电动力学第三章习题解答

μ1I 4πa2
r2
+
c⎞⎠⎟⎟⎟ e z
A2
= ⎜⎜⎝⎛⎜−
μ2 I 2π
ln
r a
−
μ1I 4π
+ c⎞⎠⎟⎟⎟ez
磁感应强度为
B1
=
∇×
A1
=
μ1Ir 2πa2
eθ
B2
=
∇×
A2
=
μ2 I 2πr
eθ
（2）求磁化电流分布
在圆柱体内有磁化电流体分布
L
S
3） lim B = 0 ， R 为垂直于 z 轴的距 R→∞
离；
B1
I
y
O
x
μ
μ0
4）由 n × (H2 − H1) x=0 = α f ，由于在 x = 0 平面上， H = Heφ ， n = ex ， ex // eφ ， 因而 ex × eφ = 0 （如右图），故
ex
×
⎛ ⎜
⎝
B2 μ0
π
μμ0 I
(μ + μ0
)
R
eφ
四、验证：经证明，尝试解满足定解问题，由唯一性定理，它是唯一正确的解。
五、求磁化电流分布
1）磁化强度： M
=
B μ0
−H
⎛ =⎜
⎝
1 μ0
−
1 μ
⎞ ⎟
B
（磁介质中）
⎠
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华中师大 陈义成
2）磁化电流密度： JM
= ∇×M
⎛1
=
⎜ ⎝
μ0
−
1 μ
⎞ ⎟
∇
×
边值关系
A2 = A1
（3）
1 ∂A2 = 1 ∂A1 μ2 ∂r μ1 ∂r
（4）
将 A1 、 A2 代入式（3）、（4）得
f
ln
a
+
g
=
−
μ1I 4π
+c
，
f μ2a
=
−
I 2πa
解这个方程组得
f
=
−
μ2 I 2π
，
g
=
μ2 I 2π
ln
a−
μ1I 4π
+c
导体内外的矢势分别为
A1
=
⎛⎜⎜⎜⎝−
B1 = μ0nIe z ， B2 = 0
可以验证上述尝试解满足方程和边值关系，根据唯一性定理，这就是问题的解。
3.4 稳定电流 I 在半径为 a 的无限长圆柱导体中沿轴向流动，设导体的磁导率为
μ1 ，其外充满磁导率为 μ2 的均匀介质。通过矢势 A 求圆柱导体内、外的磁感应强度及
磁化电流分布。
【解】（1）求磁感应强度
−
B1 μ
⎞ ⎟ ⎠
x=0
=
0
；
y eφ
μ
μ0
φ
x
5）由 n ⋅ (B2 − B1) x=0 = 0 ，得 ex ⋅ (B2 − B1) x=0 = 0
三、提出尝试解
ex // eφ
z 由于电流仅沿 轴，可以估计 B = Bφeφ ，又由边值关系 B1n = B2n ，这在边界上
正好是 B1φ = B2φ 。所以可以期望在半径为 R 的圆周上 B 是相等的：B1 = B2 = B ，如果
（2）当 r = ∞ ， B2 → 0 ； （3）当 r = r0 ，
e r×(B2 − B1) = μ0αf = μ0nI e φ
e r i(B2 − B1) = 0
根据上面方程和条件，设尝试解为
B1 = αe z B2 = 0 由边值关系（3）定出 α = μ0nI ，即
(r < r0 ) (r > r0 )
华中师大 陈义成
第三章 习题解答
3.1 设在 x < 0 空间充满磁导率为 μ 的均匀介质，x > 0 区域为真空。今有线电流 I
沿 z 轴流动，求磁感应强度 B 和磁化电流分布。
【解】一、选柱坐标系（如图）；
z
B2
二、定解问题：
∫ ∫∫ 1） H ⋅ dl = I ；2） B ⋅ dS = 0 ；
−
∂Ay ∂z
=
∂Ax ∂z
−
∂Az ∂x
=0
第一组解为 A1
A1z = A1y = 0 ， A1x = −B0 y
第二组解为 A2
A2z = A2x = 0 ， A2 y = B0 x
两者之差
C = A2 − A1 = B0 xey + B0 yex
∇×C
=
⎛⎜⎜⎜⎝
∂Cy ∂x
−
∂Cx ∂y
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ez
这个估计正确，则利用 1）式可算出 B ：
∫ ∫ ∫ H ⋅ dl = π R B2 ⋅ dl + 2π R B1 ⋅ dl
L
0 μ0
πR μ
=
B2 μ0
⋅π
R
+
B1 μ
⋅π
R
=
Bπ
⎛ R⎜
⎝
1 μ0
+
1 μ
⎞ ⎟ ⎠
=
μ + μ0 μμ0
Bπ
R
=
I
得
B
=
π
μμ0 I
(μ + μ0
)
R
，
B1
=
B2
=
⎞⎠⎟⎟⎟
=
−μ1
I πa
2
(1)
在导体圆柱外
1 r
∂ ∂r
⎛⎜⎜⎜⎝r
∂A2 ∂r
⎞⎠⎟⎟⎟
=
0
O
A
θr
y
x
P
(2)
解这两个微分方程得
A1
=
−
μ1Ir 2 4πa2
+ b ln
r
+c
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华中师大 陈义成
A2 = f ln r + g
边界条件
在 r = 0 处, A1 有限，得到 b = 0 ；在 r = a 处，由式（3-1-13）和（3-1-16），有
+
⎛⎝⎜⎜⎜
∂Cz ∂y
−
∂Cy ∂z
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ex
+
⎛⎜⎜⎜⎝
∂Cx ∂z
−
∂Cz ∂x
⎞⎠⎟⎟⎟ e y
=
⎛⎜⎜⎜⎝
∂(B0 ∂x
x)
−
∂(B0 ∂y
y)
⎟⎞⎠⎟⎟⎟
e
z
=
( B0
−
B0 )ez
=
0
故两者之差为无旋场。
3.3 均匀无限长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为 n ，电流强度为 I ，试用
αM
=
n ×(M2
− M1)
=
−ex
⎛ ×⎜
⎝
1 μ0
−
1 μ
⎞ ⎟B ⎠
=
0
3.2 试利用 A 表示一个沿 z 方向的均匀恒定磁场 B0 ，写出 A 的两种不同表示式，
证明两者之差是无旋场。
【解】以 A 表示沿 z 方向的均匀恒定磁场是
∇× A = B0ez
即
∂Ay ∂x
−
∂Ax ∂y
=
B0
，
∂Az ∂y
B
⎠
=
⎛ ⎜ ⎝
μ μ0
−1⎞⎟ J f ⎠
∫∫ ∫∫ ∫ 3）磁化电流： IM =
S JM ⋅ dS =
∇ × M ⋅ dS =
S
M ⋅ dl
L
∫=
3π 2 ⎛
π2
⎜ ⎝
1 μ0
−
1 μ
⎞ ⎟B1
Rdφ
⎠
= μ − μ0 I μ + μ0
4）磁化电流线密度：
由 x = 0 时， ex // B 以及 M 2 = 0 ，得
Baidu Nhomakorabea
唯一性定理求管内、外磁感应强度 B 。 【解】选柱坐标系， z 轴为圆柱对称轴，柱内外为真空，电流只分布在 r = r0 的柱
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华中师大 陈义成
面上，即 α f
=
nI e φ
，因此，空间磁感应强度应满足方程
∇×B = 0 ， ∇iB = 0
和边值关系
（1）当 r = 0 ， B1 有限；
以导体圆柱的对称轴为 z 轴，建立柱坐标系。由于电流 J 沿 z 轴方向，矢势 A 只有
z 分量。因电流是轴对称的，可推知 Az 仅与 r 有关，所以
∇2 Az
=
∇2 A(r)
=
1 r
∂ ∂r
⎜⎜⎝⎛⎜r
∂∂Ar ⎠⎞⎟⎟⎟
z
依 ∇2 A = −μJ ，在导体圆柱内部
1 r
∂ ∂r
⎛⎜⎜⎜⎝r
∂A1 ∂r