 2 (

2－b

)(

－b

)＋

1

2

(

2－b

)(

2－b

)＝20 ∴(

2－b

)(

2－2b

)＝40

∴(

1－b

)(

2－b

)＝20，b

2

－3b －18＝0 ( b ＋3 )( b －6

)＝0，b ＝6（舍去），b ＝－3 ∴b ＝－3

（2）由（1）知，D （0，－3） 当PD ∥AC 时，S △P AD

＝S △PCD

把y ＝－3代入y ＝2x ＋2，得－3＝2x ＋2，x ＝－

5

2

∴P 1（－

5

2

，－3）

当△P AD 与△PCD 共底边PD 时，设P （x ，2x ＋2） 由（1）知，AC ＝4，OD ＝3，BD ＝5 ∴S △ACD

＝6，S △ABD

＝

5

2

∵S △P AD

＝S △PCD

，∴S 四边形P ADC

＝2S △P AD

∴1 2 ×4(

2x ＋2

)＋6＝2×[

5 2

＋

1

2

×5x

] 解得x ＝5，∴P 2（5，12）

综上所述，点P 的坐标为（－

5

2

，－3）或（5，12）